1
Разработчик-составитель Мухаметьянов И.Т., к. ф.-м. н, доцент
Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры
__________________________ « ___» __________2016 г, протокол № ____.
3
Содержание
Содержание...........................................................................................................................3
1. Общие положения.......................................................................................................4
2. Виды самостоятельной работы студентов по дисциплине ..........................................6
3. Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов по темам
дисциплины......................................................................................................................................7
Тема 1. Введение ..................................................................................................................7
Тема 2. Общая методология исследования операций ......................................................9
Тема 3. Задача линейного программирования. Типовые задачи линейного
программирования. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования 10
Тема 4. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования ...................11
Тема 5. Метод искусственного базиса .............................................................................13
Тема 6. Теория двойственности........................................................................................14
Тема 7. Целочисленная задача линейного программирования .....................................16
Тема 8. Транспортная задача ............................................................................................18
Тема 9. Сведение некоторых задач нелинейного программирования к задаче
линейного программирования ......................................................................................................20
Тема 10. Постановка задачи векторной оптимизации и принципиальные подходы к
еѐ решению.....................................................................................................................................21
Тема 11. Основные понятия теории игр. Некоторые виды игр. ....................................24
Тема 12. Матричная игра. Игра с седловой точкой. Смешанные стратегии................25
Тема 13. Геометрическое решение игры 2n и m2 .......................................................26
Тема 14. Решение матричной игры в общем случае сведением к задаче линейного
программирования.........................................................................................................................27
Тема 15. Потки в сетях и их оптимизация .......................................................................28
Тема 16. Элементы теории случайных процессов ..........................................................29
Тема 17. Основные виды систем массового обслуживания и вычисление их
характеристик.................................................................................................................................30
Список рекомендуемой литературы.................................................................................31
Приложение 1. Основы системного анализа и исследования операций ......................32
Приложение 2. Решение некоторых задач линейного программирования с
использованием оболочки Excel...................................................................................................84
Приложение 3. Сведение задачи дробно-линейного программирования к задаче
линейного программирования ......................................................................................................91
Приложение 4. Сведение многоцелевой задачи линейного программирования к
одноцелевой....................................................................................................................................93
Приложение 5. Элементы теории игр ............................................................................103
Приложение 6. Понятие о потоках в сетях и их оптимизации ....................................115
Приложение 7. Элементы систем массового обслуживания .......................................121
Приложение 8. Образец оформления лабораторной работы.......................................137
Приложение 8. Задания для индивидуальных (контрольных работ)..........................141
4
1. Общие положения
Цель дисциплины формирование знаний в области исследования
операций и методов оптимизации систем.
В процессе изучения данной дисциплины студент осваивает следующие
компетенции:
Общекультурных:
способность разрабатывать бизнес-планы и технические задания на
оснащение отделов, лабораторий, офисов компьютерным и сетевым оборудованием (ОПК-3);
Профессиональных:
способность обосновывать принимаемые проектные решения, осуществлять постановку и выполнять эксперименты по проверке их корректность и эффективность (ПК-3).
Задачи дисциплины:
овладеть знаниями теоретических основ линейного программирования (включая целочисленное программирование, транспортную задачу), векторной оптимизации, теории матричных игр, систем массового обслуживания;
приобрести практические навыки в решении задач линейного программирования методом искусственного базиса, целочисленного программирования методом Гомори, транспортной задачи методом потенциалов, матричных игр геометрическим методом и сведением к задаче линейного программирования, в расчѐтах основных характеристик систем массового обслуживания;
освоить указанные в предыдущем пункте методы.
Место дисциплины в структуре профессиональной подготовки выпускников.
Дисциплина «Исследование операций и методы оптимизации систем»
относится к дисциплинам Вариативной части Блока 1 (Б1). Дисциплины (модули) и является обязательной при освоении ОПОП по направлению подготовки 09.03.01 Информатика и вычислительная техника, профиль Вычислительные машины, комплексы, системы и сети.
Обязательные предшествующие дисциплины «Инженерная графика».
Знания, полученные при изучении дисциплины «Исследование операций и методы оптимизации систем», необходимы при изучении дисциплин «Операционные системы», «Сети и телекоммуникации», «Теория вероятностей, матема-
5
тическая статистика и случайные процессы», «Управление программными
проектами», «Научно-исследовательская работа».
После изучения дисциплины обучающийся должен демонстрировать
следующие результаты:
Знать:
линейное программирование;
основы теории матричных игр;
основы векторной оптимизации;
потоки в сетях;
основы теории систем массового обслуживания.
Уметь:
применять методы исследования операций и методов оптимизации
систем в своей профессиональной деятельности;
применять вычислительную технику в реализации методов исследования операций и методов оптимизации систем;
оптимизировать потоки в сетях;
вычислять основные характеристики систем массового обслуживания.
Владеть:
методами линейного программирования (методом искусственного
базиса, методами решения задач целочисленного программирования, транспортной задачи);
теоремами двойственности;
методами сведения задач нелинейного программирования к задаче
линейного программирования;
методами сведения многоцелевой задачи линейного программирования к обычной задаче линейного программирования;
методами сведения матричной игры к задаче линейного программирования.
Предметом освоения дисциплины являются следующие объекты:
методология системного анализа;
линейное программирование;
векторная оптимизация;
теория игр;
системы массового обслуживания.
6
2. Виды самостоятельной работы студентов по дисциплине
Таблица 2.1. – Виды самостоятельной работы студентов дневной формы обучения
Номер темы
дисциплины
Вид самостоятельной работы студентов Трудоѐмкость,
часов
1 2 3
1
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
-
-
2
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
1
-
3
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
2
2
4
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
2
2
5
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
1
2
6
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка ответов по лабораторным работам
1
1
3
7
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
1
1
8
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
3
4
9
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
1
2
10
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
2
2
11
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
-
-
12
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
-
-
13
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
-
1
14
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
2
2
15
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
1
3
16
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
-
-
17
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
2
2
Итого:
в ч / в ЗЕ
72/2
7
3. Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов по темам дисциплины
Тема 1. Введение
1. Вопросы для подготовки:
1. Место системного анализа и исследования операций (СА и ИСО) в современной науке и практике. Предмет и задачи дисциплины СА и ИСО.
2. История развития СА и ИСО. Роль СА и ИСО в решении задач автоматизации обработки информации, планирования и управления.
3. Определение системы. Виды систем: физические и абстрактные системы.
4. Различные подходы к классификации систем.
5. Виды систем: естественные и искусственные системы. Свойства систем.
6. Взаимодействие системы с окружающей средой.
7. Понятия поведения и сложности как признаки классификации.
2. Справочные материалы:
[1], §1. Введение в системный анализ
Место системного анализа и исследования операций (СА и ИСО) в современной науке и практике. Предмет и задачи дисциплины СА и ИСО. История развития СА и ИСО. Роль СА и ИСО в решении задач автоматизации обработки информации, планирования и управления.
§2. Основы системного анализа
Определение системы. Физические и абстрактные системы. Макроскопическая и микроскопическая точки зрения на поведение систем. Естественные и искусственные системы. Свойства системы. Взаимодействие системы с
окружающей средой. Управляемые системы и их особенности. Понятие кибернетики. Понятия поведения и сложности как признаки классификации.
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое системные исследования?
2. Назовите три основные причины системных исследований.
3. Приведите краткую история развития СА и ИСО. Какова роль СА и
ИСО в решении задач автоматизации обработки информации, планирования и
управления?
4. Что такое системные исследования?
8
5. Назовите три основных причин системных исследований.
6. Приведите краткую история развития СА и ИСО. Какова роль СА и
ИСО в решении задач автоматизации обработки информации, планирования и
управления?
7. Приведите определение системы. Раскройте содержание терминов
объекты, связи, свойства в определении системы.
8. Чем различаются физические и абстрактные системы? Приведите
примеры каждого вида упомянутых систем.
9. Как соотносятся система и окружающая еѐ среда?
10. Чем отличаются макроскопический микроскопический подходы к
изучению систем? Приведите примеры таких подходов.
11. Перечислите макроскопические свойства систем.
12. Виды систем: естественные и искусственные системы. Свойства систем.
13. Понятия поведения и сложности как признаки классификации.
9
Тема 2. Общая методология исследования операций
1. Вопросы для подготовки:
1. Основные понятия и особенности исследования операций.
2. Этапы операционного исследования и их содержание. Критерий оптимальности.
3. Математическая модель ИСО, их виды.
4. Классы операционных задач: задачи управления запасами, задачи
распределения, задачи массового обслуживания, задачи выбора маршрута,
задачи замены, задачи упорядочения, задачи сетевого планирования и управления, состязательные задачи, задачи поиска.
2. Справочные материалы
[1], §3. Основы исследования операций
Основные понятия и особенности исследования операций. Этапы операционного исследования и их содержание. Критерий оптимальности. Виды
математических моделей ИСО. Классы операционных задач. Резюме.
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте одно из определений исследования операций.
2. Что в себя включает понятие операция?
3. Перечислите основные особенности ИСО и раскройте их содержание.
4. Перечислите этапы операционного исследования и раскройте их содержание.
5. Что такое критерий оптимальности и какие требования к нему предъявляются?
3. Что такое математическая модель ИСО? Какие их виды вы знаете?
4. Перечислите наиболее характерные классы операционных задач.
5. Охарактеризуйте каждый из наиболее характерных классов операционных задач.
10
Тема 3. Задача линейного программирования. Типовые задачи
линейного программирования. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
1) Подготовка к лабораторной работе №1:
1. Вопросы для подготовки
1. Задача линейного программирования (ЗЛП).
2. Типовые задачи линейного программирования.
3. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
3. Справочные материалы
[2], Глава I. Начала линейного программирования.
§1. Задача линейного программирования. Типичные задачи линейного
программирования, их математические модели.
1.1. Задача линейного программирования
1.2. Типичные ЗЛП и их математические модели
§2. Общая ЗЛП. Канонический вид ЗЛП
2.1. Общая ЗЛП
§3. Теоретические основы решения ЗЛП. Геометрическая интерпретация
ЗЛП. Идея аналитического решения
3.1. Теоретические основы решения ЗЛП
3.2. Геометрическая интерпретация ЗЛП
[3], Приложение 2.
§1. Решение задачи линейного программирования в оболочке Excel.
1.1. Применение режима «Поиск решения».
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку ЗЛП.
2. Сформулируйте постановки типовых ЗЛП и их математические модели.
3. В чѐм заключается геометрический метод решения ЗЛП?
4. Как решается ЗЛП в среде Excel в режиме «Поиск решения»?
3. В чѐм заключается метод искусственного базиса решения ЗЛП?
11
Тема 4. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
1) Подготовка к практическому занятию №1:
1. Вопросы для подготовки
1. Задача линейного программирования (ЗЛП).
2. Симплекс-метод решения ЗЛП.
3. Справочные материалы
[1], Глава I. Начала линейного программирования.
§1. Задача линейного программирования. Типичные задачи линейного
программирования, их математические модели.
1.1 . Задача линейного программирования
1.2. Типичные ЗЛП и их математические модели
§2. Общая ЗЛП. Канонический вид ЗЛП
2.1. Общая ЗЛП
2.2. Канонический вид ЗЛП
§3. Теоретические основы решения ЗЛП. Геометрическая интерпретация
ЗЛП. Идея аналитического решения
3.1. Теоретические основы решения ЗЛП
3.5. Теоретические основы решения ЗЛП (продолжение)
§4. Симплекс-метод решения ЗЛП
4.1. Алгоритм симплекс-метода
4.2. Симплекс-таблицы
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку ЗЛП.
2. В чѐм заключается симплекс-метод решения ЗЛП?
2) Подготовка к лабораторной работе №2:
1. Выполнение домашнего задания:
1. Решить Задание ЛП-1 индивидуальной работы ([1], Приложение 1).
2. Решить ЗЛП упражнения 1.3.1ж), з) симплекс-методом.
2. Вопросы для подготовки
1. Задача линейного программирования (ЗЛП).
2. Симплекс-метод решения ЗЛП.
12
3. Справочные материалы
[1], Глава I. Начала линейного программирования.
§1. Задача линейного программирования. Типичные задачи линейного
программирования, их математические модели.
1.1 . Задача линейного программирования
1.2. Типичные ЗЛП и их математические модели
§2. Общая ЗЛП. Канонический вид ЗЛП
2.1. Общая ЗЛП
2.2. Канонический вид ЗЛП
§3. Теоретические основы решения ЗЛП. Геометрическая интерпретация
ЗЛП. Идея аналитического решения
3.1. Теоретические основы решения ЗЛП
3.5. Теоретические основы решения ЗЛП (продолжение)
§4. Симплекс-метод решения ЗЛП
4.1. Алгоритм симплекс-метода
4.2. Симплекс-таблицы
[3], Приложение 2.
§1. Решение задачи линейного программирования в оболочке Excel.
1.2. Реализация симплекс-метода в оболочке Excel.
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку ЗЛП.
2. В чѐм заключается симплекс-метод решения ЗЛП?
13
Тема 5. Метод искусственного базиса
1) Подготовка к лабораторной работе №3:
1. Вопросы для подготовки
1. Задача линейного программирования (ЗЛП).
2. Симплекс-метод решения ЗЛП.
3. Метод искусственного базиса.
3. Справочные материалы
[2], Глава I. Начала линейного программирования.
§1. Задача линейного программирования. Типичные задачи линейного
программирования, их математические модели.
1.1 . Задача линейного программирования
1.2. Типичные ЗЛП и их математические модели
§2. Общая ЗЛП. Канонический вид ЗЛП
2.1. Общая ЗЛП
2.2. Канонический вид ЗЛП
§3. Теоретические основы решения ЗЛП. Геометрическая интерпретация
ЗЛП. Идея аналитического решения
3.1. Теоретические основы решения ЗЛП
3.5. Теоретические основы решения ЗЛП (продолжение)
§4. Симплекс-метод решения ЗЛП
4.1. Алгоритм симплекс-метода
4.2. Симплекс-таблицы
§5. Метод искусственного базиса
5.1. Суть метода искусственного базиса
[3], Приложение 2.
§1. Решение задачи линейного программирования в оболочке Excel.
1.2. Реализация симплекс-метода в оболочке Excel.
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку ЗЛП.
2. В чѐм заключается симплекс-метод решения ЗЛП?
3. В чѐм заключается метод искусственного базиса решения ЗЛП?
14
Тема 6. Теория двойственности
1) Подготовка к практическому занятию №2:
1. Выполнение домашнего задания:
1. Решить ЗЛП упражнения 1.3.1ж) ([2], Глава I) методом искусственного базиса.
2. Решить Задание ЛП-2.1б) и Задание ЛП-3 индивидуальной работы
([2], Приложение 1).
2. Вопросы для подготовки
1. Пара симметричных двойственных задач
2 Пара несимметричных двойственных задач
3. Теоремы двойственности
3. Справочные материалы
[2], Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача
§1. Теория двойственности
1.1. Задача, приводящая к паре двойственных задач
1.2. Пара симметричных двойственных задач
1.3. Пара несимметричных двойственных задач
1.4. Теоремы двойственности
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте свойства пары двойственных задач. Чем отличается
пара симметричных от пары несимметричных двойственных задач?
2. Сформулируйте теоремы двойственности.
2) Подготовка к лабораторной работе №4:
1. Выполнение домашнего задания:
1. Решить Задание ЛП-2.1б) и Задание ЛП-3 индивидуальной работы
([2], Приложение 1).
2. К ЗЛП упражнения 1.3.1ж), з) Главы I составить двойственную и
найти еѐ решение по решению исходной.
2. Вопросы для подготовки
1. Пара симметричных двойственных задач
15
2 Пара несимметричных двойственных задач
3. Теоремы двойственности
3. Справочные материалы
[2], Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача
§1. Теория двойственности
1.1. Задача, приводящая к паре двойственных задач
1.2. Пара симметричных двойственных задач
1.3. Пара несимметричных двойственных задач
1.4. Теоремы двойственности
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте свойства пары двойственных задач. Чем отличается
пара симметричных от пары несимметричных двойственных задач?
2. Сформулируйте теоремы двойственности.
16
Тема 7. Целочисленная задача линейного программирования
1) Подготовка к лабораторной работе №1:
1. Задание для самостоятельного решения:
1. К ЗЛП упражнения 1.3.1ж), з) Главы I составить двойственную и
найти еѐ решение по решению исходной.
2. Решить Задание ЛП-2.2) индивидуальной работы относительно двойственности ([2], Приложение 1).
2. Вопросы для подготовки
1. Реализация симплекс-метода в оболочке Excel
2. Постановка целочисленной задачи линейного программирования
3. Геометрическая интерпретация целочисленной задачи линейного программирования
4. Метод Гомори
3. Справочные материалы
[2], Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача
§2. Элементы целочисленного программирования
2.1. Постановка и геометрическая интерпретация
2.2. Метод Гомори
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Как реализуется симплекс-метод в оболочке Excel?
2. В чѐм заключается задача целочисленного программирования?
3. Как решается задача целочисленного программирования в режиме
«Поиск решения»?
4. В чѐм заключается метод Гомори?
17
2) Подготовка к лабораторной работе №2:
1. Задание для самостоятельного решения:
1. Решение упражнения 2.3.2а) из [2] оформить, взяв за образец оформления разобранный в Приложении 1 пример.
2. Приложить распечатку сценария решения в режиме «Поиск решения».
2. Вопросы для подготовки: см. Подготовка к лабораторной работе
№1
3. Справочные материалы: см. Подготовка к лабораторной работе
№1
4. Задание для самостоятельной проработки:
1. Решение примера индивидуального задания (Задание ЛП-5, [2])
оформить, взяв за образец оформления пример в Приложении 7.
2. Приложить распечатку сценария решения в режиме «Поиск решения».
5. Вопросы для самоконтроля: см. Подготовка к лабораторной работе №1
18
Тема 8. Транспортная задача
1) Подготовка к практическому занятию №3:
1. Вопросы для подготовки:
1. Постановка транспортной задачи.
2. Сведение задачи открытого типа к задаче закрытого типа.
3. Построение первоначального опорного плана методами северозападного угла и наименьших затрат.
3. Справочные материалы:
[2], Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача
§3. Транспортная задача
3.1. Постановка и математическая модель транспортной задачи
3.2. Теоретические основы решения транспортной задачи
3.3. Алгоритм метода потенциалов.
3.4. Сведение задачи открытого типа к задаче закрытого типа.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулировать постановку транспортной задачи.
2. Сформулировать математическую модель транспортной задачи.
3. Чем отличается задача открытого типа от задачи закрытого типа?
4. В чѐм заключается метод северо-западного угла построения первоначального опорного плана?
5. В чѐм заключается метод наименьших затрат построения первоначального опорного плана?
2) Подготовка к практическому занятию №4:
1. Задание для самостоятельного решения:
1. Построить первоначальный опорный план задач упражнения 3.5.3)
методами северо-западного угла и наименьших затрат.
2. Вопросы для подготовки:
1. Помеченный цикл и сдвиг по нему.
2. Критерий оптимальности опорного плана транспортной задачи.
3. Нахождение потенциалов.
4. Алгоритм метода потенциалов.
19
3. Справочные материалы:
[2], Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача
§3. Транспортная задача
3.2. Теоретические основы решения транспортной задачи
3.3. Алгоритм метода потенциалов.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое помеченный цикл и сдвиг по циклу?
2. Что такое потенциалы и как они находятся.
3. Сформулировать условие оптимальности транспортной задачи.
4. Сформулировать алгоритм метода потенциалов.
3) Подготовка к лабораторной работе №4:
1. Задание для самостоятельного решения:
1. Решить упражнение 3.5.3).
2. Решить Задание ЛП-6 индивидуальной работы ([2], Приложение 1).
2. Вопросы для подготовки:
См. Подготовка к практическим занятиям №3 и 4, а также:
1. Особенность применения встроенных функций СУММПРОИЗВ() и
СУММ() при вводе данных транспортной задачи
2. Нахождение решения транспортной задачи режиме «Поиск решения»
3. Справочные материалы:
См. Подготовка к практическому занятию №3 и 4, а также:
[4], Приложение 3.
4. Вопросы для самоконтроля:
См. Подготовка к практическому занятию №3 и 4, а также
1. В чѐм особенность применения встроенных функций СУММПРОИЗВ() и СУММ() при вводе данных транспортной задачи?
2. Как находится решение транспортной задачи режиме «Поиск решения»?
20
Тема 9. Сведение некоторых задач нелинейного программирования к задаче линейного программирования
1) Подготовка к практическому занятию №3:
1. Вопросы для подготовки
1. Постановка задачи дробно-линейного программирования
2. Математическая модель задачи дробно-линейного программирования
3. Сведение задачи дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
4. Нахождение решения исходной задачи дробно-линейного программирования по решению вспомогательной задачи линейного программирования
3. Справочные материалы
[3], Приложение 2.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. В чѐм заключается задача дробно-линейного программирования?
2. Написать математическую модель задачи дробно-линейного программирования.
3. Как сводится задача дробно-линейного программирования к задаче
линейного программирования?
4. Как находится решение исходной задачи дробно-линейного программирования по решению вспомогательной задачи линейного программирования?
21
Тема 10. Постановка задачи векторной оптимизации и принципиальные подходы к еѐ решению
1) Подготовка к практическому занятию №4:
1. Вопросы для подготовки:
1. Постановка задачи векторной оптимизации
2. Принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации
3. Метод введения дополнительной переменной (сведение к задаче линейного программирования)
2. Справочные материалы:
[5], §1. Постановка задачи векторной оптимизации и принципиальные
подходы к еѐ решению
1.1. Постановка задачи векторной оптимизации
1.2. Принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации
§2. Многоцелевая задача линейного программирования
2.1. Постановка многоцелевой задачи линейного программирования
2.2. Метод идеальной точки
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку задачи векторной оптимизации
2. Какие принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации вы знаете?
3. В чѐм заключается метод идеальной точки (геометрический метод)?
4. В чѐм заключается метод введения дополнительной переменной (сведения к задаче линейного программирования)?
22
Тема 10. Многоцелевая задача линейного программирования
1. Вопросы для подготовки:
1. Постановка задачи векторной оптимизации
2. Принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации
2. Справочные материалы:
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку задачи векторной оптимизации
2. Какие принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации вы знаете?
3. В чѐм заключается метод идеальной точки (геометрический метод)?
2) Подготовка к практическому занятию №6:
1. Вопросы для подготовки:
1. Постановка задачи векторной оптимизации
2. Постановка многоцелевой задачи линейного программирования
2. Справочные материалы:
[3], §1. Постановка задачи векторной оптимизации и принципиальные
подходы к еѐ решению
1.1. Постановка задачи векторной оптимизации
§2. Многоцелевая задача линейного программирования
2.1. Постановка многоцелевой задачи линейного программирования
2.3. Метод введения дополнительной переменной
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку задачи векторной оптимизации
2. Какие принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации вы знаете?
3. В чѐм заключается метод идеальной точки (геометрический метод)?
3) Подготовка к лабораторной работе №5:
1. Задание для самостоятельного решения:
1. Решить Задание 1 индивидуальной работы из [3], Приложение А.
23
2. Вопросы для подготовки:
См. Подготовка к практическим занятиям №5 и 6.
3. Справочные материалы:
См. Подготовка к практическому занятию №5 и 6.
4. Вопросы для самоконтроля:
См. Подготовка к практическому занятию №5 и 6.
24
Тема 11. Основные понятия теории игр. Некоторые виды игр.
1. Вопросы для подготовки:
1. Предмет теории игр. Основные понятия
2. Некоторые виды игр
3. Справочные материалы:
[3], §1. Предмет теории игр. Основные понятия. Некоторые виды игр
1.1. Предмет теории игр.
1.2. Основные понятия.
1.3. Некоторые виды игр.
1.4. Дальнейшие понятия.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Что изучает теория игр?
2. Что такое конфликт (с точки зрения теории игр), игрок, стратегия, игровая ситуация, выигрыш, равновесная ситуация, чистые и смешанные стратегии, матричная игра.
3. Какие виды игр вы знаете?
25
Тема 12. Матричная игра. Игра с седловой точкой. Смешанные
стратегии
1. Вопросы для подготовки:
1. Матричная игра.
2. Равновесная ситуация.
3. Смешанные стратегии.
4. Теоремы Дж. фон Неймана и об оптимальных смешанных стратегиях
игроков.
2. Справочные материалы:
[3], §2. Матричные игры
2.1. Понятие матричной игры
2.2. Равновесная ситуация.
2.3. Смешанные стратегии.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое матрица выигрышей игроков?
2. Чем отличается матричная игра от биматричной?
3. Что такое нижняя и верхняя цена игры, игра с седловой точкой, седловая точка, цена игры в игре с седловой точкой?
4. Что такое игра без седловой точки, смешанная стратегия?
5. Что такое оптимальная смешанная стратегия игроков, цена игры?
6. Что такое решение игры и что значит решить игру?
7. Сформулируйте теорему Дж. фон Неймана.
8. Сформулируйте теорему об оптимальных смешанных стратегиях игроков.
26
Тема 13. Геометрическое решение игры 2n и m2
1) Подготовка к практическому занятию №7:
1. Вопросы для подготовки:
1. Матричная игра.
3. Смешанные стратегии.
4. Теоремы Дж. фон Неймана и об оптимальных смешанных стратегиях
игроков.
5. Геометрический метод решения матричной игры
2. Справочные материалы:
[3], §2. Матричные игры
2.1. Понятие матричной игры
2.2. Равновесная ситуация.
2.3. Смешанные стратегии.
2.4. Геометрический метод решения матричной игры
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое матрица выигрышей игроков?
2. Чем отличается матричная игра от биматричной?
3. Что такое игра без седловой точки, смешанная стратегия?
4. Что такое оптимальная смешанная стратегия игроков, цена игры?
5. Что такое решение игры и что значит решить игру?
6. Сформулируйте теорему Дж. фон Неймана.
7. Сформулируйте теорему об оптимальных смешанных стратегиях игроков.
8. В чѐм заключается геометрический метод решения матричной игры?
2) Подготовка к лабораторным работам №6 и 7:
1. Задания для самостоятельного решения:
1. Решить Задание 2 индивидуальной работы ([8], Приложение 8).
2. Вопросы для подготовки см. Подготовка к практическому занятию №7.
3. Справочные материалы см. Подготовка к практическому занятию №7
4. Вопросы для самоконтроля см. Подготовка к практическому занятию №7
27
Тема 14. Решение матричной игры в общем случае сведением к
задаче линейного программирования
1) Подготовка к практическому занятию №8:
1. Вопросы для подготовки:
1. Матричная игра.
2. Смешанные стратегии.
3. Теоремы Дж. фон Неймана и об оптимальных смешанных стратегиях
игроков.
4. Решение матричной игры сведением к задаче линейного
программирования
2. Справочные материалы:
[3], §2. Матричные игры
2.1. Понятие матричной игры
2.3. Смешанные стратегии.
2.5. Решение матричной игры сведением к задаче линейного
программирования
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое матрица выигрышей игроков?
2. Чем отличается матричная игра от биматричной?
3. Что такое игра без седловой точки, смешанная стратегия?
4. Что такое оптимальная смешанная стратегия игроков, цена игры?
5. Что такое решение игры и что значит решить игру?
6. Сформулируйте теорему Дж. фон Неймана.
7. Сформулируйте теорему об оптимальных смешанных стратегиях игроков.
8. Как сводится матричная игра к задаче линейного программирования?
9. Как с помощью решения задачи линейного программирования находится решение матричной игры?
2) Подготовка к лабораторной работе №8:
1. Задания для самостоятельного решения:
1. Решить Задание 3 индивидуальной работы ([3], Приложение 8).
2. Вопросы для подготовки см. Подготовка к практическому занятию №7.
3. Справочные материалы см. Подготовка к практическому занятию №7
4. Вопросы для самоконтроля см. Подготовка к практическому занятию №8
28
Тема 15. Потки в сетях и их оптимизация
1. Вопросы для подготовки:
1. Понятие Марковского случайного процесса.
2. Потоки событий.
3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояние.
4. Процесс гибели и размножения.
3. Справочные материалы:
[7], §1. Элементы теории случайных процессов
1.1. Понятие Марковского случайного процесса.
1.2. Потоки событий.
1.3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояние.
1.4. Процесс гибели и размножения.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое марковский случайный процесс? Что такое граф состояний?
2. Что такое поток событий?
3. Раскройте понятия: регулярный поток событий, стационарный поток
событий, поток событий без последствия, ординарный поток событий,простейший поток событий.
4. Сформулируйте правило составления уравнений Колмогорова.
5. Опишите процесс гибели и размножения.
29
Тема 16. Элементы теории случайных процессов
1. Вопросы для подготовки:
1. Понятие Марковского случайного процесса.
2. Потоки событий.
3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояние.
4. Процесс гибели и размножения.
3. Справочные материалы:
[7], §1. Элементы теории случайных процессов
1.1. Понятие Марковского случайного процесса.
1.2. Потоки событий.
1.3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояние.
1.4. Процесс гибели и размножения.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое марковский случайный процесс? Что такое граф состояний?
2. Что такое поток событий?
3. Раскройте понятия: регулярный поток событий, стационарный поток
событий, поток событий без последствия, ординарный поток событий,простейший поток событий.
4. Сформулируйте правило составления уравнений Колмогорова.
5. Опишите процесс гибели и размножения.
30
Тема 17. Основные виды систем массового обслуживания и вычисление их характеристик
1) Подготовка к практическому занятию №9:
1. Вопросы для подготовки:
1. Формулировка задачи и характеристики СМО
2. СМО с отказами
3. СМО с неограниченным ожиданием
4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
2. Справочные материалы:
[7], §2. Элементы систем массового обслуживания
2.1. Формулировка задачи и характеристики СМО
2.2. СМО с отказами
2.3. СМО с неограниченным ожиданием
2.4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте задачу характеристики СМО.
2. Назовите основные элементы СМО.
3. Какие основные виды СМО вы знаете? Чем они отличаются друг от
друга?
4. Перечислите основные характеристики каждого вида СМО и приведите формулы для их рассчѐта.
2) Подготовка к лабораторной работе №9:
1. Задания для самостоятельного решения:
1. Разобрать пример 1 3 из §3.
2. Решить Задания 4 6 индивидуальной работы ([8], Приложение 8).
2. Вопросы для подготовки: см. Подготовка к практическому занятию №9
3. Справочные материалы: см. Подготовка к практическому занятию №9
4. Вопросы для самоконтроля: см. Подготовка к практическому занятию №9
31
Список рекомендуемой литературы
1. Приложение 1. Основы системного анализа и исследовании операций
(см. данное пособие).
2. Мухаметьянов И.Т. Методические материалы к изучению дисциплин
«Методы оптимизации», «Методы оптимальных решений», «Системный анализ и управление», «Исследование операций и методы оптимизации систем».
Раздел «Линейное программирование». Лысьва: Изд-во Лысьвенского филиала Пермского национального исследовательского политехнического ун-та,
2015. 153 с.
3. Приложение 2. Решение некоторых задач линейного программирования с использование оболочки Excel (см. данное пособие).
4. Приложение 3. Сведение задачи дробно-линейного программирования
к задаче линейного программирования (см. данное пособие).
5. Приложение 4. Элементы векторной оптимизации (см. данное пособие).
6. Приложение 5. Элементы теории игр (см. данное пособие).
7. Приложение 6. Элементы систем массового обслуживания (см. данное
пособие).
8. Приложение 7. Задания для индивидуальных (контрольных работ) (см.
данное пособие).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Антонов А.В. Системный анализ: учебник. – М.: Высшая школа, 2004.
2. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций: учебник. М.:
Изд-во МГТУ, 2002.
3. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики: учебник. М.: ИНФРА-М, 2006
4. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учебное пособие.
М.: ЮНИТИ, 2001
32
Приложение 1. Основы системного анализа и исследования операций
§1. Введение в системный анализ.
Место системного анализа и исследования операций (СА и ИСО) в современной
науке и практике. Предмет и задачи дисциплины СА и ИСО. История развития СА и
ИСО. Роль СА и ИСО в решении задач автоматизации обработки информации, планирования и управления.
Подход к объектам исследования как к системам выражает одну из главных особенностей современного научного познания. В пользу объективности
сказанного можно привести многочисленные попытки построения новых подходов к изучению сложных объектов, характерные для науки XX в., среди которых видное место занимает общая теория систем, впервые сформулированная в виде специальной концепции Л. фон Берталанфи.
Значение системных исследований и проблематики общей теории систем
объясняется тремя основными причинами.
Во-первых, большинство традиционных научных дисциплин: биология,
психология, лингвистика, социология, логика и т. д.— в последнее время существенно трансформировали предметы своего рассмотрения, в качестве которых
теперь обычно выступают множества взаимосвязанных элементов, представляющих собой целостные образования (системы и структуры).
Во-вторых, технический прогресс, внедрение автоматизации привели к
тому, что главными объектами современного технического проектирования и
конструирования оказались системы управления (большие системы), которые
по своей структуре и процессу создания выступают в виде типичных образцов
системных объектов. Поэтому следует отметить возникновение целого комплекса новых дисциплин, таких, как кибернетика, теория информации, распознавание образов, эвристическое программирование, бионика и т. д., основная
задача которых — исследование систем различного типа.
Наконец, в-третьих, широкое внедрение в науку и технику задач системного анализа и связанных с этим методологических трудностей привело к появлению ряда обобщенных концепций, стремящихся построить «общую теорию
систем», «системную науку», создать «методологию системного анализа» и т.
д.
Системные исследования — это совокупность научных и технических
проблем, которые при всей их специфике и разнообразии сходны в понимании
33
и рассмотрении исследуемых объектов с точки зрения систем, выступающих
как единое целое. Соответственно системный подход — это эксплицитное выражение процедур представления систем и способов исследования объектов
(описания, объяснения, предвидения, конструирования и т. д.). И общая теория
систем — междисциплинарная область научных исследований, в задачи которой входит: разработка обобщенных моделей систем; построение логикометодологического аппарата описания функционирования и поведения системных объектов; создание обобщенных теорий систем разного типа, включая теории динамики систем, их целенаправленного поведения, исторического развития, иерархического строения, процессов управления в системах и т. д.
Одной из первых наук, в которой объекты исследования рассматривались
как системы, была биология. В классической биологии основными единицами
анализа были организм и биологический вид. При этом высшим обобщением
явилась эволюционная теория, объясняющая происхождение и развитие видов.
Однако сама эволюционная теория, поставив вопрос о механизмах эволюции, в
частности о механизмах наследственности и изменчивости, вплотную подвела к
необходимости более широкого понимания процессов жизни. Такое понимание
начало формироваться в двух основных направлениях. Во-первых, произошло
расширение сферы исследований за пределы организма, что нашло выражение
в формировании и развитии учения о биоценозах и биогеоценозах. Во-вторых, в
биологии организма внимание исследователей все более перемещалось от отдельных процессов к их взаимодействию. Было обнаружено, что основные
сложные проявления жизни, долго не находившие объяснения с позиций прежних методологических принципов, связаны с внутренним взаимодействием, организованностью. Это — саморегуляция и регенерация, генетический и физиологический гомеостазис и т. д. Проникновение в биологию идей кибернетики
способствовало оформлению этих представлений, все более группировавшихся
вокруг понятия «система». Стало ясно, что эволюцию нельзя понять вне развернутых представлений об организованности и, следовательно, задачи существенного дополнения и обогащения эволюционного подхода. Поиски путей
решения задачи привели к формированию системного подхода в биологии, получившего различные конкретные воплощения в работах В. И. Вернадского, Л.
фон Берталанфи, У. Росс Эшби, Н. А. Бернштейна и других советских и зарубежных исследователей.
Системные идеи сравнительно давно получили распространение и в некоторых психологических концепциях, среди которых первой была гештальтпсихология, выступившая против психологического атомизма, сведения пси-
34
хических феноменов к их физиологической основе и поставившая во главу угла
целостность психических структур. С этого времени структурный подход к
психической деятельности фактически получил всеобщее признание, стал
неотъемлемой частью современной психологии.
С системными идеями теснейшим образом связана и общая теория знаковых систем. К настоящему времени сложились обособленные лингвистическая,
логическая, психологическая и социологическая трактовки знака, каждая из которых опирается на специфические способы подхода к знаковым системам (как
языковая система, система значений и логических связей, орудие мышления,
средство коммуникации) и использует вытекающие отсюда методы анализа.
Принципиальная задача семиотики (общая теория знаковых систем) состоит в
синтезировании этих подходов.
Системная направленность исследований пробивает себе дорогу и в ряде
других областей современной науки. Среди них прежде всего следует упомянуть кибернетику, в которой понятие «система» одно из основных. Решаемые
кибернетикой задачи информационного моделирования функций живых организмов, исследования по бионике, развитие теории самоорганизующихся систем, приложения кибернетики к социальным исследованиям и др.— все это
связано с постановкой и решением системных задач. Принципы системноструктурного анализа все шире проникают в науку об обществе, в науки о Земле, в языкознание и т. д.
Помимо науки, не менее важной сферой внедрения в общественное сознание идей системного подхода является современная техника. Научнотехническая революция уже существенно изменила исходные принципы конструирования современных технических систем, для которых характерны:
большие масштабы по числу частей, объему выполняемых функций, абсолютной стоимости и т. д.; наличие определенной целостности, функционального
единства (общей цели, назначения и т. д.), что приводит к сложному иерархическому строению; сложность поведения; высокая степень автоматизации, означающая, в частности, повышение степени самостоятельности системы в ее поведении; нерегулярное, статистически распределяемое во времени поступление
внешних воздействий; наличие в целом ряде случаев «состязательного» момента, т. е. такого функционирования системы, при котором необходимо учитывать
конкуренцию отдельных частей системы. Эти системы получили название
больших систем, например, системы управления уличным движением в городах, железнодорожным и другими сообщениями, автоматические системы об-
35
работки научной и иной информации, автоматизированные системы управления и т. д.
Разработка и конструирование указанных систем внесли существенные
изменения в общие методы технического мышления: системный подход стал
рассматриваться как важнейший компонент современной техники. Единство
технической системы, подчинение изделия системе, стратегия поведения системы, системность в проектировании и т. д.— вот исходные установки новых
методов технического мышления.
Наконец, организация производства — третий источник современных системных представлений. Гигантское возрастание сложности технических объектов привело к тому, что в процессе их конструирования оказываются связанными в единое целое тысячи предприятий, сотни тысяч исполнителей. В результате наряду и даже задолго до создания самой технической системы складывается и живет по своим законам другая, неразрывно связанная с ней система
— система по созданию системы.
Из этой краткой характеристики основных направлений становления системного подхода нетрудно убедиться, что в каждом случае задачи системного
анализа весьма специфичны. Тем не менее определенные моменты указывают
на существенную общность перечисленных направлений разработок в науке,
технике и организации производства. Именно эта общность и позволяет говорить о системном подходе как о некоторой особой и внутренне единой исследовательской позиции.
Исследование систем началось примерно в одно и то же время (на рубеже
XIX—XX вв.) в различных областях знания. Исторически получилось так, что в
относительной независимости друг от друга сложились и существуют три
крупных методологических направления, связанных с изучением системных
объектов: структурно-функциональный анализ, структурализм и системный
подход. Структурно-функциональный анализ возник в социологии, которая до
сих пор остается основной областью его применения. Структурализм зародился в лингвистике, а затем распространился на антропологию, искусствоведение,
историю и некоторые другие гуманитарные дисциплины. Системный подход
поначалу развивался на естественнонаучной базе (главным образом, в биологии), затем, после второй мировой войны, пережил второе рождение в современной технике, а в последнее время внедряется и в социальные науки.
Системный подход характеризует стремление к наибольшей общности и
универсальности выдвигаемых методологических принципов, и не случайно
36
теорию систем (в широком смысле слова) до последнего времени нередко ставят в один ряд с кибернетикой.
Постановка широкого круга системных задач привела к идее обобщенного рассмотрения системного подхода в науке середины XX в.
Первый развернутый вариант «общей теории систем» был сформулирован Л. фон Берталанфи вскоре после второй мировой войны. Основная задача
этой концепции состояла в том, чтобы опираясь на понимание системы в виде
комплекса взаимосвязанных компонентов, найти совокупность законов, объясняющих поведение, функционирование и развитие систем разных классов.
Концепция Л. фон Берталанфи появилась и развивалась в весьма благоприятной для постановки системных идей обстановке: все шире в современную
науку проникали конкретные методы исследования разнообразных объектов
как систем, именно в этот период возник ряд теоретических концепций (например, кибернетика и примыкающий к ней цикл научных дисциплин), занимающихся анализом систем разной сложности и природы. Вполне естественно, что
теория Л. фон Берталанфи оказалась тесно связанной с этими дисциплинами,
установилось их плодотворное научное воздействие друг на друга, что создало
условие для быстрого роста разнообразных вариантов общесистемного подхода. Поэтому возникло множество подходов к построению теории систем.
Для большинства современных общесистемных подходов характерно сохранение первоначальных задач «общей теории систем» в том виде, как они
были сформулированы Л. фон Берталакфи. Произошли лишь вполне естественные уточнения, а иногда и расширения постановок исходных задач (включение
проблем системотехники, акцентирование внимания на целенаправленном поведении систем и т. д). Вместе с тем существенно расширилось понимание конкретных областей объектов, для описания которых строятся обобщенные (в той
или иной степени) системные концепции. Так, наряду с биологическими и, более широко, поведенческими объектами — исключительной областью интересов «общей теории систем» Берталанфи — подвергаются анализу объекты физической природы, различного рода формальные системы, современные технические системы управления. Идеи теории систем начинают использовать для
прогнозирования развития науки и техники.
Важные изменения произошли и в аппарате исследования, использующем
различные варианты системного анализа. Кроме систем дифференциальных
уравнений, теперь для построения общей теории систем используются абстрактная алгебра, теория множеств, математическая логика, методы исследований операций и т. д.
37
Наконец, современный этап развития концепций системного исследования характеризуется глубокой дифференциацией подходов к построению системного анализа. Наряду с продолжающимися попытками создания достаточно обобщенных системных теорий появилось множество работ, посвященных
системным аспектам отдельных научных дисциплин. Эта сфера системного исследования наиболее обширна, все остальные области системной науки в конечном счете предназначены для ее обслуживания. В данной области системного исследования наиболее оперативно создаются и широко внедряются в научную практику конкретные методы и приемы системного анализа и именно
здесь получены наиболее важные результаты.
§2. Основы системного анализа
Определение системы. Физические и абстрактные системы. Макроскопическая и
микроскопическая точки зрения на поведение систем. Естественные и искусственные
системы. Свойства системы. Взаимодействие системы с окружающей средой. Управляемые системы и их особенности. Понятие кибернетики. Понятия поведения и сложности как признаки классификации.
В общем случае под системой понимается наличие множества объектов с
набором связей между ними и между их свойствами, т. е. все, состоящее из связанных друг с другом частей, называется системой. При такой трактовке системами являются: машина, собранная из деталей и узлов; живой организм, образуемый совокупностью клеток; предприятие, объединяющее и связывающее в
единое целое множество производственных процессов, коллективов людей,
различные виды ресурсов, готовую продукцию и пр.
При этом объекты (части) функционируют во времени как единое целое
— каждый объект, подсистема, ячейка работают ради единой цели, стоящей перед системой в целом.
Следовательно, особенность системного подхода состоит в том, что в допустимых границах система управления объектом исследуется как единый организм с учетом внутренних связей между отдельными элементами и внешних
связей с другими системами и объектами.
Рассмотрим подробнее входящие в определение системы термины: «объекты», «связи» и «свойства».
Объекты — суть просто части или компоненты системы, причем имеется
неограниченное множество таких частей. Большинство интересующих нас систем состоит из физических частей: атомов, звезд, переключателей, масс, пружин, электронных и полупроводниковых приборов, костей, нейронов, генов,
38
мышц, газов и т. д. Принимаются за объекты и математические переменные,
уравнения, правила и законы, технологические процессы, производственные
подразделения, станки и т. д.
Свойства — есть качества параметров объектов. Качества — это внешние проявления того способа, с помощью которого получается знание об объекте, ведется за ним наблюдение или которым объект вводится в процесс. Свойства дают возможность описывать объекты системы количественно, выражая
их в единицах, имеющих определенную размерность. Свойства объектов могут
изменяться в результате действия системы.
Связи — это то, что соединяет объекты и свойства в системном процессе
в целое. Предполагается, что связи существуют между всеми системными элементами, между системами и подсистемами. Связями первого порядка называются связи, функционально необходимые друг другу. Дополнительные связи
называются связями второго порядка. Если они присутствуют, то в значительной степени улучшают действие системы, но не являются функционально необходимыми. Излишние или противоречивые связи называются связями третьего порядка.
Исследователь, решающий проблему, сам принимает решение какие связи существенны, а какие тривиальны, т. е. вопрос о тривиальности оказывается
связанным с личными интересами исследователя и задачами, которые стоят перед ним.
Физические и абстрактные системы. Физические системы состоят из
изделий, оборудования, машин и вообще из естественных или искусственных
объектов. Этим системам можно противопоставить абстрактные системы. В
последних свойства объектов, существующие только в уме исследователя,
представляют символы. Идеи, планы, гипотезы и понятия, находящиеся в процессе исследования, могут быть описаны как абстрактные системы.
Рассмотрим прежде всего систему, части которой — пружина, груз с некоторой массой и твердая поверхность, предположим потолок. Вообще говоря,
эти компоненты не связаны друг с другом (за исключением искусственных логических отношений, как, например, то, что они находятся в одной комнате).
Однако стоит прикрепить пружину к потолку и повесить на нее груз, как между
ними появятся особые отношения (в смысле физической связанности), которые
дадут начало весьма интересной системе. В частности, возникают новые связи
между свойствами данных частей. Длина пружины, расстояние груза от потолка, упругие свойства пружины и размер груза — все это находится в некоторых
связях друг с другом. Такая система статична, ее свойства не изменяются со
39
временем. Задав начальное отклонение от положения равновесия, получим
определенное значение скорости движения груза, зависящее от размеров массы
и упругих свойств пружины. Положение массы будет меняться во времени. В
этом случае имеем дело с динамической системой.
Более сложный пример — радиосистема с высокой точностью воспроизведения. В ней гораздо больше частей, но для простоты выделим следующие:
диск и звукосниматель проигрывателя, усилитель, громкоговоритель и ящик.
Как и в первом случае, не связанные друг с другом части не образуют системы.
Но если связи установлены, т. е. электрическая связь идет от входа к выходу, то
части системы и их свойства находятся в таких отношениях друг к другу, что
изменение системы на каком-то участке зависит от изменений на других участках, например, механические вибрации в громкоговорителе связаны с силой тока и напряжением в усилителе.
Система, не имеющая физической природы,— система уравнений действительных переменных. Наиболее очевидное свойство действительной переменной — ее числовое значение; другими словами, в этом случае объект и
свойство связаны друг с другом теснейшим образом (в любом случае объект в
конечном счете определяется его свойствами). Связи между переменными
обычно формулируются в виде уравнений. Для большей конкретности рассмотрим переменные х1 и х2, удовлетворяющие двум линейным уравнениям:
.
,
1 1 2 2 2
1 1 2 2 1
b x b x c
a x a x c
(1.1)
Эти уравнения связывают переменные: вместе они образуют систему линейных уравнений, частями которой являются переменные х1 и х2. Отношения
между ними определяются константами и ограничениями, наложенными одновременно на все данные величины. Система уравнений (1.1) может рассматриваться как статическая по аналогии с системой «пружина — груз». Это аналогия объясняется тем, что числа, которые удовлетворяют уравнениям, фиксированы точно так же, как заданная длина пружины в механическом примере.
С другой стороны, введение времени t дает, например, уравнения следующего вида:
.
,
1 1 2 2
2
1 1 2 2
1
b x b x
dt
dx
a x a x
dt
dx
(1.2)
40
Систему (2) можно назвать динамической (продолжая аналогию с системой «пружина — груз»). В этом случае решение уравнений — функция времени (длина пружины в динамической системе).
Термины «статический» и «динамический» всегда относятся к системам,
уравнения которых представляют абстрактные модели реальных ситуаций. Абстрактные математические и (или) логические отношения сами по себе никогда
не зависят от времени.
Два рассмотренных примера дают представление о методе абстракции и
моделирования.
Для изучения физической системы ее заменяют абстрактной системой с
теми же отношениями, и задача становится чисто математической. Нетрудно
показать, что такого рода аналогия имеет место и в динамическом случае, но
тогда физическая система представляется системой дифференциальных, а не
линейных алгебраических уравнений.
Для успешного изучения системьы с помощью математических методов
последняя должна обладать рядом специальных свойств. Во-первых, должны
быть известны имеющиеся в ней связи, во-вторых, количественно определены
существенные для системы свойства (их число не должно быть столь большим,
чтобы анализ становился невозможным) и, в-третьих, известны при заданном
множестве связей формы поведения системы. К сожалению, системы обладают
этими свойствами лишь до некоторой степени, причем наиболее важные для
нас системы — живые организмы, экономические системы обладают ими в
меньшей степени, чем более простые, механические системы типа «пружина —
груз».
Системы и их среды. Системы существуют в некоторой окружающей
среде и обусловливаются ею. Первое условие окружающей среды есть граница,
относительно которой говорят, что система действует внутри ее. Окружающая
среда определяется в виде набора заключенных внутри конкретных пределов
объектов, которые, как предполагается, влияют на действие системы, т. е. для
данной системы окружающая среда есть совокупность всех объектов, изменение свойств которых влияет на систему, а также тех объектов, чьи свойства меняются в результате поведения системы.
Приведенная формулировка вызывает естественный вопрос: когда объект
принадлежит окружающей среде, а когда — системе? Если объект взаимодействует с системой так, как указано в определении, то не означает ли это, что он
является частью системы? Ответить на этот вопрос не так просто. В известном
смысле система вместе с окружающей средой составляет мир вещей, интересу-
41
ющий нас в определенной задаче. Разделение мира на две совокупности — система и окружающая среда — может быть осуществлено разными способами,
причем все они достаточно произвольны. В конечном счете решение проблемы
зависит от намерений того, кто рассматривает некоторую часть мира как возможные конфигурации объектов, представляющих собой системы.
Специалист по анализу систем не может проводить неограниченные исследования, необходимые для того, чтобы понять все условия, влияющие на
действие системы. Понятие границы предписывает предел, внутри которого
объекты, свойства и их связи можно адекватно объяснить и обеспечить управление ими. Системы и их границы, а стало быть, и среды можно найти достаточно просто, если их объекты по своей природе абсолютны или конечны.
Как правило, исследователь включает в состав системы и ее окружающей
среды те объекты, которые ему кажутся важнейшими, описывает внутренние
связи системы так полно, как это возможно, и уделяет большое внимание
наиболее интересным ее качествам, пренебрегая свойствами, не играющими, по
его мнению, существенной роли. Подобный метод идеализации широко применяется в физике и химии: невесомая струна, воздух, не оказывающий сопротивления, абсолютный газ и т. п. — все это понятия, сильно упрощающие описание и анализ механических и термодинамических миров. Биологи, социологи,
экономисты, физиологи и другие ученые, интересующиеся живыми системами
и их поведением, находятся в более сложном положении. Им не так-то просто
отличить существенные переменные от несущественных, иначе говоря, если не
считать анализа внутренних связей, то проблема спецификации исследуемого
мира и последующее деление его на две составляющие — системы и окружающую среду — представляет некоторую трудность.
Из определения системы и окружающей среды следует, что любая данная
система может быть подразделена на подсистемы. Объекты, принадлежащие
одной подсистеме, могут рассматриваться как части окружающей среды другой
подсистемы. Анализ подсистемы требует изучения новой совокупности отношений. Поведение подсистемы может быть полностью аналогичным поведению исходной системы. Иногда отмечают свойства иерархической упорядоченности систем; по сути дела, имеется в виду возможность разделения систем на
подсистемы.
Эту мысль можно выразить иначе, сказав, что элементы системы сами
могут быть системами низших порядков.
Идея исследования подсистем и их поведения широко применяется в математике, особенно в теории множеств в современной алгебре. В качестве при-
42
мера сошлемся на изучение групп (совокупности математических объектов,
имеющих некоторые алгебраические свойства), которое включает исследование
свойств подгрупп; более того, подгруппы не обязательно «ведут» себя во всех
отношениях так же, как содержащие их группы (поведение здесь имеет алгебраический смысл).
Таким образом, существует относительность точки зрения на систему в
том смысле, что одна и та же совокупность элементов в одном случае система,
в другом — часть некоторой большой системы, в которую она входит. По существу, вся Вселенная состоит из множества систем, каждая из которых содержится в более крупной системе. Так же, как можно представить себе более обширную систему, в которую входит данная, всегда можно выделить из данной
системы более ограниченную.
Макроскопическая и микроскопическая точки зрения на поведение
системы. Одним из методов изучения сложных систем является изучение поведения каждой из ее подсистем (микроскопическая точка зрения). Другой метод заключается в игнорировании детальной структуры и наблюдении только
макроскопического поведения системы как целого. Оба метода широко используются в различных областях знания и имеют важное значение.
Первый (микроскопический) метод изучения систем ведется в направлении анализа процесса, второй (макроскопический) — в направлении анализа
конечного исхода процесса. При анализе процесса система исследуется как некоторое количество связанных между собой подсистем, определяются промежуточные выходы системы. Затем специалист изучает средства, с помощью которых можно перевести подсистемы в последовательно связанную совокупность процессов, пригодную для последующей обработки. Причем существует
множество альтернатив или выборов, квалифицируемых в виде промежуточных
решений. Анализ процесса часто ассоциируется с проблемами реального мира,
физическими системами.
При анализе конечного исхода процесса специалист больше внимания
уделяет завершающим, конечным, а не промежуточным результатам, которых
он может и не знать, и средств, позволивших установить основу для объединения всех процессов в действие системы, может также не быть. Цель исследователя состоит в создании модели изучаемой системы независимо от того, физическая она или абстрактная. Он стремится понять систему как процесс с данными объектами, свойствами и связями. Модель может быть строго математической, если специалист выделяет в проблеме количественные свойства. Если
проблема по своей природе также и качественна, то модель может быть менее
43
строгой и не более сложной, чем схема обработки данных. Создатель модели
старается воспроизвести в миниатюрной, контролируемой форме действие изучаемой системы в реальном мире.
Различие между этими двумя подходами проиллюстрируем на примере
роли физиолога и психолога в познании человека. Физиолога интересуют внутренние свойства и характеристики человеческого тела, он выделяет и анализирует отдельно функции различных внутренних органов в их связи с деятельностью человеческого тела. Например, исследуя сердце, физиолог может считать
окружающей средой кровеносную систему, легкие, почки и т. д. Со своей стороны психолог, не игнорируя полностью условий деятельности внутренних органов человеческого тела, рассматривает главным образом характер поведения
системы при разных внешних условиях. Конечно, теоретически психолог способен обогащать свои знания на основе физиологического подхода. Однако
практически это, как правило, невозможно, так как необходимые для анализа
переменные и отношения столь сложны, что не поддаются в настоящее время
описанию и пониманию. Поэтому психолог считает, что более плодотворно исследовать поведение с макроскопической точки зрения.
Остановимся подробнее на макроскопических свойствах систем.
Целостность и обособленность. При определении системы отмечалось,
что для всех систем характерно наличие связей между объектами и между их
свойствами. Если каждая часть системы так соотносится с каждой другой частью, что изменение в некоторой части вызывает изменение во всех других частях и системе в целом, то говорят, что система ведет себя как целостность
или как некоторое связанное образование. Противоположный случай — поведение объекта, состоящего из совокупности частей, совершенно не связанных
между собой: здесь изменение в каждой части зависит только от самой этой части. Изменение в такой совокупности — физическая сумма изменений в ее отдельных частях. Указанное поведение называется обособленным, или физически суммативным.
Прогрессирующая изоляция. Понятия целостности и суммативности
могут быть использованы для качественного определения других свойств, часто
наблюдающихся в физических системах. Большинство неабстрактных систем
изменяется во времени. Если эти изменения приводят к постепенному переходу
от целостности к суммативности, то говорят, что система подвержена прогрессирующей изоляции.
Проиллюстрируем этот процесс уравнениями (1.2), полагая, что «общие»,
или «связывающие», члены уравнений а2 и b1 — функции времени. При а1 и b2
44
стремящихся в пределе к нулю, имеем две независимые системы или считаем,
что более широкая система, соответствующая двум совместно рассматриваемым уравнениям, становится «вырождающейся системой».
Прогрессирующая изоляция возможна и в результате «роста» системы в
направлении возрастающего деления на подсистемы, под-подсистемы или возрастающей дифференциации функций. Данный тип изоляции возникает обычно
в системах, включающих в себя творческий процесс или процессы эволюции и
развития. Например, эмбриональное развитие, при котором зародыш проходит
путь от целостности до состояния, когда он ведет себя как сумма частей, независимо развивающихся в специальные органы.
Прогрессирующая систематизация — противоположность прогрессирующей изоляции, т. е. процесс, при котором изменение идет в сторону целостности. Он может состоять в усилении ранее существовавших отношений между
частями, развитии отношений между частями, ранее не сзязанных между собой,
постепенном добавлении частей и отношений в систему или в комбинации этих
изменений.
Рассмотрим в качестве примера развитие телефонной сети страны. На
первых порах возникли местные телефонные коммутаторы, которые затем соединяются междугородными линиями. С усовершенствованием методов передачи строятся новые коммутаторы, действующие на значительные расстояния.
Далее создается автоматический набор телефонного номера, что отдает сеть в
распоряжение операторов и в конечном счете клиентов. Суть указанного процесса заключается в росте унификации всей системы в целом.
Централизованной называется система, в которой некоторый элемент
(подсистема) играет главную, доминирующую роль в функционировании системы. Этот элемент называется ведущей частью системы или ее центром. Небольшие изменения ведущей части вызывают значительные изменения всей системы.
Прогрессирующая изоляция и систематизация могут сопровождаться
прогрессирующей централизацией. В этом случае система развивается так, что
одна ее часть берет на себя функции центрального и управляющего органа.
Децентрализованная система — это система, в которой нет главной
подсистемы; важнейшие подсистемы имеют приблизительно одинаковую ценность и построены не вокруг центральной подсистемы, а соединены между собой последовательно или параллельно.
Естественные и искусственные системы. Для уточнения значения понятия «система» будем различать системы естественные и искусственные (со-
45
зданные человеком). Инженеры оперируют с системами, созданными человеком, окружающей средой в которых служат естественные системы, в силу чего
исследование последних оказывается очень важным. Кроме того, существуют
общие свойства систем двух указанных типов. Искусственные системы — часто копии естественных систем или по крайней мере они создаются для того,
чтобы выполнять подобные функции.
Естественные системы. Описание таких систем — задача астронома,
физика, химика, биолога, физиолога и т. д. При этом то, что исследователь может сказать о данной естественной системе, зависит от числа рассматриваемых
им существенных переменных.
Большинство естественных систем открытые, так как они постоянно
обмениваются веществом, энергией или информацией с окружающей средой.
Система называется закрытой, если в нее не поступает и из нее не выделяется
энергия, вещество или информация и, следовательно, ее компоненты не меняются. В качестве примера приведем химическую реакцию, происходящую в
герметически изолированном сосуде. При прекращении поступления или выхода из нее энергии открытая система превращается в закрытую.
Открыта или закрыта данная система — зависит от того, какая часть Вселенной включена в систему и какая — в окружающую среду. Если к системе
добавляется та часть окружающей среды, с которой происходил обмен, система
становится закрытой.
Многие естественные системы, особенно живые, обладают свойством
адаптации, т. е. способностью реагировать на окружающие среды так, чтобы в
результате получить благоприятные (в некотором смысле) последствия для деятельности системы.
Системы подобного типа имеют как бы заранее запланированное «конечное состояние», и их поведение таково, что они достигают этого состояния, несмотря на неблагоприятные условия окружающей среды. «Конечное состояние» может быть простым выживанием. Эволюционная теория основана в значительной степени иа понятии адаптации к окружающей среде.
Известно много примеров адаптивного поведения в организме, большинство из которых рассматриваются как механизмы, поддерживающие в заданных
физиологических пределах различные условия жизнедеятельности: температуру тела, физический баланс и т. д. Механизмы подобного рода иногда называют
«гомеостатическими механизмами». С понятиями «адаптация», «обучение» и
«эволюция» тесно связано понятие «стабильность».
46
Обратная
связь
вх
од
в
ыход Система
Рис. 1.1. Схема обратной связи
Система является стабильной относительно некоторых ее переменных,
если они стремятся остаться в определенных пределах. Термостат — пример
приспособления, которое обеспечивает стабильность температуры нагревательной системы. Понятие стабильности используется также в механике и автоматических системах.
Система может быть стабильной в одном отношении и нестабильной в
другом. Адаптивная система стабильна для всех тех ее переменных, которые
должны сохраниться в заданных пределах для благоприятного функционирования системы.
Ряд систем обладает таким свойством, при котором часть их выходов (результаты поведения) вновь воздействуют на вход с тем, чтобы вызвать последующие выходы (рис. 1.1). Данные системы, называемые системами с обратной связью, хорошо известны инженеру, занимающемуся автоматизацией, в
частности автоматические регуляторы — это системы, созданные человеком, в
которых используется
принцип обратной связи.
Системы с обратной связью
встречаются и в природе
(управление равновесием в
человеческом организме).
Известно, что природа,
направленность и степень совершенства обратной связи в системе оказывают
решающее влияние на стабильность или нестабильность системы.
Искусственным системам присущи многие свойства естественных систем. Так, к обоим типам систем применимы понятия целостности, изоляции и
суммативности, открытой и закрытой системы, стабильности, обратной связи,
адаптации и др.
Адаптация в искусственных системах аналогична, но не абсолютна адаптации у естественных систем. То, что можно считать мистическим для естественной системы, абсолютно объяснимо для системы, созданной человеком.
Любое кажущееся преднамеренным или разумным поведение машины заложено в нее человеком. В силу этого адаптивное поведение со стороны машины не
обязательно должно обеспечивать ее выживание; для него важно лишь обеспечение функционирования машины.
Помимо указанных различий, существуют дополнительные свойства искусственных систем, которые, в меньшей степени присущи естественным системам. Например, совместимость (или гармония) систем, их оптимизация.
47
Часто возникает необходимость создать систему, соответствующую
окружающей среде, или, что фактически одно и то же, добавить новые части в
уже существующие системы или объединить две системы, чтобы они действовали совместно. Нет гарантии, что система, построенная для заданной цели, будет функционировать надлежащим образом при изменении окружающей среды.
Аналогично две системы, будучи независимыми друг от друга, могут быть
вполне удовлетворительными в определенных отношениях, но при совместной
работе могут обладать весьма различными и не обязательно согласующимися
характеристиками.
Системы могут быть совместимыми друг с другом в одном отношении и
несовместимыми в другом; это зависит от цели, для которой создана система, а
также от окружающих факторов. Таким образом, системы сравнимы в отношении степени их совместимости с данной системой.
Анализ вопроса о совместимости систем естественно приводит к проблеме оптимизации. Как следует из самого термина, оптимизация означает приспособление системы к окружающей среде, в результате которого обеспечивается наилучшее функционирование системы в определенном отношении. Оптимальная деятельность системы в одном отношении не обязательно означает
оптимальную деятельность системы в другом отношении; к тому же на решение вопроса влияют взгляды проектировщиков системы.
Во многих случаях проблема оптимизации связана с экономическим фактором, например: какова должна быть ширина полосы телефонного канала,
сколько необходимо соединительных телефонных линий между абонентами и
т. д. Отметим, что задача оптимальной ширины полосы передачи всех тончайших оттенков голоса не является оптимальной с экономической точки зрения.
Система с элементом случайности. Как в естественных, так и в искусственных системах важно учитывать случайное поведение. Что означает случайность и когда вводить ее в анализ систем — вот вопросы, которые широко
обсуждаются учеными. На практике фактор случайности обычно вводится в
анализ систем в том случае, когда у исследователя большое число переменных,
влияющих на поведение системы, или они столь сложны для анализа, что не
остается иного выхода, как изучать поведение системы, подверженное влиянию
случайности (шум в электронной лампе за счет беспорядочной эмиссии электронов из катода).
Случайные переменные входят в микроскопический и в макроскопический уровни исследования систем. Известно, что статистическая механика и современная физика принимают предположение о микроскопической случайно-
48
сти. Экономические условия, число потенциальных покупателей и т. д. являются макроскопическими факторами, зависящими от случайных изменений.
Деятельность некоторых систем с элементом случайности лучше всего
описывается с помощью стохастических процессов, называемых случайными
процессами или временными рядами.
Управляемые системы и их особенности. Понятие кибернетики.
Управляемая система относится к категории кибернетических систем. Кибернетика как общая теория управления возникла в 1948 г., когда вышла в свет книга
американского ученого Норберта Винера «Кибернетика или управление и связь
в животном и машине». Н. Винер в своей книге первоначально определил кибернетику как науку об управлении и связи в животном и машине. Позднее, когда им были написаны книги «Кибернетика и общество», «Творец и робот», это
определение было распространено на управление в любых системах: технических, биологических и социальных. Не отрицая глубоких, качественных различий между системами, кибернетика, подобно математике, ищет общие методы
исследования.
В настоящее время кибернетикой принято называть учение об общих закономерностях процессов управления и связи в организованных системах, к
числу которых относятся машины, живые организмы и их объединения (общества).
Управление в организованных системах рассматривается прежде всего
как процесс преобразования информации: информация об объекте управления
воспринимается управляющей системой, перерабатывается в соответствии с
той или иной целью управления и в виде управляющих воздействий передается
на объект управления. Поэтому понятие информации принадлежит к числу
наиболее фундаментальных понятий кибернетики.
В основе кибернетики лежит идея о возможности общего подхода к изучению процессов управления в системах различной природы. Сила данной идеи
заключается в том, что оказалось возможным, кроме общих рассуждений методологического характера, предложить мощный математический аппарат для
количественного и качественного описания процессов управления, а также использовать вычислительную технику для решения этих сложных задач. Таким
общим подходом и является введение в кибернетику координального понятия
информации.
В самом деле, вне зависимости от того, с какими объектами связаны процессы управления, они всегда протекают следующим образом. Некоторые чув-
49
ствительные органы (например, органы чувств человека или измерительные
приборы) воспринимают информацию о состоянии управляемого объекта.
Эта первичная информация передается по тем или иным каналам связи
(нервная система человека, электропровода, телефонные и телеграфные линии
и т. д.) к органу, задача которого состоит в том, чтобы принять решение на основе полученной информации или, другими словами, переработать информацию (человеческий мозг, управляющая вычислительная машина и т. д.).
Затем переработанная информация в виде сигнала управления используется для того, чтобы осуществить требуемое воздействие на управляемый объект.
Следовательно, процессы управления связаны с получением, передачей,
переработкой и использованием информации.
Вот почему можно дать развернутое определение кибернетики как отрасли знаний, занимающейся установлением общих принципов и законов управления объектами различной природы (живой организм, машина, общество и пр.)
для достижения ими заданных целей на основе получения, передачи, переработки и использования информации.
Процессы получения информации, ее хранения и передачи называются в
кибернетике связью. Переработка воспринятой информации в сигналы, направляющие деятельность машин и организмов, называется управлением. Если машина или организм способны воспринимать и использовать информацию о результатах своей деятельности, то говорят, что они обладают обратной связью.
Переработка информации, идущей по каналам обратной связи, в сигналы, корректирующие деятельность машин или организма, называется контролем (регулированием).
С появлением понятия информации классическое представление о мире
(материя плюс энергия) уступило место другому представлению о мире, состоящем из энергии, материи и информации.
Информационный подход к процессам управления — первая особенность
кибернетики.
Вторая особенность заключается в том, что с развитием кибернетики возросло значение дискретной формы представления информации. Академик В.
М. Глушков так характеризует эту особенность и связанные с ней последствия.
Информация передается и воспринимается в виде сигналов двух типов: дискретных (прерывных) и непрерывных. Сигнал, несущий информацию о количестве людей в цехе, выпущенных заводами машин и пр., не может принимать
дробных значений. Он меняется скачкообразно. Такого рода сигналы принято
50
называть дискретными. Совсем другими свойствами обладает сигнал, несущий информацию о температуре воздуха в цехе, давлении газа в трубопроводе,
напряжении в электросети и т. д. Температура не может измениться, скажем, от
20 до 21°, не пройдя всех промежуточных значений. Эти сигналы называются
непрерывными.
Непрерывные сигналы измеряются и представляются в виде вещественных чисел, дискретные — в виде элементов так называемых абстрактных алфавитов. Один из наиболее распространенных на практике абстрактных алфавитов составлен из букв русского и латинского алфавитов, десятичных цифр,
знаков препинания и некоторых специальных математических символов. Однако в принципе абстрактный алфавит можно составить из знаков любой природы.
Роль дискретной формы представления информации и ее значение обусловлено тремя основными причинами. Во-первых, современные электронные
вычислительные машины оперируют с. дискретной информацией. Во-вторых,
изучение сложных систем, в первую очередь биологических и социальных, часто требует рассмотрения величии качественного характера, которые нельзя в
обычном смысле измерить и выразить числом. Так, врачи различают три (а с
градациями — пять) степени атеросклероза. А как выразить числом, скажем,
отношение того или иного (индивидуального) зрителя к новой пьесе или кинокартине? Подобные качественные характеристики прекрасно описываются дискретными сигналами в тех или иных абстрактных алфавитах (например, оценками по 5-балльной системе). Третья причина увеличения роли дискретной информации заключается в ее универсальности. Действительно, всякая непрерывная информация после ее измерения с той или иной степенью точности выражается в конце концов конечной последовательностью цифр (с запятой или
без), т. е. в дискретном виде.
Теория кодирования, раздел кибернетики, изучает формы представления
информации в тех или иных алфавитах. Простой, но очень важный результат
здесь заключается в возможности представления произвольной информации в
любом алфавите, содержащем не менее двух букв. Таким образом, минимальным алфавитом, в котором можно записать дискретную информацию, служит
двухбуквенный, двоичный алфавит. Например, кодирование обычных букв и
цифр в двоичном алфавите не что иное, как известный телеграфный код (азбука
Морзе). Сигнал в двоичном алфавите — минимальная единица информации,
своеобразный информационный атом, называемый битом.
51
Как уже отмечалось, центральное место в системах управления занимает
преобразование информации, для описания которой кибернетика развивает
специальный математический аппарат. Простейшие автоматические регуляторы, функционирующие задолго до появления кибернетики, работали в основном с непрерывной информацией. Описать преобразования информации в подобных регуляторах помогает один из разделов математики — теория обыкновенных дифференциальных уравнений.
Описание преобразований дискретной информации требует совершенно
другого аппарата —теории алгоритмов.
Обычная словесная формулировка алгоритмов несовершенна ввиду присущей человеческим языкам неоднозначности. В результате одни и те же формулировки понимаются по-разному. Для точной, не допускающей никаких разночтений формулировки алгоритмов служат алгоритмические языки.
Основная идея построения всякого алгоритмического языка заключается
в фиксации некоторого количества базисных правил преобразования информации, операторов языка (разных для различных языков), точно определяемых и
описываемых. Запись любого конкретного алгоритма представляет последовательность базисных правил — так называемой программы на данном алгоритмическом языке.
Принципиальное и практическое значение придается в базисных правилах небольшому числу специальных элементарных правил, обеспечивающих
универсальность алгоритмического языка. Универсальность языка означает
возможность (при соответствующем кодировании в алфавите данного языка)
выразить с его помощью любое преобразование информации, которое вообще
может быть записано конечной системой правил.
Третья особенность кибернетики — метод кибернетических моделей.
Широкое использование дискретных форм представления информации позволило резко расширить класс изучаемых систем и успешно исследовать не только строгие количественные, но и приблизительные качественные взаимозависимости между элементами сложных систем благодаря введению принципиально нового метода научного анализа систем — математического моделирования. До его появления в распоряжении ученых было фактически лишь два
принципиально различных метода: экспериментальный и теоретический. В
первом случае эксперименты производились либо с самой системой, либо с ее
физической, реальной моделью. Во втором — требовалось решать уравнения,
описывающие систему.
52
Математическое моделирование занимает промежуточное положение: нет
необходимости строить реальную физическую модель системы, ее заменяет математическая модель, т. е. описание системы на том или ином алгоритмическом
языке. Не нужно решать сложные математические задачи. Описание закладывается в ЭВМ, которая моделирует поведение системы в разных условиях, определяемых в соответствии с задачами исследования.
Такой метод дает возможность получить целостное впечатление о сложных системах, отдельные части которых изучаются различными людьми или
науками. Так, человеческий организм, отдельные его части (системы кровообращения, пищеварения, нервная система, железы внутренней секреции и т, п.),
хотя и тесно связаны между собой, исследуются разными специалистами.
Науки, изучающие тот или иной конкретный класс систем (физиология
нервной системы, экономика и др.), в результате глубокого проникновения в
природу систем и составляющих их элементов создают основу для построения
математических моделей этих систем. Кибернетика дает методы и средства для
точного описания и изучения моделей, позволяющих получить целостное впечатление об их поведении.
Использование алгоритмических языков, ЭВМ и метода математического
моделирования обеспечивает кибернетике массу приложений в самых различных науках. Кибернетические методы исследований привели к превращению
ряда описательных наук в точные. Особо важное значение метод математического моделирования приобретает в экономической науке.
В качестве примера кибернетических моделей приведем модель в виде
системы автоматического регулирования, сетевую модель графа, матричную
модель межотраслевого баланса.
В вероятностном, статистическом подходе к процессам управления
состоит четвертая особенность кибернетики.
Указанная концепция целиком взята из статистической физики. Известно,
что поведение газа в сосуде определяется случайным движением отдельных
молекул. Аналогично при управлении, скажем, телефонным узлом считается,
что вызовы на телефонной станции — случайные события во времени, так как
каждый вызов связан с большим числом факторов, учесть которые не представляется возможным. Однако найдя статистические характеристики случайных
вызовов с помощью кибернетической модели массового обслуживания, удается
сформулировать оптимальные законы управления телефонной сетью.
В кибернетике принято, что любой процесс управления подвержен случайным, возмущающим воздействиям, это в одинаковой мере относится к си-
53
стеме управления производством и радиолокационной антенной. В первом случае на производственный процесс оказывает влияние большое количество факторов (состояние оборудования, качество материала, своевременность доставки
комплектующих изделий и пр.), учесть которое детерминированным образом
невозможно. Поэтому считается, что на производственный процесс воздействуют случайные сигналы. В силу этого планирование работы предприятия
может быть только вероятностным, и обсуждать выполнение плана к определенному сроку следует с какой-то вероятностью. То есть учет стохастичности
экономической системы означает признание принципиальной невозможности
предвидения каждого из отклонений в отдельности, но возможность с той или
иной степенью оценить их вероятность. При управлении радиолокационной антенной случайность вызвана флуктуациями отраженного от цели сигнала и собственными шумами приемника. Здесь также можно говорить только о том, что
антенна с какой-то вероятностью (не более заданной ошибки) отклоняется от
направления на цель.
Пятая особенность кибернетики вытекает из факта существования универсальных алгоритмических языков, которые обеспечили построение универсальных преобразователей информации, т. е. современных электронных вычислительных машин.
Современная вычислительная техника открыла неограниченные возможности автоматизации сложных процессов умственной деятельности человека.
Они стали основой создания сложных автоматизированных систем, важнейшим
практическим средством и орудием исследования в кибернетике. При этом нет
необходимости разрабатывать новые технические средства для нового процесса. Достаточно познать и точно описать законы, которые управляют рассматриваемым процессом, и запрограммировать их на каком-либо из универсальных
алгоритмических языков, воплощенных в уже существующих ЭВМ.
Кибернетика привела к широкому применению математических методов,
методов моделирования, формализации, алгоритмизации. Сложились новые
важные направления исследований. «Вторжение» кибернетики, математики и
электронно-вычислительной техники во все сферы — неотъемлемая черта современной цивилизации.
Особенности управляемых систем. Одна из характерных особенностей
управляемой кибернетической системы — способность изменять свое движение, переходить в разные состояния под влиянием различных управляющих
воздействий. Всегда существует некоторое множество движений, из которых
54
производится выбор предпочтительного движения. Где нет выбора, там нет и
не может быть управления.
Таким образом, управляемые системы рассматриваются не в статическом
состоянии, а в движении и развитии, что коренным образом изменяет подход к
их изучению и в ряде случаев позволяет вскрыть закономерности, установить
факты, которые иначе оказались бы невыявленнымн. Устойчивость как функциональное свойство управляемых систем, имеющее решающее значение для
оценки работоспособности систем, было бы невозможным без уяснения динамики происходящих в них процессов.
Все объекты, явления и процессы в природе взаимосвязаны и влияют
друг на друга. Поэтому, выделяя какой-либо объект, необходимо учесть влияние среды на объект и объекта на среду. Следовательно, изучение поведения
любой управляемой системы производится с учетом ее связей со средой.
В управляемых системах всегда присутствует орган, осуществляющий
функции управления. В этом случае систему можно схематически представить
в виде совокупности управляющей и управляемой частей (рис. 1.2); стрелками
указаны направления воздействий, которыми обмениваются части системы.
Указанные простейшие управляемые системы никогда не являются изолированными. Они взаимодействуют с внешней средой, друг с другом, могут
составлять более сложные системы, входящие в качестве элементов в управляемые и управляющие части сложных систем и образующие иерархию управляемых систем. Принцип иерархичности
управления — это принцип многоступенчатого построения управляющих систем, при котором функции управления
распределяются между соподчиненными
частями системы. Управляющие сигналы
устройств старшего ранга носят обобщенный характер и конкретизируются в
подчиненных устройствах.
Как уже отмечалось, управляемая система постоянно находится в движении, ей присущ динамический характер. Термин «движение» хорошо известен
из механики, где он означает изменение положения какого-либо объекта в пространстве с течением времени. В кибернетике движение имеет более общий
смысл, а именно: всякое изменение объекта во времени. Движением называется, например, изменение температуры тела, заряда конденсатора, объема или
Управляющая часть
Управляемая часть
Рис. 1.2. Простейшая структура
кибернетической системы
55
давления газа, суммы текущего счета в банке, запасов сырья на складе, наконец, жизнь и мышление.
Движение системы, изменение ее состояния могут происходить под влиянием как внешних воздействий, так и в результате процессов, происходящих
внутри системы.
На каждую систему, строго говоря, оказывает влияние бесчисленное
множество различных внешних воздействий, но далеко не все они существенны. Из множества воздействий отбирают лишь те, которые в условиях решаемой задачи существенно влияют на состояние системы. Эти внешние воздействия называют входными величинами (входными воздействиями, входными
переменными системы), а элементы системы, к которым приложены входные
воздействия, — входами системы.
Так, на движение самолета существенно влияют следующие факторы: сила и направление ветра, плотность атмосферы, положение рулей, тяговые усилия двигателей. Все они рассматриваются как входные воздействия на самолет.
Для решения задач управления выделяют два типа входных величин:
управляющие воздействия Х и возмущающие воздействия М (рис. 1.3). К управляющим относятся такие величины, значениями которых можно распоряжаться
при управлении системой и которые можно изменять с целью осуществления
движения, предпочтительного по сравнению с другими возможными движениями управляемой системы. В приведенном примере управляющими воздействиями являются воздействия, создаваемые рулевыми плоскостями, и тяговые
усилия двигателей, которые пилот изменяет по своему усмотрению. Возмущающие воздействия — влияние ветра и плотности атмосферы на движение самолета.
Воздействие системы на окружающую среду характеризуется значениями
ее выходных величин Y (см. рис. 1.3). Совокупность выходных величин и их
изменения определяют поведение системы, позволяют руководителю оценивать
соответствие движения системы целям управления. При управлении движением
самолета выходными величинами служат курс и скорость движения, поскольку
M
k
M
1
x
l
x
22
x
1
Внутреннее
состояние
m1, m2, …, mn
Рис. 1.4. Переменные, действующие на систему
M
2
y
1 y
2
y
s
56
значения этих величин характеризуют цель управления, которая состоит в том,
чтобы обеспечить прибытие самолета в заданное место и время.
Изменение входных величин, как правило, вызывает изменение выходных величин. При этом изменения последних не всегда проявляются сразу: они
могут запаздывать, но никогда не опережают изменения входных величин, которые — следствие, а входные — причина движения системы.
Возмущающие воздействия, влияющие на движение системы, могут
иметь не только внешнее, но и внутреннее происхождение, например, изменение свойств элементов системы после длительной работы или в результате
нарушения нормального функционирования элементов системы.
Состояние любой системы с заданной точностью можно охарактеризовать совокупностью значений величин т, определяющих ее поведение, т. е. переменными состояния систем (см. рис. 1.3).
Эти величины позволяют сравнивать состояния отдельных систем и судить об их различии, сравнивать состояния одной и той же системы в произвольные моменты времени для выяснения ее движения.
Из всех существующих форм описания состояния системы наибольший
интерес представляет способ, основанный на понятии пространства состояний системы. Пространством состояний системы называется многомерное пространство, в котором каждое состояние системы изображается точкой, называемой изображающей точкой (она «изображает» данное состояние системы), координаты которой — переменные состояния системы т1, т2, ..., тп.
В реальных системах не все координаты могут изменяться в неограниченных пределах. Большая часть координат принимает значения, лежащие в
ограниченном интервале
mi
тi
mi
, где
mi
и
mi
— границы интервала возможных значений координаты тi
.
Область пространства состояний, в которой находится изображающая
точка, называется областью допустимых состояний. Говоря о пространстве
состояний, имеют в виду лишь его допустимую область. Однако даже в ней не
всегда любая точка изображает возможное состояние системы. Таким свойством обладает лишь непрерывное пространство состояний, соответствующее
системе, координаты которой принимают любые значения (в допустимых пределах). Существуют системы (дискретные), в которых координаты принимают
конечное число фиксированных значений. Пространство состояний этих систем
также дискретно.
Для характеристики движения системы разделим все переменные на три
группы:
57
Рис. 1.5. Схема сложной кибернетической системы
1) входные переменные, или входные воздействия X и М, представляющие сигналы, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе, и влияющие на ее поведение;
2) выходные переменные или переменные, характеризующие реакцию
системы Y, и позволяющие описать некоторые аспекты поведения системы,
представляющие интерес для исследователя;
3) переменные (координаты) состояния т, характеризующие динамическое поведение исследуемой системы.
Учитывая относительность понятия, кибернетическую систему можно
рассматривать как состоящую из частей (элементов), взаимодействующих друг
с другом (рис. 1.4). В этом случае большинство выходных величин одной части
одновременно являются входными величинами для другой части системы.
Оставшиеся каналы остаются свободными, составляя входы и выходы всей системы в целом.
Движение системы представляют как
цепь преобразований ее состояний. С одной
стороны, можно полагать, что переход системы из состояния а1 в момент времени t1 в
состояние а2 в момент времени t2 есть результат преобразования а1, t1 в а2, t2. С другой — можно рассматривать изменение выходных величин какой-либо системы под
влиянием изменений входной величины так
же как ее преобразование.
Преобразование одного объекта в другой осуществляется посредством
действия на объект оператора. Объект, подвергающийся преобразованию,
называется операндом, а результат преобразования — образом. Пользуясь этими терминами, можно описать всякое преобразование следующим образом: в
результате воздействия оператора на операнд получается образ.
При изучении выходной величины Y как результата преобразования
входной величины X связь между Y и X записывается в форме Y=F(X), где F —
оператор, характеризующий свойства данной системы.
Если система выступает в виде безинерционного линейного преобразователя (например, электронный усилитель, механический редуктор, фотоэлемент), то оператор F преобразуется в коэффициент преобразования (коэффициент передачи) и представляет собой число k, на которое нужно умножить зна-
58
чение входной величины, чтобы получить значение выходной величины преобразователя: Y=kX.
Для нелинейного безинерционного преобразователя выходная величина
является функцией от входной величины, и оператор F обозначает определенное нелинейное преобразование.
Состояние реальной системы не может измениться мгновенно, а происходит во времени в результате переходного процесса. В этом случае оператор
становится сложнее и выражается не только при помощи одних алгебраических
действий над операндами. Системы, переход которых из одного состояния в
другое совершается немгновенно, а в результате переходного процесса, называются динамическими системами.
Все реальные кибернетические системы — динамические. Различают три
типа поведения системы, три режима, в которых может находиться динамическая система: равновесный, переходный и периодический. Понятия равновесного и периодического режима объединяются единым понятием установившегося
режима.
Состояние, в котором находится система, когда ни одна из ее координат
не изменяется, называется равновесным состоянием, наступаемым в некоторых
точках пространства состояний.
Под переходным режимом понимается режим движения динамической
системы из начального состояния к какому-либо установившемуся режиму —
равновесному или периодическому.
Периодическим режимом называется режим, при котором система через
равные промежутки времени приходит в одни и те же состояния.
Необходимым условием работоспособности динамических систем
сйужит их устойчивость, характеризующая одну из важнейших черт поведения
динамической системы и являющаяся важнейшим понятием в управлении. Это
значит, что система должна нормально функционировать, быть нечувствительной к неизбежным посторонним возмущениям различного рода, т. е. работать
устойчиво, несмотря на действие посторонних возмущений.
Для определения устойчивости разработаны соответствующие критерии,
позволяющие найти условия устойчивости и необходимые ее «запасы» по косвенным признакам.
Рассмотрим понятие устойчивости динамической системы на примере
системы установления цен на рынке с устойчивым и неустойчивым состоянием
равновесия.
59
Пусть зависимости спроса (D) и предложения (S) некоторого товара от
цены (Р) на рынке имеют вид, показанный на рис 1.5, а скорость (d) изменения
цены прямо пропорциональна разности между спросом и предложением:
d=k1(DS), где k1 коэффициент (k1> 0), указывающий, на сколько возрастет
цена товара в единицу времени, если разница между спросом и предложением
будет равна единице.
Причины снижения спроса и увеличения предложения при повышении
цены понятны. Повышение предложения при снижении цены ниже Pk возможно в частных случаях (например, при переходе на методы массового производства товара при снижении цен и росте спроса). Из рис. 1.5 видно, что система
имеет два равновесных состояния а1 и о2, так как в этих точках спрос равен
предложению и цена товара не изменяется (d=0). Для выяснения устойчивости
состояний равновесия определим, как будет изменяться цена после случайного
малого отклонения от равновесных значений Р1 и Р2. В точке а1 отклонению
цены Р от значения Р1 соответствует разность DS, которая вызывает изменение,
цены, восстанавливающее нарушенное равновесие; точка а1 изображает состояние
устойчивого равновесия системы. В точке
а2, наоборот, любое отклонение цены от Р2
приводит к дальнейшему изменению в том
же направлении, и состояние системы в
этой точке неустойчиво.
Понятия поведения и сложности
как признаки классификации. Управляемые системы, с которыми встречается человек, разнообразны. Поэтому их разбивают на некоторые классы. В классификации систем, предложенной С. Биром , в
основу положены два критерия. Первый — степень сложности системы, по которому можно выделить три класса систем: простые, сложные и очень сложные.
Простые системы характеризуются малым числом внутренних связей и легкостью математического описания. Сложные системы, хотя и поддаются описанию, имеют разветвленную структуру и разнообразные внутренние связи. Наконец, к очень сложным относятся системы, не поддающиеся непосредственному
математическому описанию ввиду исключительного многообразия и сложности
связей.
Рис. 1.5. Зависимость спроса D
и предложения S от цены товара P.
60
Второй критерий — различие между детерминированными и вероятностными системами. Детерминированной системой считают систему, в которой составные части взаимодействуют точно предвиденным образом (если известно
предыдущее состояние, то безошибочно можно предсказать ее последующее состояние).
Напротив, для вероятностной системы нельзя сделать точного детального
предсказания. Такую систему можно тщательно исследовать и с большой степенью вероятности установить, как она будет вести себя в любых заданных условиях. Однако система остается неопределенной, и любое предсказание относительно ее поведения не выйдет из логических рамок вероятностных категорий,
при помощи которых это поведение описывается.
Подобное разделение систем несколько условно. Границы между ними являются областями, в которых лежат близкие по характеру системы. По мере
развития математического аппарата и средств познания вообще границы сдвигаются в сторону упрощения систем, их детерминизации.
В результате при двух классификационных признаках все системы можно разделить на пять категорий: простые и сложные детерминированные; простые, сложные и очень сложные вероятностные.
Приведем примеры перечисленных систем применительно к сфере промышленного производства.
К числу простых детерминированных систем относится система размещения станков в цехе. Она строится исходя из условия движения деталей по
маршрутам обработки.
При такой постановке задачи можно минимизировать расстояния, которые
проходят детали в процессе обработки. Если исследуются процессы, происходящие при движении материалов, то система становится вероятностной. Абстрактная система детерминирована, но она теряет это свойство, как только на систему накладывается влияние реальной действительности.
Сложной детерминированной системой является электронная вычислительная машина. Вычислительная машина выполняет только предписанные ей операции. Если ее поведение определено заранее неполностью, то это означает, что
машина функционирует неправильно. К этому классу систем относятся также
различные автоматы (вплоть до автоматизированных предприятий), в которых
любое отклонение от строго предписанного образа действия считается неисправностью или даже аварией.
В качестве простой вероятностной системы назовем систему статистического контроля качества продукции предприятия. Она основана на выборочной про-
61
верке либо одной, либо нескольких характеристик продукции (влажность и
зольность отгружаемого шахтой угля), причем частота отбора проб зависит от
степени риска отбраковки. Такая система весьма проста, целесообразность ее
применения связана с присущей ей вероятностной природой.
Наглядная иллюстрация сложной вероятностной системы — система материально-технического снабжения предприятия. Поступление материалов или деталей на центральный склад и выдача их на участки являются случайными процессами по своей природе, но в то же время они полностью поддаются математическому описанию при помощи аппарата математической статистики. Даже когда
динамика системы значительно усложнена, т. е. имеет очень много входов (запасы пополняются из многих источников) и выходов (запасами пользуется большое
число потребителей), ее все-таки следует отнести к указанному классу.
Наконец, к очень сложной вероятностной системе относится само предприятие в целом. Внутренние связи крупного предприятия (технические, экономические, административные и др.) настолько сложны, что полностью описать их
пока невозможно. То, же самое в неизмеримо большей степени относится к мозгу
человека.
Группировка систем в соответствии со свойственной им природой
управления позволяет выделить научные методы исследования. Техника автоматизации достигла такого уровня развития, что успешно решает задачи управления как простыми, так и сложными детерминированными системами, исследование которых основано на инженерных расчетах и, в частности, методах линейного программирования. Простые вероятностные системы сравнительно легко
поддаются анализу методами математической статистики. Наибольшую трудность
для управления и исследования представляют два последних класса вероятностных
систем — сложные и очень сложные (подавляющее большинство систем в обществе и производстве). До недавнего времени управление ими основывалось на
опыте и здравом смысле. С увеличением темпов производства этого недостаточно.
Человек уже не в состоянии решать стоящие перед ним проблемы управления, полагаясь только на свой собственный разум и не прибегая к помощи технических
средств.
Возникшие потребности в научно обоснованных методах и средствах
управления нашли свое выражение в кибернетике — науке об управлении, особым предметом исследования которой являются сложные и очень сложные системы окружающего мира.
62
§3. Основы исследования операций
Основные понятия и особенности исследования операций. Этапы операционного исследования и их содержание. Критерий оптимальности. Виды математических
моделей ИСО. Классы операционных задач. Резюме.
Основные понятия и особенности исследования операций. Термин
"операционные исследования", по-видимому, впервые применил в 1938 г.
А.Раув, руководитель научной группы в Бодси (Англия), отнеся его к работам по оценке эффективности операций, проводимых военновоздушными силами. Однако сегодня больше используют американский
термин "исследование операций", имеющий тот же смысл.
Возникнув в недрах военных ведомств, новая наука, развиваясь, находит применение в самых разных областях человеческой деятельности, в том
числе в бизнесе.
В настоящее время исследование операций можно рассматривать как
одну из важнейших дисциплин, связанных с принятием решений, или как составную часть системного анализа. Суть исследования операций остается
неизменной: всесторонний анализ операции, оценка последствий возможных решений, поиск наиболее эффективных вариантов достижения цели.
Приведем одно краткое определение, отражающее его главное предназначение:
Исследование операций (ИСО) это наука о количественном обосновании оптимальных решений.
При этом под оптимальным понимается решение, наилучшее в
определенном смысле. Нельзя говорить об оптимальном решении вообще,
корректное применение этого понятия требует конкретизации его смысла и
условий, в которых принимается решение.
В то же время "операция" широкое понятие: это есть совокупность
действий или мероприятий, направленных на достижение определенной цели.
В ИСО описание операции включает следующее.
1. Цель операции, то есть то, ради чего проводится операция.
2. Оперирующая сторона лицо или группа лиц, преследующих поставленную цель. В сложных операциях оперирующая сторона состоит из
лица, принимающего решение (ЛПР), и аналитиков специалистов по исследованию операций. Физически ЛПР это одно лицо или группа лиц,
наделенных правом принимать решения и несущих за них ответственность.
Подготовка решений ложится на аналитиков. Разница между первыми и
63
вторыми не только в знаниях методологии и методов ИСО, но и в информированности об операции. Причины этого кроются в сложности извлечения
и представления информации, которой владеет ЛПР, или в нежелании ЛПР
раскрывать все карты. В простых случаях ЛПР и аналитик могут быть в одном
лице.
3. Активные средства это, как правило, ресурсы, используемые для
достижения цели.
4. Способы действий, поведения или использования активных средств.
Их называют решениями, альтернативами или стратегиями в зависимости от
типа операции.
5. Результаты или исходы операции.
6. Тип связи между решениями (стратегиями) и исходами операции. Он
зависит от условий, в которых протекает операция.
Говоря об ИСО как о самостоятельном направлении, обычно отмечают его три основные особенности: системный подход, комплексный коллектив исследователей, применение научных методов.
Под системным подходом понимается комплексная методология исследования сложных систем или проблем. В этой методологии определяющим
является подход к любой части системы (проблемы) с позиции системы в
целом, превалирование цели системы над целями ее подсистем. Другое важнейшее требование системного подхода состоит в том, что необходимо
стремиться выявить все существенные факторы и взаимосвязи, влияющие на достижение цели системы. Для этого приходится расширять
первоначальный объект исследования, искать скрытые от первого взгляда
связи между факторами и частями системы.
Вторая особенность ИСО обусловлена необходимостью изучения и анализа проблемы с разных точек зрения, стремлением выйти за рамки стереотипов. Именно поэтому с момента возникновения исследования операций
группы исследователей состояли из специалистов разного профиля (военных, математиков, физиков, психологов и др.), объединенных единой
методологией. Такое комплексное исследование позволяет расширять множество альтернатив и находить действительно наилучшее решение.
Применение научных методов присуще любой науке, но в ИСО они
имеют свою специфику, которая обусловлена задачей исследования и количественным характером результатов. Чтобы яснее представить эту особенность
ИСО, рассмотрим, как проводится операционное исследование.
64
Этапы операционного исследования и их содержание. Не существует
строгой регламентации хода и содержания операционного исследования,
но в любом выполненном проекте можно выделить характерные для ИСО
этапы разработки.
1. Постановка задачи. Она включает содержательное описание задачи: объект и цель исследования, внутренние и внешние условия, ресурсы,
значения параметров или их оценки, возможные способы действий и возможные результаты, другую имеющуюся информацию. Эту работу выполняют
совместно ЛПР и аналитик. После тщательного анализа первоначальной постановки аналитик уточняет с ЛПР содержание задачи по всем аспектам и
особо согласовывает показатель, который предлагается в качестве критерия
оптимальности.
2. Построение математической модели. Характер задач исследования
операций таков, что их решение не может проводиться путем натурного эксперимента или физического моделирования. Например, выбор места и мощности нового производства, определение оптимального плана выпуска продукции, формирование портфеля заказов немыслимо производить путем реализации и сравнения различных вариантов. Такая ситуация в науке не нова:
так в астрономии нельзя манипулировать небесными телами, но предсказывать положение планет солнечной системы возможно благодаря использованию математической модели. Модели, и в частности математические,
широко применяются в различных областях. Математические модели исследования операций отличаются своей направленностью, которая отражается в
структуре модели. Математическая модель в ИСО включает:
зависимость критерия от управляемых и неуправляемых переменных;
уравнения, отражающие связи между переменными, например, уравнения на основе материально-энергетических балансов;
ограничения, обусловленные реальными условиями и требованиями к
показателям и переменным (неотрицательность, целочисленность, комплектность, допустимые и/или директивные значения и т.п.). В конкретных задачах
могут отсутствовать отдельные составляющие модели полностью или частично за исключением критериальной функции, которая должна быть в модели
обязательно.
3. Проверка адекватности модели. Математическая модель представляет собой формализованную гипотезу исследователя о реальных взаимосвязях и поведении системы. Поэтому прежде чем использовать модель для
прогнозирования последствий и выбора решений, необходимо убедиться в ее
65
адекватности системе или операции с точки зрения поставленной цели исследования. Для "прозрачных" моделей может быть достаточной качественная
проверка, в сложных моделях необходим количественный анализ. В последнем случае для моделирования поведения на модели используются численные методы (иногда это называют прямой задачей: по задаваемым входам
нужно определить выходы). Для осуществляемых ранее операций проверка адекватности может производиться по ретроспективным данным (при отсутствии качественных изменений в операции). В других случаях проверка
проводится путем наблюдения за реакцией модели и системы на одинаковые решения. При обнаружении неадекватности модель корректируется:
при качественном совпадении повысить количественную адекватность можно
путем уточнения коэффициентов модели, при более серьезных расхождениях может потребоваться изменение и/или добавление ограничений и уравнений или даже построение другого вида модели. Следует заметить, что такая
проверка невозможна для вновь разрабатываемых операций, и тогда приходится довольствоваться качественным тестированием модели.
4. Поиск оптимального решения на модели. Это центральный этап
операционного исследования (с математической точки зрения обратная
задача). Он заключается в определении решения, оптимального в смысле
принятого критерия. Для отыскания оптимального решения на математической
модели применяются методы оптимизации, главным образом методы математического программирования.
5. Анализ оптимального решения. Сюда входит анализ чувствительности полученного решения, параметрический и вариантный анализ, выявление альтернативных оптимальных решений и др. Анализ чувствительности
критерия к отклонению переменных от их оптимальных значений позволяет
определить разумные требования к точности реализации оптимального решения. Результаты параметрического и вариантного анализа показывают, каким будет оптимальное решение при изменении коэффициентов модели, состава ограничений или при изменении критерия. При этом может устанавливаться значимость отдельных элементов модели, то есть их влияние на оптимальное значение критерия. В случае неединственности оптимального решения появляется дополнительная возможность выбора по показателю, который
не представлен в критерии. Важное место в анализе решения отводится
интерпретации полученных результатов в терминах предметной области Л
ПР.
66
6. Внедрение результатов исследования. Здесь главное требование
состоит в необходимости непосредственного участия разработчиков на
всех стадиях реализации предлагаемых решений.
Таким образом, применение научных методов в ИСО отличается всесторонним количественным исследованием, основанным на математической модели и ставящим своей целью определение оптимального решения в интересах ЛПР.
Критерий оптимальности. Поставленная в операции цель может быть
достигнута по-разному и в разной степени в зависимости от принимаемых
решений. Критерий есть тот показатель, который характеризует (оценивает)
эффективность решений с точки зрения достижения цели, а следовательно, позволяет выбрать среди них наилучшее. В ИСО применяют равнозначные термины: критерий оптимальности, критерий эффективности, целевая функция. Последний термин подчеркивает неразрывную связь критерия с целью. Таким образом, решение может быть оптимальным только в
смысле конкретного критерия в пределах адекватности используемой модели.
В исследовании операций к критерию предъявляются определенные
требования. Наиболее важные из них следующие.
1. Критерий должен быть количественной и неслучайной величиной.
2. Критерий должен правильно и полно отражать поставленную
цель. Его можно рассматривать как количественную модель качественной цели.
3. Критерий должен иметь простой и понятный ЛПР физический
смысл.
4. Критерий должен быть чувствителен к управляемым (искомым)
переменным.
При исследовании действующих систем к критерию могут предъявляться дополнительные требования, такие как измеримость, статистическая
однозначность, статистическая эффективность и др.
Множество показателей, которые в ИСО используются в качестве критериев, можно условно разделить на ряд групп: социальные (среднедушевой доход, обеспеченность жильем и т.п.), экономические (прибыль, рентабельность, себестоимость и др.), технико-экономические (производительность, урожайность и др.), технико-технологические (прочность, чистота
материала, другие физические или химические показатели), прочие. Они
приведены в порядке убывания глобальности применения: первые применя-
67
ются в системах более высокого уровня (страна, регион, предприятие), последние в основном на уровне процесса, объекта.
Однако во многих случаях не удается полностью отразить поставленную цель одним критерием и тем более это невозможно, когда в операции преследуется более одной цели. Например, цели типа повышение
уровня жизни, улучшение экологической обстановки и т.п. нельзя "покрыть"
одним критерием. В таких ситуациях вводится несколько показателей, характеризующих достижение цели. Как правило, оптимальные решения, получаемые по разным показателям-критериям, не совпадают, что создает неопределенность в выборе окончательного решения. Задачи, в которых приходится определять наилучшее решение по нескольким критериям, называются многокритериальными или задачами векторной оптимизации. Они
составляют особый и более сложный класс задач исследования операций.
Виды математических моделей ИСО. Рассмотрим виды математических моделей только в одном аспекте, который обусловливает принципиальные различия математических моделей и методов отыскания на них оптимальных решений.
Вид модели определяется типом связи между решениями (альтернативами, стратегиями) и результатами, который в свою очередь зависит от
условий, в которых протекает операция и приходится принимать решения.
1. Решения принимаются в условиях определенности. Это значит, что
каждому решению можно поставить в соответствие (пусть даже путем сложных расчетов) определенный результат, то есть имеет место детерминированный тип связи. Модели, описывающие такие ситуации, называются
детерминированными. Этот тип модели на практике применяется наиболее широко, так как он "удобен в работе". По этой причине такие модели часто используют в качестве первого приближения и в условиях, отличающихся
от ситуации определенности.
2. Решения принимаются в условиях риска. Между решениями и результатами имеет место стохастическая связь: определенному решению может
соответствовать более одного результата, вероятности появления которых известны. Адекватным отображением таких условий являются вероятностные (стохастические) модели. Если под результатом имеется в виду
значение критерия, то исходная постановка задачи (и модель) некорректна:
нельзя максимизировать или минимизировать случайную величину. В этом
случае в качестве критерия следует выбирать не исходный показатель, а одну
68
из его вероятностных характеристик, например, математическое ожидание
или дисперсию. Неоднозначность обусловлена наличием случайных факторов. Но осреднение случайных аргументов и осреднение результатов, на которые первые влияют, далеко не всегда одно и то же. Это объясняется тем,
что в общем случае не выполняется равенство
М[f(x1, x2, ..., xn)] = f[M(x1), M(x2), ..., M(xn)], (1.1)
где xj случайные величины, М знак математического ожидания.
Рассмотрим пример такой ситуации. Пусть фирма "Апельсин" постоянно занимается продажей фруктов. Для простоты будем считать, что поставка и продажа фруктов осуществляется целыми контейнерами, а единицей
времени является неделя. Спрос на фрукты С колеблется случайным образом, но вероятность спроса в случайно взятую неделю Р(С) известна. При заключении договора с поставщиком на очередной период фирма должна
определить наиболее выгодное для нее количество контейнеров, которое
будет поставляться еженедельно, если известны прибыль от реализации одного контейнера d и убыток b при его невостребовании. Так как спрос случаен, то и результат доход за неделю D для фиксированного числа заказываемых контейнеров п будет случайной величиной: в случае, когда спрос
превысит предложение, то есть при С>п,
D=dn; (1.2)
если же предложение окажется выше спроса (С<п), доход
D=dn(nC)b. (1.3)
Таким образом, доход D является функцией управляемой величины п и
случайного фактора С. Очевидно, что максимизация такого показателя бессмысленна. В качестве критерия оптимальности разумно взять математическое ожидание дохода за неделю, так как его максимизация обеспечит максимум дохода за весь период. Поскольку вероятность появления случаев
(1.2) и (1.3) определяется P(С), то модель задачи будет иметь вид
M[D]= D =
n
C
dC n C b P C
0
{ ( ) } ( )
+
1
( )
C n
dnP C
max, (1.4)
n>0, int, (1.5)
где int означает "целое". При составлении этой модели в явном виде учитывалась стохастичность ситуации и, следовательно, принимаемые по ней решения в такой же степени учитывают фактор случайности. Упрощенное
представление операции может базироваться на аппроксимации реальной
ситуации детерминированной. В этом случае спрос рассматривается как не-
69
случайная величина, равная его математическому ожиданию
С
. При этом
доход
D=
C n C b n C
dn n C
( ) ,
, ,
также неслучаен. На такой модели оптимальное решение, максимизирующее
D, определяется просто: п
0=С.
Чтобы показать отличие результатов при использовании упрощенной
модели и модели (1.4), произведем расчет для исходных данных d=30, b=5
и вероятности спроса:
C 0 1 2 3 4 5 6
P(C) 0 0,1 0,25 0,3 0,25 0,1 0
Вычисляем средний спрос: С=
6
0
( )
C
C P C
=3. Тогда по упрощенной
модели получим: п
0=3, D=90. Такой доход имел бы место при детерминированном и неизменяемом уровне спроса. Но при случайном спросе величина
D=90 будет достигаться только в те недели, когда спрос окажется не меньше 3, а в другие недели доход будет ниже и, следовательно, средний доход за весь период станет меньше 90. Чтобы показать это и одновременно
определить оптимальное число контейнеров при случайном спросе, вычислим значения среднего дохода по модели (1.4) при всех возможных п:
n 1 2 3 4 5
D
30 56,5 74,25 81,5 80
По результатам вычислений видно, что решение n
0
=3, полученное на
детерминированной модели, не обеспечивает максимального среднего дохода. Кроме того, видно, что в условиях случайного спроса оптимальным является решение п=4, при котором средний доход составляет 81.5
против 74.25 при n
0
=3. Это пример операции, для которой не выполняется
равенство (1.1), хотя случайный фактор имеет симметричное распределение. Судя по разнице результатов на двух моделях, в данной операции
стохастичность оказывает значимое влияние и поэтому ее нельзя не учитывать.
Однако наличие случайных факторов не всегда влечет за собой неоднозначность результатов. Возможны случаи, когда элементарные составляющие
процесса или системы ведут себя случайно, а результаты системы в целом не
случайны. Характерным примером такой системы является идеальный газ,
поведение которого подчиняется детерминированному закону Бойля-
70
Мариотта. Неслучайное поведение на макроуровне при наличии элементов
случайности на микроуровне называют стохастическим детерминизмом.
3. Решения принимаются в условиях неопределенности. Это ситуация,
противоположная первой рассмотренной. Природа неопределенности может быть различной, но в общем случае она проявляется в том, что определенному решению соответствует более одного результата, а вероятностные
характеристики результатов неизвестны. Математические модели, описывающие неопределенный тип связи, разнообразны и не имеют единого
названия. В частности, к этому классу относятся матричные модели, модели типа "игра", "аукционный торг", нечеткие модели.
Во многих случаях ситуацию неопределенности можно представить
(или аппроксимировать) матрицей вида
Альтернативы
Состояние среды
Q1 Q2 … Qn
A1 u11 u12 … u1n
A2 u21 u22 … u2n
… … … …
Am um1 um2 … umn
где uij результат (исход) выбора альтернативы Аi при условии, что среда окажется в состоянии Qj
; uij может иметь смысл прибыли, дохода, выигрыша или
затрат, проигрыша, убытков и т.п.).
Прежде чем выбирать решение на этой модели, нужно определиться с
принципом оптимальности, на основе которого будут сравниваться альтернативы, так как только одно желание ЛПР получить наилучший результат не
дает такой основы. Принцип оптимальности зависит от точки зрения на ситуацию ЛПР, его отношения к риску, от предположений относительно поведения среды. Наиболее характерной гипотезой поведения среды является
представление, что среда ведет себя наихудшим образом ("как назло"). Это
самый пессимистический взгляд на ситуацию, свойственный ЛПР, не склонному к риску. В этом случае выбор решения основывается на принципе гарантированного результата (иногда его называют критерием Вальда).
Он состоит в том, что эффективность каждой альтернативы оценивается
наихудшим из исходов, возможных при выборе данной альтернативы. Такой
результат гарантируется, то есть будет не хуже, при любом фактическом
состоянии среды. Теперь очевидно, что наилучшим решением в смысле
принятого принципа оптимальности будет выбор той альтернативы, которая
имеет наилучший гарантированный результат. Так, если uij имеет смысл при-
71
были, то оценкой i-й альтернативы является
j
min
uij, а оптимальной будет
альтернатива, максимизирующая эту величину, то есть Ai
, на которой достигается
i
max
j
min
uij. Применительно к этой ситуации принцип гарантированного результата называют принципом максимина, а оптимальную альтернативу максиминной. В условиях неопределенности только этот принцип имеет объективное обоснование и дает абсолютно надежную оценку.
Другой подход, называемый также критерием Сэвиджа, использует
аналогичный прием, но по отношению к преобразованной матрице матрице риска (сожалений) [rij], где rij=
i
max
uijuij, то есть риск это разность
между максимально возможным выигрышем при j-м состоянии среды и выигрышем при выборе i-й альтернативы в условиях незнания о фактическом
состоянии среды. Так как цель состоит в уменьшении риска, то, используя
принцип минимакса (гарантированного риска), определим как оптимальную ту альтернативу, на которой достигается
j
min
i
max
uij, тогда риск не превысит этой величины ни при каком состоянии среды.
Гибкий учет отношения ЛПР к риску возможен с помощью критерия
Гурвица. Если исходы имеют смысл дохода, то оптимальная альтернатива
определяется из условия
i
max
{
j
max
uij +(1)
j
min
uij},
где =[0, 1] коэффициент риска. При ориентации на самое худшее =0, что
соответствует критерию Вальда, а для крайнего оптимиста =1. Промежуточные значения отражают разный уровень риска ЛПР.
Возможны и другие подходы к выбору оптимальных решений в условиях неопределенности, но все они, как и последние два, не гарантируют достижение расчетных результатов.
Как следует из вышерассмотренного, выбор вида модели требует от исследователя интуиции и опыта наряду с глубокими знаниями моделируемой области. Следует особо отметить, что построение модели основывается
на представлениях аналитика, которые могут не соответствовать реальным связям в большей или меньшей степени. При этом большое значение
имеют оценка влияния случайных факторов, факторов неопределенности,
уровень агрегирования, допустимая сложность модели. Так, нередко
возникает дилемма: построить высокоточную, но очень сложную модель,
на которой можно будет получить только приближенное к оптимально-
72
му решение, либо поступиться точностью моделирования и иметь возможность применять на модели точные методы оптимизации. Какое решение окажется ближе к истинному оптимальному, заранее сказать невозможно. К сожалению, не существует готовых рецептов построения математических моделей. Это один из этапов операционного исследования, который, следуя
Саати, можно отнести к области искусства.
Классы операционных задач. В настоящее время исследование операций находит применение почти во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Отсюда широкий диапазон математических моделей
операций и методов их исследования. В то же время исследование операций
развивалось и продолжает развиваться по определенным направлениям, которые различаются типами задач, и появление новых направлений
обусловливается возникновением новых задач. В классическом исследовании операций выделяют классы типичных задач, рассмотрение которых
позволяет лучше представить круг проблем ИСО. Наиболее характерными
классами операционных задач являются:
задачи управления запасами;
задачи распределения;
задачи массового обслуживания;
задачи выбора маршрута;
задачи замены;
задачи упорядочения;
задачи сетевого планирования и управления;
состязательные задачи;
задачи поиска.
Приведем краткую характеристику и постановку перечисленных задач.
Задачи управления запасами. Под запасами понимают неиспользуемые в данный момент ресурсы. К ним относятся материалы, оборудование, полуфабрикаты, готовая продукция, работники, финансовые
средства и т.п. Проблема запасов заключается в поиске ответов на два основных вопроса: 1) сколько заказывать (закупать или производить), 2) когда
или как часто заказывать. Нетривиальность этой задачи обусловлена тем, что
с запасами связаны статьи затрат, по-разному изменяющиеся с изменением
уровня запасов. С увеличением запасов растут затраты на хранение
(складские расходы, замораживание оборотных средств, потери от порчи и
73
старения, морального износа и т.п.) и одновременно уменьшаются затраты
из-за возможной нехватки запасов (простоев производства, аварий, штрафов
и др.). Кроме того, при росте объема партии снижаются затраты на подготовительно-заключительные операции, так как они не зависят или слабо зависят
от величины партии. В конкретных приложениях есть и другие статьи затрат,
требующие учета. В результате задача состоит в выборе таких параметров
управления запасами (объема партии, периода пополнения и др.), которые
обеспечивают минимум суммарных затрат, связанных с запасами.
Многие практические задачи могут ставиться как задачи управления
запасами. Например, проблема пополнения штата стюардесс имеет прямое
отношение к рассматриваемой задаче: избыток стюардесс вызывает дополнительные расходы на их обучение и содержание, отсутствие стюардессы на
рейсе приводит к задержке или отмене рейса, а следовательно, к большим
потерям. Аналогичные вопросы возникают при выборе мощности устанавливаемого оборудования, разбиении всего заказа на партии в процессе производства, определении числа машин, закрепляемых за комбайном и других
подобных ситуациях.
Задачи управления запасами имеют обширную классификацию. Выделим здесь три основных признака классификации: по виду спроса различают задачи со случайным и неслучайным спросом, по способу пополнения
запасов мгновенное и с задержкой, по виду запасов – однородные и неоднородные. Очевидно, что самыми простыми являются задачи с неслучайным спросом, с мгновенным пополнением и однородными запасами.
Другую крайность составляют задачи со случайным спросом на неоднородные запасы, пополняемые со случайной задержкой.
Задачи распределения на практике встречаются наиболее часто. Они
возникают в ситуациях, когда имеется ряд работ, операций или потребителей, нуждающихся в выполнении или удовлетворении, и возможны различные способы или пути их осуществления. В зависимости от уровня ресурсов различают три группы задач распределения. Для первой группы задач
характерно, что наличных ресурсов достаточно для выполнения всех работ, но
не хватает для выполнения каждой работы оптимальным образом. В этих
условиях необходимо так распределить ресурсы между всеми работами (потребителями), чтобы достигалась наибольшая эффективность системы в целом. Показатель эффективности (критерий) определяется конкретной целью
системы.
74
Классическим примером такой задачи является сбалансированная
транспортная задача. С одной стороны, имеются поставщики с известными количествами груза, с другой потребители с известными потребностями в грузе, при этом сумма потребностей равна сумме возможностей (баланс). Кроме того, для всех пар поставщикпотребитель даны затраты на перевозку единицы груза от поставщика к потребителю. Очевидно, что
наилучшим вариантом удовлетворения отдельного потребителя будет поставка груза с минимальными для него затратами, однако это может привести
к значительному возрастанию транспортных затрат у других потребителей.
Поэтому задача состоит в определении такой схемы перевозки, при которой
суммарные транспортные издержки будут минимальны. Разновидность
транспортной задачи, называемая задачей о назначениях или задачей выбора, заключается в распределении N кандидатов по N должностям, работам или
машинам при известной эффективности каждого кандидата на каждой
должности с целью достижения максимальной эффективности всей системы (например, расстановка 10 спортсменов по 10 этапам эстафеты, обеспечивающая минимальное время прохождения всех этапов).
Ко второй группе относят задачи, в которых наличных ресурсов недостаточно для выполнения всех работ или удовлетворения всех потребителей в полном объеме. Задача ставится аналогично вышеприведенной,
но в ряде случаев требуется дополнительная информация о влиянии неудовлетворенного спроса на показатель эффективности, а решение должно
содержать данные о том, какие работы и в каком объеме не выполняются в
условиях оптимального распределения. Примерами подобных задач могут служить несбалансированная транспортная задача, большинство задач
составления бюджета, задачи планирования, проектирования, составления
смесей и др. Сюда же можно отнести задачу о рюкзаке, заключающуюся в
наилучшем наборе предметов при ограниченном весе и/или объеме рюкзака (эта задача имеет важные инженерные приложения, связанные с оптимальным использованием ограниченных объемов стоек, отсеков, памяти и т.п.).
Задачи третьей группы отличаются тем, что уровень (объем) используемых ресурсов не фиксирован и может варьироваться в некоторых
пределах. При этом затраты на ресурсы зависят от их объемов. Задача состоит в определении оптимального уровня ресурсов и оптимального распределения по критерию, учитывающему как затраты на ресурсы, так и эффективность их использования. В качестве примера можно привести про-
75
блему использования кредитов предприятием, которая особенно обостряется
при высоких процентных ставках.
Задачи массового обслуживания возникают, когда имеет место поток заявок, требований или клиентов, нуждающихся в обслуживании. В общем случае заявки приходят через случайные промежутки времени и продолжительность обслуживания одной заявки также случайна. Системы, занятые
обслуживанием таких потоков, называют системами массового обслуживания
(СМО). Обычно в СМО выделяют 4 составляющих: поток заявок (входящий
поток), очередь заявок, обслуживающие устройства, выходящий поток. Как
следует из характера поступления и обслуживания заявок, в СМО может возникать как очередь заявок на обслуживание, так и очередь обслуживающих
устройств (простои). Очевидно, что с любой очередью связаны потери. Различают СМО с отказами, когда при занятых устройствах пришедшая в систему
заявка получает отказ и, следовательно, очереди заявок быть не может, и системы с ожиданием (с очередью), когда при занятых устройствах обслуживания заявка встает в очередь и ожидает обслуживания.
Процессы, протекающие в СМО, носят стохастический характер и поэтому для их описания применяют вероятностные модели. В качестве показателей эффективности работы СМО могут использоваться вероятность
отказа, средняя длина очереди, среднее время пребывания заявки в системе, пропускная способность (абсолютная или относительная), среднее
число занятых устройств и др. В широком смысле задача массового обслуживания состоит в определении оптимальной структуры и оптимальных параметров СМО, а в узком в выборе оптимальных параметров составляющих
системы в пределах заданной структуры. В одних задачах за критерий принимают один из показателей работы СМО при ограничениях на другие показатели и на затраты на СМО, в других стремятся минимизировать затраты
при обеспечении заданных уровней показателей работы СМО.
Задачи массового обслуживания особенно характерны для сферы
услуг и производства. Примерами могут служить задачи организации торговли, медицинского обслуживания, ремонта, серийного и массового производства, работы вычислительного центра и отдельной ЭВМ в многозадачном и
многопользовательском режимах и т.п.
Задачи выбора маршрута. В зависимости от вида искомого
маршрута различают два варианта задач. Первый тип задач иногда называют задачами о кратчайшем пути. Между двумя заданными пунктами или узлами имеется конечное множество путей, состоящих из переходов (дуг), со-
76
единяющих промежуточные пункты. Один переход может входить более чем в
один путь. Каждый переход характеризуется показателем или рядом показателей, в качестве которых могут быть время, длина, стоимость, расход
ресурса и т.п. Требуется найти путь, кратчайший в смысле принятого критерия. Отметим, что искомым является незамкнутый путь и не требуется прохождение всех промежуточных пунктов. При детерминированных показателях
используется детерминированная модель, а при случайных показателях вероятностная модель. Такие задачи возникают при прокладке маршрутов различных транспортных средств, трасс дорог, линий электропередач, трубопроводов, выборе вариантов поведения на заданном конечном промежутке времени, расчете сетевых графиков и т.д.
Второй тип задачи выбора маршрута называется задачей коммивояжера. Такое название сложилось исторически и связано с поиском оптимального маршрута передвижения представителя торговой фирмы коммивояжера. Последний, выйдя из своего города, должен обойти все города,
входящие в сферу обслуживания фирмы, и вернуться обратно. При этом
каждый город посещается один раз. Известны показатели переходов между всеми парами городов и требуется найти маршрут, обеспечивающий
минимальные затраты времени или минимальный расход горючего, или
минимальную стоимость проезда. Если показатели переходов зависят от
направления движения, задача является асимметричной, иначе симметричной. Эта задача отличается замк-нутостью искомого маршрута и необходимостью прохождения всех пунктов. В теории графов такой маршрут
называют гамильтоновым циклом.
Первоначально задача коммивояжера рассматривалась как математическая головоломка, но в последние десятилетия обнаружили, что к ней
сводится ряд важных практических проблем. Например, если на одном
оборудовании каждый месяц нужно производить фиксированную номенклатуру изделий, а затраты на переналадку зависят от предшествующего и последующего видов изделий, то определение последовательности запуска изделий в производство, обеспечивающей минимальные затраты на
переналадку в течение месяца, представляет собой типичную задачу коммивояжера. Другой пример: составляется программа для станка с ЧПУ на сверление нескольких десятков отверстий в плате и требуется определить порядок, в котором будет производиться сверление, так, чтобы общее время операции было минимальным. Это тоже задача коммивояжера. В чем трудности решения таких задач, если число возможных вариантов всегда конеч-
77
но? При трех городах имеется два варианта решения, при четырех уже
шесть, а при 11 более 3,6 млн. В общем случае задача коммивояжера с N городами (пунктами) имеет (N1)! замкнутых маршрутов, проходящих через все
пункты. Таким образом, в реальных задачах число возможных вариантов исчисляется астрономическими величинами и в этом заключается основная
проблема решения задачи.
Рассматриваемая задача может быть обобщена на т коммивояжеров. В
базовом городе находится т коммивояжеров, обслуживающих всех клиентов фирмы (клиент город). Необходимо составить т замкнутых маршрутов,
охватывающих всех клиентов по одному разу и имеющих наилучший суммарный показатель, например, минимальную суммарную длину. Увеличение числа коммивояжеров повышает сложность задачи.
Задачи замены оборудования. В зависимости от типа оборудования
различают два вида задач замены. В одних задачах оборудование рассматривается как единое целое, характеристики которого с течением времени
ухудшаются. В результате снижается производительность, качество выполнения операций, возрастают затраты на эксплуатацию и текущие ремонты, снижается фонд полезного времени работы оборудования. С увеличением частоты замены оборудования все эти показатели будут улучшаться,
но одновременно будут резко возрастать капитальные затраты и затраты, обусловленные демонтажем старого и монтажом нового оборудования. Поэтому
встает вопрос об определении моментов замены, наилучших в смысле выбранного критерия. В качестве последнего часто рассматривается прибыль,
получаемая на оборудовании за определенный период времени. Вид модели
замены напрямую зависит от характера изменения свойств оборудования. К
оборудованию первого типа можно отнести обрабатывающий центр, самолет,
доменную печь, локомотив, пресс и т.п.
Другой вид задач замены связан с оборудованием, состоящим из
большого числа относительно недорогих элементов, характеристики которых практически не меняют своих свойств, но могут внезапно полностью выходить из строя. Моменты выхода из строя, как правило, случайны. Примерами подобного оборудования могут служить электронные системы, компьютеры и др. В отличие от задач первого вида здесь наряду с моментами
замены нужно определять и уровень, на котором следует проводить замену. Можно заменять отдельный элемент, плату, узел или целый блок. При
этом, если уменьшается время на замену, то растет стоимость заменяющих
частей и наоборот. Поэтому задача не имеет тривиального решения. Оче-
78
видно, что для математического описания подобных задач используются
в основном вероятностные модели.
Задачи упорядочения возникают в связи с тем, что конечное множество независимых работ (операций) выполняется на одной группе оборудования, включающей два и более станков (обслуживающих устройств).
Каждой паре операция-станок ставится в соответствие некоторый показатель. Задача заключается в определении такой последовательности выполнения независимых работ на одном и том же оборудовании, при которой достигается наилучшее значение критерия оптимальности.
В качестве примера рассмотрим классическую задачу Джонсона.
Каждая из N деталей обрабатывается на m станках в одинаковом порядке,
время обработки известно. Требуется определить очередность запуска деталей на обработку, обеспечивающую минимальное время обработки всех деталей. Для двух станков и двух деталей возможны только два варианта последовательности обработки, которые можно представить в виде графиков Ганта:
Станки
Время обработки деталей
A B
1 5 4
2 2 5
Нетрудно подсчитать, что ТАB=14, а ТBA=11 и, следовательно, оптимальной является очередность ВА.
Однако при двух станках и 10 деталях число вариантов уже превысит 3,6
млн., а для n деталей оно составляет n!. Поэтому простым перебором вариантов задачу не решить.
Проблема еще более усложняется с увеличением числа станков. В общем случае в оптимальном решении очередность деталей на разных станках
может быть неодинаковой, что значительно увеличивает число вариантов решения. Правда, теоретические исследования дали интересный результат: в оптимальном решении очередность одинакова на первых двух и на последних
двух станках (но между собой эти очередности не совпадают). Отсюда
следует, что при двух и трех станках очередность на всех станках одинакова.
Но для большего числа станков это неверно. Так, например, для 5 станков
возможны 3 различные очередности обработки и, значит, при 10 деталях число
вариантов составит (10!)3
=4,781019. Такие значения трудно представить.
Класс задач упорядочения достаточно широк. В него входят разнообразные задачи составления расписаний. Как и задачи выбора маршрута, рас-
79
смотренные задачи относятся к комбинаторным, сложность решения которых обусловлена их дискретностью и экспоненциальным ростом числа вариантов с увеличением размерности задачи.
Задачи сетевого планирования и управления. Одна из первых задач этого класса была поставлена и решена применительно к американской программе разработки ракет «Поларис». Программа охватывала
огромное множество работ и большое число фирм-исполнителей, для координации которых требовались новые подходы. Таким образом, в отличие
от задач упорядочения в задачах сетевого планирования рассматривается
комплекс взаимосвязанных работ. Исходным является список работ, подлежащих выполнению, с известными продолжительностями и непосредственно предшествующими работами.
Взаимосвязи работ моделируются ориентированным графом, называемым сетевым графиком или просто сетью. Возможны два варианта представления сети: 1) сеть типа "работы-дуги", когда дуга отображает работу с присущими ей параметрами (показателями) и связями, а вершины состояния
объекта (программы, проекта), к которому относятся работы; 2) сеть типа
"вершины-работы", когда дуги показывают только связи, а работам ставятся
в соответствие вершины. Для первоначального построения сети удобнее
второй вариант, но для расчетов чаще используется сеть "работы-дуги".
Существуют простые алгоритмы перехода от одного представления к другому. Сеть может быть детерминированной и вероятностной. Во втором
случае обычно случайным является время выполнения работ или ряд
работ альтернативны с известными вероятностями необходимости их
выполнения. С работами может быть связано время (простейшие сети), ресурсы, стоимость или их сочетания. Сеть может применяться один раз или
многократно. По ходу выполнения работ сеть может корректироваться. В задачах сетевого планирования и управления различают анализ и
синтез сети.
Анализ сети состоит в расчете времен начала и окончания работ, ранних и поздних сроков наступления событий, резервов времени работ и событий, определении критического пути и критических работ. Критическим
называется самый длинный путь от начального события к конечному, то есть
это минимальное время, за которое могут быть выполнены все работы.
Под синтезом сети обычно понимают ее оптимизацию. Например, в пределах выделенных ресурсов или затрат нужно обеспечить минимальное время завершения всего комплекса работ, или наоборот, выполнить все работы к
80
заданному сроку с минимальными затратами. На сети со случайными продолжительностями работ за критерий или основное ограничение принимается математическое ожидание длины критического пути. Кроме того, в
качестве критерия может выступать вероятность завершения комплекса в заданный срок, которую следует максимизировать.
Рассмотренный класс задач характерен для больших научноисследовательских работ, разработок сложных проектов, монтажностроительных работ и других комплексных проектов и программ.
Состязательные задачи. Этими задачами моделируется принятие решений в ситуациях неопределенности, причем неопределенность обусловлена наличием конфликта. Конфликт имеет место, если в операции
участвуют две и более оперирующих сторон, преследующих несовпадающие
цели. Неопределенность у одной из сторон возникает в связи с неизвестностью линии поведения других сторон, в то время как результат зависит от поведения всех участников операции.
Различают две модели конфликта: игру и аукционный торг. Игра характеризуется известным количеством участников, называемых игроками, правилами игры, множеством возможных ситуаций (сочетаний стратегий
игроков) и соответствующими им выигрышами или проигрышами (в общем случае платежами). По методу ведения игры различают дискретные
игры, в которых игроки совершают поочередные ходы, и непрерывные, когда игроки действуют непрерывно. Последние также называют играми преследования (например, бой двух самолетов) или дифференциальными играми, так как поведение игроков описывается дифференциальными уравнениями. По количеству ходов выделяют игры с конечным и бесконечным числом шагов. Аналогичное деление производится по числу стратегий игроков. Так у противотанкового орудия имеется бесконечное число стратегий,
так как огонь по нападающим танкам может быть открыт с любого расстояния, начиная с прицельной дальности стрельбы. По форме платы различают
игры с нулевой суммой, когда выигрыши одних равны проигрышам других, и
поэтому их также называют антагонистическими (цели полностью противоположные), и игры с ненулевой суммой, в которых выигрыши и проигрыши не совпадают. В зависимости от числа игроков говорят об
играх 2, 3, ..., 7, N лиц. Дискретную игру двух лиц с ненулевой суммой
называют биматричной игрой, в ней каждой ситуации соответствует два платежа (по одному для каждого игрока).
С основными положениями биматричных игр мы с вами знакомы.
81
Помимо рассмотренных нами моделей игр применяются также модели
коалиционных и кооперативных игр. Так, в игре п лиц (п >2) с нулевой суммой в процессе игры могут образовываться объединения части игроков против
остальных, если такая коалиция улучшает результаты всех объединившихся
игроков, что обеспечивается побочными платежами со стороны инициатора
объединения. В отличие от этого кооперативная игра может улучшать результаты всех игроков за счет предварительных договоренностей с заключением
обязывающих соглашений (в играх с ненулевой суммой). Очевидно, что кооперация возможна и в игре двух лиц.
Игровые модели находят применение в основном при исследовании военных операций и в экономике. Если вторая оперирующая сторона представляет собой некую среду с неизвестными вероятностями состояний, то такая ситуация также может моделироваться игрой, которая называется игрой
против природы.
Модели типа аукционного торга применяются, когда степень неопределенности выше, чем предполагает модель игры. Так, например, в аукционном торге неизвестно даже число участников, нельзя составить принятую в
игре платежную матрицу. Разработка и исследование моделей этого типа
находятся в начальной стадии.
Задачи поиска. Процесс поиска связан с двумя видами ошибок. Из-за
невозможности охвата всего множества объектов, среди которых могут быть
искомые, возникает ошибка выборки. При исследовании выборки могут
иметь место ошибки наблюдения, выражающиеся в том, что не обнаруживается (пропускается) искомый объект, входящий в выборку, или другой объект
принимается за искомый (ложное обнаружение). Любые ошибки приводят к
потерям, упущению прибыли и т.п.
Для поиска необходимы ресурсы (в общем случае он требует затрат).
При ограниченных ресурсах на поиск увеличение выборки уменьшает ошибку выборки, но одновременно возрастает ошибка наблюдения, а при уменьшении объема выборки наоборот. Задача заключается в определении
объема выборки и стратегии поиска внутри нее, при которых достигается
наибольшая эффективность поиска. Характерным примером такой задачи
является контроль качества деталей или изделий при серийном или массовом производстве. Основным ресурсом при этом выступают контролеры
ОТК, число которых всегда ограничено. Чем больше выборка, тем меньше
негодных деталей пройдет мимо контролера, но тем меньше времени у него на
проверку каждой детали, попавшей в выборку, а значит, больше вероятность
82
пропуска негодной детали или отбраковки годной. Бракованные детали, не
обнаруженные контролером, могут проявить себя только при испытаниях готовой продукции или у потребителя, что влечет убытки для производителя.
Задача контроля качества - организовать его так, чтобы убытки свелись к минимуму.
Задача поиска может ставиться шире, если количество ресурсов, выделяемых на поиск, может варьироваться в некоторых заданных пределах.
Так как за ресурсы надо платить, то увеличение ресурсов не обязательно ведет
к повышению эффективности. Поэтому задача состоит в определении оптимального уровня ресурсов и оптимального их использования. Так на стадии проекта организации контроля качества может возникнуть необходимость определения числа контролеров, объема выборки и стратегии контроля
внутри выборки, при которых будет обеспечиваться максимальная прибыль
от выпускаемых изделий.
Некоторые области применения задач поиска:
организация ревизий;
бухгалтерские операции;
обнаружение объектов (потерпевших аварию, заблудившихся, пожаров
и т.п.);
военная разведка;
разведка полезных ископаемых;
организация контроля качества;
хранение и поиск информации;
размещение рекламы в районе или городе.
Следует заметить, что модели поиска разработаны слабо. В основном
они носят частный характер.
Резюме. Реальные проблемы далеко не всегда могут сводиться к одной
из рассмотренных задач. Нередко в одной проблеме сплетается ряд задач, разделить которые не представляется возможным. Так, в машиностроении обработка деталей производится партиями, при этом определение объема партий
как задача управления запасами связано через затраты с графиком запускавыпуска деталей, а нахождение оптимального графика требует, чтобы было
известно время обработки на всех операциях, но последние напрямую зависят от объема партии. Таким образом, здесь воедино связаны две типовые
задачи: управления запасами и упорядочения.
Как правило, на практике возникают именно такие комплексные задачи. Но знание типичных задач облегчает поиск решения задач более слож-
83
ных. Естественно, что приведенный перечень задач исследования операций не
является исчерпывающим, да и никакой другой не может претендовать на абсолютную полноту, так как разнообразие задач не имеет границ.
Почти для каждого класса типичных задач можно указать наиболее эффективные методы решения. В то же время один метод или одна группа методов могут быть эффективны для ряда задач, а некоторые задачи, например,
задачи поиска не имеют методов, характерных для всего данного класса. В
связи с тем, что этап нахождения наилучшего решения является центральным
в исследовании операций, последующие разделы пособия посвящены в основном рассмотрению методов оптимизации.
84
Приложение 2. Решение некоторых задач линейного программирования с использованием оболочки Excel
§1. Решение задачи линейного программирования с использованием
оболочки Excel
1.1. Применение режима «Поиск решения».
1.2. Реализация симплекс-метода в оболочке Excel
§2. Решение транспортной задачи с использованием оболочки Excel
2.1. Постановка транспортной задачи и еѐ математическая модель.
Напомним постановку транспортной задачи и еѐ математическую модель.
Имеется сеть поставщиков P1, P2, …, Pm некоторого однородного груза, и
сеть потребителей П1, П2, …, Пn этого груза. Известны: запасы поставщиков a1,
a2, …, am, соответственно; потребности потребителей b1, b2, …, bn, соответственно; стоимость cij перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок (то есть определить, кто,
кому и в каком количестве должен отгрузить, чтобы запасы поставщиков были
по максимуму использованы, потребности потребителей по максимуму были
удовлетворены, и суммарная стоимость перевозок была минимальной.
Условия задачи обычно даются в следующей транспортной таблице:
bj
ai
b1 b2 … bj … bn
a1 c11 c12 … c1j … c1n
a2 c21 c22 … c2j … c2n
… … … … … … …
ai ci1 ci2 … cij … cin
… … … … … … …
am cm1 cm2 … cmj … cmn
Математическая модель задачи следующая:
85
m
i
n
j
ij xij c
1 1
max
0 ( 1, ..., ; 1, ..., ).
... ,
... ,
... ,
... ,
... ,
... ,
1 2
1 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 1
1 2
2 1 2 2 2 2
1 1 1 2 1 1
x i m j n
x x x b
x x x b
x x x b
x x x a
x x x a
x x x a
i j
n n mn n
m
m
m m mn m
n
n
(3.1)
Если суммарные запасы и суммарные потребности совпадают
(
m
i
ai
1
=
n
j
bj
1
), то задача называется задачей закрытого типа. В противном
случае задача называется задачей открытого типа. Задача открытого типа
решается сведением еѐ к задаче закрытого типа введением фиктивных либо потребителя Пn+1 с потребностью bn=
m
i
ai
1
n
j
bj
1
, либо поставщика Pm+1 с запасом
am=
n
j
bj
1
m
i
ai
1
. При этом стоимости c перевозок с фиктивными участниками
делается произвольным постоянным числом, например, c=0. Далее задача решается обычным образом. Только ответ формулируется с реальными перевозками.
2.2. Решение транспортной задачи с использованием оболочки Excel.
В оболочке Excel в режиме «Поиск решений» транспортная задача решается
обычным образом, как и всякая оптимизационная задача: выбираются ячейки в
качестве переменных
x (i 1, ...,m; j 1, ...,n)
ij
, выбирается ячейка для целевой
функции, выбираются ячейки, в которые будут вводиться левые части ограничений. Для ускорения процесса ввода необходимых функций (целевой и левых
частей ограничений) лучше использовать встроенные функции СУММПРОИЗВ() и СУММ(). Первая используется для ввода целевой функции. Лучше всего (в целях удобства) для этого ввести отдельно транспортную таблицу, без
«шапки» (только стоимости перевозок), в виде таблицы размера mn. Рядом,
через столбец правее, «зарезервировать» такую же таблицу для переменных
86
x (i 1, ...,m; j 1, ...,n)
ij
. При этом рекомендуется таблицы располагать так,
чтобы их первые строки были размещены на второй строке листа Excel.
Далее действуем по следующей схеме:
1. В верхнюю ячейку столбца между таблицами вводим целевую функцию. Для этого в эту ячейку вводим знак «=», нажимаем на кнопку «fx», вызывающую встроенные функции, выбираем функцию СУММПРОИЗВ(). Высветится окошко
Установив курсор в микроокно «Массив1», указываем в нѐм ячейки таблицы стоимостей перевозок:
Затем устанавливаем курсор в микроокно «Массив2» и указываем на нѐм таблицу, зарезервированную для переменных. После нажатия на кнопку «ОК» в
строке против кнопки «fx» в скобках СУММПРОИЗВ() через «;» будут высвечены списки номеров ячеек массивов, участвующих в формировании целевой
функции
m
i
n
j
ij xij c
1 1
:
87
2. В ячейке между таблицами вводим левые части ограничений
xi xi xin ai
... 1 2
. (3.2)
Для этого в соответствующую ячейку вводим знак «=», нажимаем на кнопку
«fx», выбираем функцию СУММ().
Установив курсор в микроокно «Число1», указываем в нѐм всю строку, на
которой находится выбранная ячейка, таблицы, зарезервированной для переменных. После нажатия на кнопку «ОК» в строке против кнопки «fx» в скобках
СУММ() будут высвечены списки номеров ячеек (в виде диапазона), участвующих в формировании функции
n
j
xij
1
левой части ограничения (3.2).
3. В ячейки над столбцами таблицы для переменных вводим левые части
ограничений
x j x j xmj bj
... 1 2
. Делается это по той же схеме, что и для
ограничений вида (3.2).
4. Вызываем режим «Поиск решений» и далее вводится сценарий по
стандартной схеме. При этом, если задача имеет тип закрытого, то все ограничения (кроме ограничений неотрицательности) типа «=». Наконец, не забываем, что правые части это объѐмы запасов поставщиков и потребности потребителей.
П р и м е р 1 . Решить следующую транспортную задачу в режиме «Поиск
решения»:
bj
ai
25 25 25 25
20 4 2 3 5
40 3 4 4 3
40 2 3 4 5
88
Р е ш е н и е . 1) Введѐм в ячейки В2:Е4 (от В2 до Е4) стоимости перевозок,
ячейки G2:J4 резервируем для переменных
x (i 1, 3, 3; j 1, 2, 3, 4)
ij
. Таким
образом, ячейка F1 будет целевой:
2) В ячейку F1 вводим целевую функцию:
«=» Кнопка «fx» СУММПРОИЗВ(В2:Е4, G2:J4).
После нажатия на ячейку «ОК» в ячейке F1 высветится 0.
3) В каждую из ячеек F2, F3, F4 вводим левые части ограничений по a1,
a2, a3:
«=» Кнопка «fx» СУММ(G2:J2),
«=» Кнопка «fx» СУММ(G3:J3),
«=» Кнопка «fx» СУММ(G4:J4).
В ячейках F2, F3, F4 высветится 0:
89
4) В каждую из ячеек G1, H1, I1, J1 вводим левые части ограничений по
b1, b2, b3, b4:
«=» Кнопка «fx» СУММ(G2:G4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(H2:H4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(I2:I4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(J2:J4).
В ячейках G1, H1, I1, J1 высветится 0:
5) Вызываем окно «Поиск решения» и устанавливаем необходимые параметры: «Установить целевую функцию», на «Минимум», «Изменяя ячейки
G2:J4», вводим ограничения. При этом правые части ограничений это запасы
90
поставщиков и потребности потребителей, то есть F2=20, F3=40, F4=40, G1=25,
H1=25, I1=25, J1=25:
6) Нажать на кнопку «Выполнить» или «Найти решение».
О т в е т : Матрица перевозок следующая:
25 7,5 7,5 0
0 0 15 25
0 17,5 2,5 0
. Минимальная стоимость перевозок составит 280 ден. единиц.
З а м е ч а н и е . Варианты перевозок могут не совпадать с вариантом, полученным методом потенциалов. Более того, при решении на компьютере не
обязательно будет предложены перевозки в m+n1 клетках. Но стоимости в
любом варианте перевозок должны совпадать!
П р и м е р 2 . Решить следующую транспортную задачу в режиме «Поиск
решения»:
bj
ai
35 25 30 40
50 5 4 6 4
40 3 3 2 3
40 4 2 3 5
91
Приложение 3. Сведение задачи дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
Задача дробно-линейного программирования это задача нелинейного
программирования, у которой целевая функция дробно-линейная, а система
ограничений линейная:
1 1 2 2 0
1 1 2 2 0
...
...
d x d x d x d
c x c x c x c
n n
n n
extr
0 ( 1, 2, ..., ).
... ,
... ,
... ,
1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1
x j n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
j
m m mn n m
n n
n n
(2.1)
Эта задача сводится к следующей задаче линейного программирования:
c1y1+c2y2+…+cnyn extr
0, 0 ( 1, 2, ..., ).
... 1,
... 0,
... 0,
... 0,
0
0 0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
2 0 2 1 1 2 2 2 2
1 0 1 1 1 1 2 2 1
y y j n
d y d y d y d y
b y a y a y a y
b y a y a y a y
b y a y a y a y
j
n n
m m m mn n
n n
n n
(2.2)
Между переменными y0, xj
, yj (j=1, …, n) имеют место следующие связи:
y0=
1 1 2 2 0
...
1
d x d x dn xn d
, yj=xjy0 (j=1, …, n) (2.3)
Поэтому, решив задачу (2.2), находят значения y0, yj (j=1, …, n), по которым
находят xj=
0
y
yi
. Значения целевых функций задач (2.1) и (2.2) на оптимальных
решениях совпадают.
П р и м е р 1 . Дана задача дробно-линейного программирования:
2 1
2
1 2
1 2
x x
x x
max
0.
2 6,
2 2,
1,2
1 2
1 2
x
x x
x x
92
Решить еѐ, сведя к задаче линейного программирования.
Р е ш е н и е . Исходная задача имеет вид (2.1). Тогда она сводится к задаче
вида (2.2):
2y1y2 max
0, 0.
2 1,
6 2 0,
2 2 0,
0 1,2
0 1 2
0 1 2
0 1 2
y y
y y y
y y y
y y y
Полученную задачу линейного программирования решаем, например, с
использованием компьютера в режиме «Поиск решения» (или с помощью симплекс-метода (вручную, на вкус студента)). Получаем решение Y0=
, 0
3
2
,
3
1
,
Fmax=
3
4
, то есть y0=
3
1
, y1=
3
2
, y2=0. Тогда x1=
0
1
y
y
=
3
2
:
3
1
=2, x2=
0
2
y
y
=0:
3
1
=0. Значит, X0=(2, 0), Fmax=
3
4
.
О т в е т . X0=(2, 0), Fmax=
3
4
.
П р и м е р 2 . Решить задачу дробно-линейного программирования:
1 2
1 2
3
2
x x
x x
max
1 2
1 2
1, 2
3 3,
2 4 8,
0.
x x
x x
x
93
Приложение 4. Сведение многоцелевой задачи линейного программирования к одноцелевой
§1. Постановка задачи векторной оптимизации и принципиальные подходы к еѐ решению
1.1. Постановка задачи векторной оптимизации. На практике чаще всего рассматриваются задачи с несколькими целевыми функциями.
Так, покупатель чаще всего не может себе позволить купить товар
наивысшего качества и с наибольшим числом функций (потребительских
свойств), так как с ростом этих показателей растѐт и цена товара. Он старается купить, с одной стороны, товар достаточного качества с достаточно
большим числом наборов функций, с другой стороны, с приемлемой для
него ценой. Руководитель производства не может гнаться за одним прибылем. Ему нужно думать о заработной плате работников, на различного
рода отчисления, которые обязательно отрицательно сказываются на прибыли.
И в первом, и во втором примерах необходимо выбрать «золотую середину»: чтобы и качество товара было достаточно высоким, и цена еѐ
была достаточно низкой, и прибыль у предприятия была достаточно высокой, и заработная плата рабочих была достаточно высокой, и отчисления
были не слишком высокими.
Таким образом, на практике приходится решать задачи с несколькими критериями. В этих случаях математическая модель задачи имеет несколько целевых функций. При этом некоторые из этих функций требуют
нахождения максимума, некоторые – минимума. Поэтому ставится задача
нахождения такого компромиссного решения задачи, в котором значения
всех рассматриваемых функций были бы приближены к экстремальным
значениям. Такие задачи называются задачами векторной оптимизации,
или многокритериальными задачами. Задачи с одной целевой функцией
называют ещѐ задачами скалярной оптимизации.
В настоящее время решение таких задач разработаны недостаточно
полно. Причѐм одна и та же задача может быть решена несколькими способами, в основе которых лежат разные принципиальные подходы к решени. Причѐм разные способы дают, как правило, разные решения!
1.2. Принципиальные подходы к решению задач векторной оптимизации.
1. Строится одна целевая функция.
94
Причѐм и здесь нет единого подхода. Например, один из методов рекомендует для задачи с целевыми функциями f1, f2, …, fk построить функцию f следующим образом:
1) Привести экстремумы всех функций f1, f2, …, fk к одному виду
экстремума. Это возможно в силу очевидного fi max fi min.
2) Определить веса i функций fi (i=1, 2, …, k) по их важности.
Например, вес функции, который имеет важность 30% по сравнению с
остальными, получит вес =0,3.
3) Строим единую функцию f =1f1+2f2+…+kfk.
4) Определяем значения переменных, при которых достигается экстремум единой функции.
5) Определяем значения исходных функций при найденных значениях переменных.
Другой метод построения единой целевой функции мы рассмотрим
ниже при рассмотрении многоцелевой задачи линейного программирования.
2. Ранжировка целевых функций и оптимизация по их важности.
1) Целевые функции располагаются по важности.
2) Оптимизируют самую важную целевую функцию. Найдя приемлемый
интервал, в котором лежит оптимальное значение этой целевой функции
(вплоть до того, что приравняв эту целевую функцию найденному оптимальному значению), рассматривают новую задачу, целевой функцией которой является вторая по важности целевая функция исходной, и которая имеет дополнительное ограничение: интервал, в котором лежит оптимальное значение самой
важной целевой функции.
3) Решают полученную задачу, и снова, как и в предыдущем шаге, рассматривают новую задачу, целевой функцией которой является третья по важности целевая функция исходной, и которая имеет дополнительное ограничение: интервал, в котором лежит оптимальное значение третьей по важности целевой функции.
И т.д. до тех пор, пока не решат задачи с каждой целевой функцией.
3. Превращение всех целевых функций в ограничения.
Выбирается одна целевая функция. Остальные функции ограничивают
интервалами, в которых руководитель хочет видеть их значения. Получается
задача с одной целевой функцией.
95
§2. Многоцелевая задача линейного программирования
2.1. Постановка многоцелевой задачи линейного программирования.
Многоцелевой задачей линейного программирования называется задача
линейного программирования с несколькими (линейными) целевыми функциями. Таким образом, многоцелевая задача линейного программирования имеет
следующую математическую модель:
c11x1+c12x2+…+c1nxn extr1,
c21x1+c22x2+…+c2nxn extr2,
……………………………..
ck1x1+ck2x2+…+cknxn extrk,
0 ( 1, 2, ..., ).
... ,
... ,
... ,
1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1
x j n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
j
m m mn n m
n n
n n
Здесь extri{min, max}, i=1, 2, …, k.
Решить многоцелевую задачу линейного программирования это значит
найти такое решение, при котором значения всех целевых функций будут
наиболее близки к их экстремальным значениям. Назовѐм такое решение компромиссным. На сегодняшний день разработан целый ряд подходов и методов
к решению многоцелевой задачи линейного программирования. Следует сразу
отметить, что разные подходы и методы не дают однозначного ответа. Один из
подходов к решению таких задач заключается в сведении задачи к одноцелевой.
Мы рассмотрим два метода сведения задачи к одноцелевой.
2.2. Метод идеальной точки рассмотрим на примере задачи с двумя переменными и двумя целевыми функциями:
c11x1+c12x2 extr1,
c21x1+c22x2 extr2,
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
1 2
,
,
,
0, 0.
m m m
a x a x b
a x a x b
a x a x b
x x
Алгоритм метода следующий:
96
1. Найти область допустимых решений (ОДР) задачи (то есть в прямоугольной декартовой системе (ПДСК) Ox1x2 построить множество решений системы ограничений задачи). Допустим, многоугольник A1A2…Al ОДР.
2. Найти координаты вершин Ai ОДР.
3. В ПДСК OC1C2 изобразить образ ОДР при отображении C с матрицей
C=
11 12
21 22
c c
c c
. Для этого подставляя координаты (
( )
1
i
x ,
( )
2
i
x
) точки Ai в целевые
функции, найти координаты (c11
( )
1
i
x
+c12
( )
2
i
x , c21
( )
1
i
x
+c22
( )
2
i
x
) образа
Ai
при этом
отображении. Многоугольник
A1
A2
… Al
есть искомый образ ОДР.
4. Найти в ПДСК OC1C2 так называемую точку утопии U(
1
C1 extr
,
2
C2 extr
),
где
1
C1 extr =extr1(c11x1+c12x2),
2
C2 extr =extr2(c21x1+c22x2).
5. На многоугольнике
A1
A2
… Al
найти ближайшую к точке U утопии
точку I. Это так называемая идеальная точка.
6. Решив систему
0
11 1 12 2 1
0
21 1 22 2 2
,
,
c x c x C
c x c x C
где
0 0
1 2 ( , ) C C координаты идеальной точки, определить значения x1 и x2, при которых достигаются компромиссные значения
0 C1
и
0 C2
целевых функций задачи.
П р и м е р 1 . Решить многоцелевую задачу линейного программирования
методом идеальной точки:
4x1+ x2 max,
x1+4x2 min,
0.
3 2 3,
2 6,
4 4 16,
3 5 18,
1,2
1 2
1 2
1 2
1 2
x
x x
x x
x x
x x
Р е ш е н и е . Действуем по вышеописанному алгоритму:
97
1. Найдѐм ОДР задачи. ОДР задачи треугольник ABC на Рис. 1 (подробности опускаем):
Рис. 1
2. Найдѐм координаты вершин A, B, C ОДР (подробности опускаем): A(0,
3
2
), B(0,
18
5
), C(1, 3).
3. В ПДСК OC1C2 изобразим образ ОДР при отображении C с матрицей
C=
4 1
1 4
. Для этого подставляя координаты точек A, B, C в целевые функции,
находим координаты их образов A, B, C соответственно:
A=(40+
3
2
, 0+4
3
2
)=(
3
2
, 6), B=(40+
18
5
, 0+4
18
5
)=(
18
5
,
92
5
),
C=(41+3, 1+43)=(7, 13).
Треугольник ABC есть искомый образ ОДР (Рис. 2):
98
Рис. 2 Рис. 3
4. Найдѐм точку утопии U. Это точка, координаты которой равны экстремумам целевых функций, как если бы они рассматривались в отдельной одноцелевой задаче с данной системой ограничений. Из Рис. 3 видно, что максимум
первой целевой функции равен 7 (
C1max
=7), а минимум второй целевой функции равен 6 (
C2 min =6). Поэтому U(7, 6) точка утопии.
5. На треугольнике ABC найдѐм ближайшую к точке U утопии точку I
идеальную точку. Ясно, что она лежит на стороне AC и является основанием
перпендикуляра, опущенного из точки U к прямой AC. Поэтому точку I находим по следующей схеме:
99
5.1. Находим уравнение прямой AC.
5.2. Находим уравнение прямой, проходящей через точку U перпендикулярно к AC.
5.3. Координаты I ищем как координаты точки пересечения прямых,
найденных в п.п. 5.1 и 5.2.
Итак:
5.1. Находим уравнение прямой AC как уравнение прямой, проходящей
через точки A и C:
3
1 2 2
3
2
6
7 13 6
C C
3
1 2 2
11
2
6
7
C C
.
После очевидных алгебраических преобразований полученного канонического уравнения прямой приходим к еѐ общему уравнению:
14С111С2+45=0.
5.2. Находим уравнение прямой, проходящей через точку U(7, 6) перпендикулярно к AC:
11
2
(С17)+(С26)=0, что равносильно .
11С1+14С2161=0.
5.3. Координаты I ищем как координаты точки пересечения прямых,
найденных в п.п. 5.1 и 5.2:
1 2
1 2
14 11 45,
11 14 161,
C C
C C
1141
1 317
2749
2 317
3,6,
8,62.
C
C
6. Решив систему
1141
1 2 371
2749
1 2 371
4 ,
4 ,
x x
x x
определяем значения x1 и x2, при которых достигаются компромиссные значения
1141 C1
317
и
2749 C2
317
целевых
функций задачи. Решение системы 1
x 0,33
и
2
x 1,77.
О т в е т . Компромиссные значения
1141 C1
317
и
2749 C2
317
целевых функций
достигаются задачи достигаются при
1
x 0,33
и
2
x 1,77.
1.3. Метод введения дополнительной переменной заключается в следующем:
1. Задача решается для каждой целевой функции отдельно, то есть для
каждого i=1, 2, …, k решается задача
100
ci1x1+ci2x2+…+cinxn extri
,
0 ( 1, 2, ..., ).
... ,
... ,
... ,
1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1
x j n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
j
m m mn n m
n n
n n
(1.1)
Пусть Ci=extri (то есть Ci экстремальное значение целевой функции задачи
(1.1))
2. Составляется новая задача линейного программирования:
xn+1 min,
0 ( 1, 2, ..., ),
... ,
... ,
... ,
... ,
... ,
... ,
1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1
1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2 2 1 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 1
x j n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
c x c x c x C x c
c x c x c x C x c
c x c x c x C x c
j
m m mn n m
n n
n n
k k k n n k n k
n n n
n n n
(1.2)
где «»=«+» и «»=«», если Ci=extri=max, и «»=«» и «»=«», если
Ci=extri=min.
3. Решается задача (1.2) обычным образом (например, симплексметодом или методом искусственного базиса; можно на компьютере в Excel,
кому как нравится).
4. Находятся значения целевых функций исходной задачи при найденном решении.
5. Формулируется ответ, в котором указывается: решение , при котором
достигается компромиссное решение, и значения всех целевых функций при
данном решении.
П р и м е р 2 . Решить задачу Примера 1 введением дополнительной переменной.
Р е ш е н и е . 1. Решаем задачу для каждой целевой функции отдельно,
например, в оболочке Excel в режиме поиск решения:
101
4x1+x2 max, x1+4x2 min,
0.
3 2 3,
2 6,
4 4 16,
3 5 18,
1,2
1 2
1 2
1 2
1 2
x
x x
x x
x x
x x
0.
3 2 3,
2 6,
4 4 16,
3 5 18,
1,2
1 2
1 2
1 2
1 2
x
x x
x x
x x
x x
Решения этих задач и их сценарии следующие:
Решение первой: X1=(1, 3), Fmax=7.
Решение второй: X1=(0, 3/2), Fmin=6.
2. Составляем новую задачу линейного программирования:
102
x3 min,
0.
3 2 3,
2 6,
4 4 16,
3 5 18,
4 6 6,
4 7 7,
1,2,3
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 3
1 2 3
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
1. Решаем полученную задачу в оболочке Excel (в режиме «Поиск решения»). В отдельные ячейки вводим целевые функции. Сценарий и результаты
решения следующие:
В ячейках А1, А2, А3 значения соответственно x1, x2, x3, в ячейках D1 и
E1 значения целевых функций, соответственно первой и второй.
О т в е т : X0=(0,402439; 2,103659); C1=3,713415; C2=8, 817073.
1.4. Упражнение. Решить многоцелевую задачу линейного программирования методами идеальной точки введения дополнительной переменной:
а) 3x1+2x2 extr1 б) 2x1+5x2 extr1
x1+4x2 extr2 4x1+3x2 extr2
0, 0.
2 3 12,
8 3 24,
2 3 24,
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
0, 0.
2 3 0,
8 3 24,
2 3 24,
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
103
Приложение 5. Элементы теории игр
§1. Предмет теории игр. Основные понятия. Некоторые виды игр
1.1. Предмет теории игр. На практике очень часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых участвуют две или более сторон, имеющие различные интересы, и обладающие возможностями применять для достижения
своих целей различные действия. Такие ситуации называются конфликтными
или просто конфликтами.
Типичный конфликт характеризуется тремя основными составляющими:
1) заинтересованными сторонами;
2) возможными действиями этих сторон;
3) интересами сторон.
Конфликтная ситуация из реальной жизни достаточно сложна и не поддаѐтся точному описанию. Тем более, что она осложняется мелочными обстоятельствами, которые на самом деле не оказывают сколь-нибудь влияния ни на
течение конфликта, ни на еѐ исход. Поэтому для анализа конфликтной ситуации необходимо отвлечение от второстепенных факторов, что позволяет построить упрощѐнную формализованную модель конфликта, которая называется
игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается ещѐ и тем, что ведѐтся по вполне определѐнным правилам. Необходимость изучения и анализа
конфликтов, представляемых в виде упрощѐнных математических моделей
(игр) привело к созданию теории игр.
1.2. Основные понятия. Заинтересованные стороны называются игроками. Любое возможное для игрока действие (в рамках заданных правил игры)
называется его стратегией. В условиях конфликта каждый игрок выбирает
свою стратегию, в результате чего складывается набор стратегий, называемых
ситуацией. Заинтересованность игроков в ситуации проявляется в том, что
каждому игроку в каждой ситуации приписывается число, выражающее степень
удовлетворения его интересов в этой ситуации и называемое его выигрышем в
ней.
1.3. Некоторые виды игр. Протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком своей стратегии и получении им в сложившейся ситуации выигрыша из некоторого источника. На этом пути создаѐтся теория игр с выигрышами.
Однако оценка игроком ситуации путѐм предположения о своѐм выигрыше не всегда возможна практически и даже не всегда имеет смысл.В подобных случаях иногда удаѐтся вместо прямых численных оценок ситуаций указы-
104
вать на их сравнительную предпочтительность для отдельных игроков. На этом
пути создаѐтся теория игр с предпочтениями, включающая в себя и теорию
игр с выигрышами.
См. также Состязательные задачи из Приложения 1, §3.
1.4. Дальнейшие понятия. Ситуация равновесия (равновесная ситуация) это ситуация, в нарушении которой не заинтересован ни один из игроков. В этой ситуации каждый из игроков получает наибольший из возможных
своих выигрышей.
§2. Матричные игры
2.1. Понятие матричной игры. Рассмотрим игру, в которой участвуют
два игрока, причѐм каждый из них имеет конечное число стратегий. Обозначим
одного игрока через A, другого через B.
Предположим, игрок A имеет m стратегий: A1, A2, …, Am, а игрок B n
стратегий: B1, B2, …, Bn.
Пусть игрок A выбрал стратегию Ai
, а игрок B стратегию Bj
. Будем считать, что выбор игроками стратегий Ai и Bj однозначно определяет исход игры
выигрыш aij игрока A и выигрыш bij игрока B. Тогда матрица A=(aij)mn называется матрицей выигрышей игрока A, а матрица B=(bij)mn матрицей выигрышей игрока B. Матрицы A и B ещѐ называются платѐжными матрицами.
Ясно, что в общем случае AB, и мы имеем дело с двумя платѐжными матрицами. Поэтому игра называется биматричной. Но если имеет место равенство
A=B (выигрыш одного игрока означает такой же проигрыш другого), то нам
достаточно знать одну матрицу. В этом случае игра называется матричной.
Ещѐ названия: игра mn или mn-игра.
2.2. Равновесная ситуация. Пусть имеется матричная игра с платѐжной
матрицей A=(aij)mn. Задача каждого из игроков найти наилучшую стратегию
игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый
из них делает всѐ, чтобы получить наибольший доход.
Найдѐм наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число aij в
каждой строке обозначим через i (i=1, 2, …, m):
i=min ij j
a .
Зная i
, то есть минимальные выигрыши при различных стратегиях Ai
,
первый игрок выберет ту стратегию, для которой i максимально. Обозначим
это максимальное значение через . Тогда
105
=maxmin ij i j
a .
Величина гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе первый игрок, называется нижней ценой игры (максимином).
Аналогично, для определения наилучшей стратегии второго игрока
найдѐм максимальные значения выигрыша по столбцам и, выбрав из них минимальное значение, получим
=minmax ij j i
a ,
где верхняя цена игры (минимакс).
Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии,
то он гарантирован, что в любом случае проиграет не больше .
Для матричной игры справедливо неравенство
.
Если =, то такая игра называется игрой с седловой точкой, а пара оптимальных стратегий (Aiопт, Bjопт) седловой точкой матрицы. В этом случае элемент
aij= называется ценой игры, является одновременно минимальным в i-й строке
и j-м столбце. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в
чистых стратегиях.
2.3. Смешанные стратегии. Если игра является игрой без седловой точки (то есть когда нижняя цена игры и верхняя цена игры не совпадают:
<), то при многократном повторении игры игроки свои стратегии могут применить так, чтобы в среднем каждый игрок получил определѐнный средний
фиксированный выигрыш. А именно, каждый игрок применяет свои стратегии
случайным образом с определѐнными вероятностями. Получается сложная
стратегия, называемая смешанной.
Пусть игрок А применяет свои стратегии A1, A2, …, Am соответственно с
вероятностями p1, p2, …, pm, а игрок B применяет свои стратегии B1, B2, …, Bn
соответственно с вероятностями q1, q2, …, qn. Тогда математическое ожидание
M(A, B)=
m
i
n
j
aij piq j
1 1
двумерной случайной величины (A, B) средний выигрыш игрока A. Обозначим его через V(A, P, Q). Попутно заметим, что
p1+p2+…+pm=q1+q2+…+qn=1.
Стратегии P
0
=(
0
1 p ,
0
2 p , …,
0
pm
) и Q
0
=(
0
1 q ,
0
2 q , …,
0
n q
) называются оптимальными (смешанными) стратегиями игроков А и B соответственно, если
выполнено следующее соотношение: V(A, P, Q
0
)V(A, P
0
, Q
0
)V(A, P
0
, Q). Ве-
106
личина =V(A, P
0
, Q
0
) называется ценой игры. Набор (P
0
, Q
0
, ) называется решением игры. Решить игру это значит найти еѐ решение.
Возникают два вопроса:
1) Какие матричные игры имеют решение в смешанных стратегиях?
2) Как находить решение матричной игры, если оно существует?
Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы:
Теорема 1. (Дж. фон Нейман). Для матричной игры с любой матрицей A
величины
max min
P Q
V(A, P, Q) и
min max
Q P
V(A, P, Q) существуют и равны между
собой:
V(A, P
0
, Q
0
)=max min
P Q
V(A, P, Q)=
minmax
Q P
V(A, P, Q).
Более того, существует хотя бы одна ситуация (P
0
, Q
0
) в смешанных
стратегиях, для которой выполняется соотношение
max min
P Q
V(A, P, Q)=minmax
Q P
V(A, P, Q).
Теорема 2. Пусть P
0
=(
0
1 p ,
0
2 p , …,
0
pm
) и Q
0
=(
0
1 q ,
0
2 q , …,
0
n q
) оптимальные стратегии и цена игры.
Оптимальная смешанная стратегия P
0
игрока A смешивается только из
тех чистых стратегий Ai
, i=1, 2, …, m (то есть только те вероятности pi
,
i=1, 2, …, m, могут быть отличны от нуля), для которых
0
1
n
ij j
j
a q
=.
Аналогично, только те вероятности qj могут быть отличны от нуля,
для которых
0
1
m
ij i
i
a p
=.
Имеют место соотношения
=
0
1
1
min
m
ij i k n i
a p
=
1
1
max min
m
ij i P j n i
a p
=
1
1
min max
n
ij j Q i m j
a q
=
0
1
1
max
n
ij j i m j
a q
=.
Последнее скопление равенств и питают методы построения решений
матричных игр.
2.4. Геометрический метод решения матричной игры.
1) Решение 2m-игры. Пусть
n
n
a a a
a a a
21 22 2
11 12 1
...
...
платѐжная матрица
2n-игры. Тогда игру можно решить геометрически. Достигается это следующим образом:
107
I этап (шаги 1 3). Определяются вероятности (p1, p2)=(p, 1p) применения первым игроком соответственно первой и второй своих стратегий:
1. На плоскости pOw проводятся прямые w=(a1ka2k)p+a2k, k=1, 2, …, n.
Получаем некоторое семейство прямых.
2. Проводится нижняя огибающая этих прямых.
3. Определяется верхняя точка (p
0
, w
0
) нижней огибающей. Еѐ абсцисса
p
0
и есть вероятность применения первым игроком своей первой стратегии:
p1=p
0
, а ордината цена игры: =w
0
. Тогда p2=1p
0
.
II этап (шаги 4, 5). Определяются вероятности q1, q2, …, qn применения
своих стратегий вторым игроком:
4. Пусть (p
0
, w
0
) (верхняя точка нижней огибающей) точка пересечения
i-й и j-й прямых, соответственно w=(a1ia2i)p+a2i и w=(a1ja2j)p+a2j
. Тогда qk=0
для всех k={1, 2, … n}\{i, j}, и можно положить qi=q, qj=1q.
5. Вероятности qi=q и qj=1q определяются из системы уравнений (точнее, только вероятность qi
, а по ней определяется qj)
(1 ) .
(1 ) ,
0
2 2
0
1 1
a q a q w
a q a q w
i j
i j
6. Выписываем ответ ((p
0
, 1p
0
), (0, …, 0, qi
, 0, …, 0, qj
, 0, …, 0), w
0
).
2) Решение m2-игры проводится по схеме, аналогичной схеме 2mигры с некоторыми своими особенностями. Они следующие:
1. Пусть
1 2
21 22
11 12
am am
a a
a a
платѐжная матрица m2-игры. Тогда события
«разворачиваются» на плоскости qOw вокруг прямых w=(ak1ak2)q+ak2, k=1, 2,
…, m.
2. Проводится верхняя огибающая этих прямых и определяется нижняя
точка (q
0
, w
0
) этой огибающей. Еѐ абсцисса q
0
вероятность применения вторым игроком своей первой стратегии: q1=q
0
, q2=1q
0
вероятность применения
второй стратегии, =w
0
цена игры.
3. Если прямые w=(ai1ai2)q+a i 2 и w=(aj1aj2)q+aj2 пересекаются в точке
(q
0
, w
0
) то qk=0 для всех k={1, 2, …, m}\{i, j}, и полагаем pi=q, pj=1p.
4. По системе
108
0
1 2
0
1 2
(1 )
(1 ) ,
a p a p w
a p a p w
j j
i i
определяем pi и pj
.
Не забываем сформулировать ответ ((0, …, 0, pi
, 0, …, 0, pj
, 0, …, 0), (q
0
,
1q
0
), w
0
).
П р и м е р 1 . Решить 24-игру с матрицей
2 2 3 2
4 3 2 6
.
Р е ш е н и е . Замечаем, что при сравнении первого и второго столбцов (то
есть при сравнении первого и второго стратегий второго игрока) второй более
выгоден для второго игрока, чем первый. Первому игроку, наоборот, первый
более выгоден, чем второй. Поэтому второй игрок, сравнивая свои первую и
вторую стратегии, будет предпочитать вторую (относительно первой), и
поэтому второй столбец можно исключить из матрицы:
2 3 2
4 2 6
.
I этап. Определяем вероятности применения первым игроком соответственно первой и второй своих стратегий:
1) Проводим прямые
(1) w=(42)p+2 w=2p+2
(2) w=(23)p+3 w=p+3
(3) w=(6(2))p2 w=8p2
2) Нижняя огибающая это угол
ABC
:
O
p
w
2
4
6
2
1
(1)
(2)
(3)
109
3) Верхняя точка этой огибающей это точка B. Это точка пересечения
прямых (2) и (3). Находим еѐ координаты:
p w
p w
8 2
3 ,
p+3=8p2 9p=5 p=
9
5
,
то есть p1=
9
5
, p2=1p=
9
4
, =w=
9
5
+3=
9
22
.
II этап. Определяем вероятности применения своих стратегий вторым
игроком:
3) B
,
9
5
9
22
верхняя точка нижней огибающей точка пересечения
второй и третьей прямых. Поэтому q1=0.
4) Вероятности q2=q и q3=1q определяем из системы уравнений
.
9
22 3 2(1 )
,
9
22 2 6(1 )
q q
q q
Имеем следующие равносильности:
.
9
22 3 2(1 )
,
9
22 2 6(1 )
q q
q q
2q+6(1q)=3q2(1q) 9q=8 q=
9
8
, q3=1q=
9
8
.
О т в е т :
,
9
4
,
9
5
,
9
1
,
9
8
0, 0,
9
22
(В исходной задаче у второго игрока
четыре стратегии. Поэтому в ответе учитываем все!)
C
B
A
O
p
w
2
4
6
2
1
(1)
(2)
(3)
110
П р и м е р 2. Найти решение 42-игры:
6 2
2 3
3 2
4 2
.
Р е ш е н и е . Так же, как и предыдущем примере, первому игроку
выгоднее применение первой стратегии по сравнению со второй. Поэтому
вторую строку исключаем из матрицы:
6 2
2 3
4 2
1) Стром прямые
(1) w=(42)q+2 w=2q+2
(2) w=(23)q+3 w=q+3
(3) w=(6(2))q2 w=8q2
2) Верхняя огибающая этих прямых это ломаная (ABCD):
O
q
w
2
4
6
2
1
(1)
(2)
(3)
D
C B
O
q
w
2
4
6
2
1
(1)
(2)
(3)
A
111
3) Нижняя точка этой огибающей это точка B. Это точка
пересечения прямых (1) и (2). Находим еѐ координаты:
q w
q w
3
2 2 ,
2q+2=q+3 3q=1 q=
3
1
,
то есть q1=
3
1
, q2=1q=
3
2
, =w=
3
8
.
4) B
,
3
1
3
8
нижняя точка верхней огибающей точка пересечения
первой и второй прямых. Поэтому p3=0.
5) Вероятности p1=p и p2=1p определяем из системы уравнений
.
3
8
2 3(1 )
,
3
8
4 2(1 )
p p
p p
Имеем следующие равносильности:
.
3
8
2 3(1 )
,
3
8
4 2(1 )
p p
p p
4p+2(1p)=2q+3(1p) 3q=1 p=
3
1
, p3=1p=
3
2
.
О т в е т :
, 0,
3
2
, 0,
3
1
,
3
2
,
3
1
3
8
(Снова ответ формулируем с учѐтом
того, что в исходной задаче у первого игрока четыре стратегии.)
2.5. Решение матричной игры сведением к задаче линейного
программирования. Пусть имеется матричная игра с платѐжной матрицей
A=(aij)mn (m и n произвольные). Еѐ можно свести к следующей паре симметричных двойственных задач:
x1+x2+…+xm min,
0 ( 1, 2, ..., ).
... 1,
... 1,
... 1,
1 1 2 2
1 2 1 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2 1
x i m
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
i
n n mn m
m m
m m
(5.1)
112
y1+y2+…+yn max,
0 ( 1, 2, ..., ).
... 1,
... 1,
... 1,
1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1
y j n
a y a y a y
a y a y a y
a y a y a y
j
m m mn n
n n
n n
(5.2)
Переменные xi и yj этих задач связаны с вероятностями pi и qj стратегий соответственно первого и второго игроков соотношениями
x1+x2+…+xm=y1+y2+…+yn=
1
(5.3)
pi=xi, (i=1, 2, …, m) (5.4)
qj=yj, (j=1, 2, …, n) (5.5)
Это означает, что для решения исходной матричной игры достаточно решить
задачи (5.1), (5.2), затем по формулам (5.3) (точнее, по одной из них, так как
здесь на самом деле две формулы) найти , и, наконец, по формулам (5.4) и
(5.5) найти pi (i=1, 2, …, m) и qj (j=1, 2, …, n).
З а м е ч а н и е . Для решения пары двойственных задач (5.1) и (5.2) достаточно поступить следующим образом: сначала решить одну из них, например
(5.2), и по еѐ решению Y
0
=(
0
1
y ,
0
2
y , …,
0
ym
) с применением второй теоремы
двойственности
( ... 1) 0
( ... 1) 0,
( ... 1) 0,
( ... 1) 0,
( ... 1) 0,
( ... 1) 0,
0 0
2 2
0
1 1
0
0
2
0
2 2 2
0
1 2 1
0
2
0
1
0
2 1 2
0
1 1 1
0
1
0 0
2 2
0
1 1
0
0
2
0
2 2 2
0
2 1 1
0
2
0
1
0
1 2 2
0
1 1 1
0
1
n n n mn m
m m
m m
m m m mn n
n n
n n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
x a y a y a y
x a y a y a y
x a y a y a y
найти решение X
0
=(
0
1 x ,
0
2 x , …,
0
xm
) задачи (5.1).
П р и м е р 3. Решить матричную игру сведением еѐ к задаче линейного
программирования с матрицей
3 4 5
4 3 2
6 3 1
.
113
Р е ш е н и е . 1) Составим пару (симметричных) двойственных задач:
x1+x2+x3 min, y1+y2+y3 max,
0 ( 1, 2, 3),
2 5 1,
3 3 4 1,
6 4 3 1,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x i
x x x
x x x
x x x
i
0 ( 1, 2, 3).
3 4 5 1,
4 3 2 1,
6 3 1,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
y j
y y y
y y y
y y y
j
2) Решим обе задачи, например, с использованием режима «Поиск
решений».
Решение первой и его сценарий следующие:
Таким образом, x1=0.066667, x2=0, x3=0.2,
1
=0.266667, откуда =3.75,
p1=x1=0.0666673.75=0.25, p2=x2=0=0, p3=x3=0.23.75=0.75. Таким образом,
P
0
=(0.25, 0, 0.75) оптимальная стратегия первого игрока.
Решение второй и его сценарий следующие:
114
Таким образом, y1=0.066667, y2=0.2, y3=0, q1=y1=0.0666673.75=0.25,
q2=y2=0.23.75=0.75, q3=y3=0=0. Таким образом, Q
0
=(0.25, 0.75, 0)
оптимальная стратегия второго игрока.
О т в е т : ((0.25, 0, 0.75), (0.25, 0.75, 0), 3.75).
3.1. Упражнения.
1. Решить геометрическим методом матричную игру с платѐжной матрицей: а)
3 4 1 5
1 2 4 2
; б)
6 3
4 3
2 5
5 2
.
2. Решить матричную игру сведением к задаче линейного программирования:
8 4 2
5 4 3
3 5 7
115
Приложение 6. Понятие о потоках в сетях и их оптимизации
1. Общая постановка задачи. Будем рассматривать ориентированный
граф как сеть труб, по которым некоторое вещество движется от истока (источника), где оно производится с некоторой постоянной скоростью, к стоку (приѐмнику). Где оно потребляется с той же скоростью. Вместо потоков вещества
можно рассматривать движение тока по проводам, деталей по конвейеру, потоки автомобилей в сети автострад, пересылки товаров по железной дороге (без
хранения их на промежуточных станциях), передачу информацию по линиям
связи или товаров от производителя к потребителю. Как и в задаче о кратчайших путях, которые мы рассматривали в курсе дискретной математики, поставим в соответствие каждой дуге графа неотрицательное действительное число.
Однако если раньше это число означало длину пути, то теперь оно может быть
шириной дороги или пропускной способностью трубы максимальной скоростью потока жидкости или газа в трубе. Мы считаем, что ни в одной вершине
графа вещество не накапливается сколько приходит, столько и уходит (если
вершина не является истоком или стоком). Последнее свойство называется законом сохранения потока. В частности, для электрического тока это свойство
является первым законом Кирхгофа.
Задача о максимальном потоке для данной сети состоит в следующем:
найти максимально возможную скорость производства (потребления) вещества,
при которой его ещѐ можно доставить от истока к стоку при данных пропускных способностях каналов доставки.
После точной математической формулировки этой задачи на языке теории графов мы рассмотрим классический метод еѐ решения метод ФордаФалкерсона.
2. Некоторые понятия. Уточнение постановки задачи. Назовѐм сетью
ориентированный граф G=(V, E), каждой дуге (u, v)E которого поставлено в
соответствие действительное число c(u, v)0, называемое пропускной способностью дуги. В случае (u, v)E мы полагаем c(u, v)=0. В графе G выделены две
вершины: исток s и сток t. Для простоты будем предполагать, что в графе G
нет «бесполезных» вершин (каждая вершина vV лежит на каком-то пути
svt из истока в сток). В таком случае граф G связен и |E||V|1.
Пусть дана сеть G=(V, E) с истоком s и стоком t, пропускная способность
которой задаѐтся функцией c. Потоком в сети G называется функция f:
VVR, обладающая следующими свойствами:
116
1
о
. Ограничение, связанное с пропускной способностью: f(u, v)c(u, v) для
всех u, vV.
2
о
. Кососимметричность: f(u, v)=f(v, u) для всех u, vV.
3
о
. Сохранение потока:
( , )
v V
f u v
=0 для всех u, vV\{s, t}.
Свойство 1о
означает, что поток из одной вершины в другую не превышает пропускной способности дуги. Величина f(u, v) может быть как положительной, так и отрицательной. Она определяет, сколько вещества движется из вершины u в вершину v. Свойство кососимметричности представляет собой соглашение о том, что отрицательные числа соответствуют потоку в обратную
сторону. Из него также следует, что f(u, u)=0 для любой вершины u.
Сумма
( , )
v V
f s v
(1)
называется величиной потока f. Она обозначается через |f|.
Заметим, что если вершины u и v не соединены дугой, то поток между
ними, то есть f(u, v), равен нулю. Действительно, если (u, v)E и (v, u)E, то
c(u, v)=c(v, u)=0. Тогда из первого свойства следует, что f(u, v)0 и f(v, u)0. По
свойству 2о
получим f(u, v)=f(v, u)=0.
Разделим вещество, поступающее в данную вершину v, и вещество, из неѐ
выходящее (то есть положительные и отрицательные значения f(u, v)). Сумму
( , ) 0
( , )
u V
f u v
f u v
(2)
назовѐм входящим (в вершину v) потоком. Исходящий определяется аналогично.
Теперь закон сохранения потока можно сформулировать так: для любой
вершины, кроме истока и стока, входящий поток равен исходящему потоку.
Задача о максимальном потоке после уточнения ставится следующим образом: для данной сети G с истоком s и стоком t найти поток максимальной
величины.
Задачу о максимальном потоке можно рассматривать и для случая нескольких истоков и стоков. Однако это не усложняет дела, так как такой вариант задачи можно в конечном счѐте свести к случаю одного истока и одного
стока.
3. Остаточные сети. Пусть дана сеть и поток в ней. Остаточная сеть
состоит из тех дуг, поток по которым можно увеличить. Строгое определение
таково:
117
Пусть G=(V, E) сеть с истоком s и стоком t. Пусть f поток в этой сети.
Рассмотрим для любой пары вершин u и v остаточную пропускную способность из вершины u в вершину v, задаваемую соотношением
cf(u, v)=c(u, v)f(u, v). (3)
Она определяет, сколько ещѐ потока можно направить из вершины u в вершину
v. Например, если c(u, v)=16, f(u, v)=11, то мы можем переслать ещѐ cf(u, v)=5
единиц по дуге (u, v). Остаточная пропускная способность cf(u, v) может превосходить c(u, v), если в данный момент поток f(u, v) отрицателен. Например,
если c(u, v)=16, а f(u, v)=4 , то cf(u, v)=20. В самом деле, мы можем увеличить
поток на 4, отменив встречный поток, и отправить ещѐ 16 единиц, не превышая
пропускной способности дуги (u, v).
Сеть Gf=(V, Ef), где Ef={(u, v)VV| cf(u, v)>0}, называется остаточной
сетью сети G, порождѐнной потоком f. Еѐ дуги, называемые остаточными дугами, допускают положительный поток. Заметим, что остаточная дуга (u, v) не
обязана быть дугой сети G. Иными словами, может оказаться, что EfE.
Рассмотрим пример потока f в сети G величины 19 и остаточную сеть Gf
(рис 6.1, а г).
v1
v2
v3
v4
s
t
11/16
8/13
12/12
15/20
7/7
1/6
4/9
11/14
10
4/4
a
12
5
v1
v2
v3
v4
s
t
5
8
12
5
7/7
3
5
11
11
11 4
3
15
4
б
118
На рисунке показаны только положительные значения f(u, v)>0; после косой черты стоит пропускная способность c(u, v) (а). Остаточная сеть Gf
. Жирными линиями выделен дополняющий путь p. Его остаточная пропускная способность cf(p) равна c(v2, v3)=4 (б). Результат добавления потока величины 4,
проходящего вдоль пути p (в). Остаточная сеть, порождѐнная потоком рис. в (г).
Дуг (v1, s) и (v2, v3) на рис.6.1, б в исходной сети не было. Такая дуга из
вершины u в вершину v появляется, когда f(u, v)<0, то есть тогда, когда имеется
поток вещества в обратном направлении (по дуге (v, u)) ведь этот поток можно уменьшить. Таким образом, если дуга (u, v) принадлежит остаточной сети,
то хотя бы одна из дуг (u, v) или (v, u) должна присутствовать в исходной сети.
Получаем оценку |Ef
|2|E|. Пропускную способность f остаточной сети Gf мы
полагаем равной cf
.
Лемма 1. (о соотношении потоков в исходной и остаточной сетях). Пусть
G=(V, E) сеть с истоком s и стоком t, а f поток в ней. Пусть Gf остаточная сеть сети G, порождѐнная потоком f. Пусть, кроме того, f поток в
остаточной сети Gf
. Тогда сумма f+f, определяемая как функция из декартова
v1
v2
v3
v4
s
t
11/16
12/13
12/12
19/20
7/7
1/4
9
11/14
10
4/4
в
5
v1
v2
v3
v4
s
t
5
8
12
1
7
3
9
11
11
11
3
19
4
г
Рис.6.1
119
квадрата VV во множество R действительных чисел по правилу (f+f)(u, v)=
f(u, v)+f(u, v) является потоком в сети G величины |f+f|=|f|+|f|.
4. Дополняющие пути. Пусть f поток в сети G=(V, E). Дополняющим
путѐм называется простой путь из истока s в сток t в остаточной сети Gf
. Из
определения остаточной сети вытекает, что по всем дугам (u, v) дополняющего
пути можно переслать ещѐ сколько-то вещества, не превысив их пропускную
способность. На рис.6.1, б один из дополняющих путей выделен жирными линиями. По нему можно отправить ещѐ 4 единицы потока, так как остаточная
пропускная способность дуг этого пути равна cf(v2, v3)=4.
Величина наибольшего потока, который можно переслать по дополняющему пути p, называется остаточной пропускной способностью пути p:
cf(p)=min{cf(u, v)| (u, v)p}.
Сказанное подтверждается следующей леммой:
Лемма 2. (об остаточной пропускной способности пути). Пусть f поток
в сети G=(V, E) и p дополняющий путь в остаточной сети Gf
. Определим
функцию fp: VVR следующим образом:
fp(u, v)=
( ), ( , ) ,
( ), ( , ) ,
0 .
f
f
c p u v p
c p u v p
если
если
в остальных случаях
(4)
Тогда fp поток в сети Gf и |fp|=cf(p)>0.
Теперь видно, что если добавить поток fp к потоку f, то получится поток в
сети G с большим значением. На рис.6.1, в изображѐн результат добавления потока fp (рис.6.1, б) к потоку f (рис.6.1, а).
Из лемм 1 и 2 следует утверждение: пусть f поток в сети G=(V, E) и p
дополняющий путь в остаточной сети Gf
. Рассмотрим поток fp, заданный
равенством (4). Тогда функция f=f+fp является потоком в сети G величины
|f|=|f|+|fp|>|f|.
5. Разрезы в сетях. По аналогии с разрезом неориентированного графа
введѐм понятие разреза сети.
Разрезом сети G=(V, E) называется разбиение множества V его вершин
на две части S и T=V\S, для которых sS и tT (то есть дуга (s, t) пересекает
разрез (S, T)).
Пропускной способностью разреза (S, T) называется сумма c(S, T) пропускных способностей пересекающих разрез дуг. Кроме того, для заданного
потока f величина потока через разрез (S, T) определяется суммой f(S, T) по пересекающим разрез дугам.
120
Минимальным разрезом называется разрез наименьшей пропускной способности среди всех разрезов данной сети.
Следующая лемма утверждает, что величины потоков через все разрезы
одинаковы (и равны величине потока).
Лемма 3. Пусть f поток в сети G с истоком s и стоком t, а (S, T)
разрез сети G. Тогда поток f(S, T) через разрез (S, T) равен |f|.
Следствие. Величина любого потока f в сети G не превосходит пропускной способности любого разреза сети G.
Теорема Форда-Фалкерсона. Пусть f поток в сети G=(V, E). Тогда
следующие утверждения равносильны:
1. Поток f максимален в сети G.
2. Остаточная сеть Gf не содержит дополняющих путей.
3. Для некоторого разреза (S, T) сети G выполняется равенство |f|=c(S,
T).
6. Метод Форда-Фалкерсона добавляет последовательно потоки по дополняющим путям, пока не получится максимальный поток. На каждом шаге
выбирается произвольный дополняющий путь p и увеличиваем поток f, добавляя поток величины cf(p) по пути p. Как следует из теоремы Форда-Фалкерсона,
величина потока максимальна тогда и только тогда, когда остаточная сеть не
содержит дополняющих путей. Алгоритм нахожждения максимального потока
в сети зависит от того, как ищется дополнительный путь p. В принципе алгоритм может вообще не остановиться. Если величина потока будет расти всѐ более мелкими шагами, так и не достигнув максимума. Однако если выбирать дополняющий путь при помощи метода поиска в ширину. То алгоритм будет выполняться за полиномиальное время.
121
Приложение 7. Элементы систем массового обслуживания
§1. Элементы теории случайных процессов
1.1. Понятие Марковского случайного процесса. Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S2, S3, … можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно
(скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным во времени. Это означает, что состояние
СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий
(например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).
Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы — марковский. Случайный процесс называется марковским или
случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Пример марковского процесса: система S — счетчик в такси. Состояние
системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t0 счетчик показывает S0. Вероятность того, что в момент t>t0 счетчик покажет то
или иное километров (точнее, соответствующее число рублей) S1, зависит от
S0, но не зависит от того, в какие моменты времени изменялисьпоказания счетчика до момента t0.
Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например,
процесс игры в шахматы; система S — группа шахмат-фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t0. Вероятность что в момент t>t0 материальный перевес будет на стороне
из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t0, а не того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t0.
122
В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто
пренебречь и применять для их изучения марковские модели.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно
пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний.
Обычно состояния системы изображают прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние.— стрелками (ориентированными
дугами), соединяющими состояния.
П р и м е р 1. Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт
узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.
Возможные состояния системы: S0 — оба узла исправны; S1 — первый
узел ремонтируется, второй исправен, S2 — второй узел ремонтируется, первый исправен; S0 — оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на следующем рисунке.
Стрелка, направленная, например, из S0 в S1 означает переход системы в момент отказа первого узла, из S1 в S0 в момент окончания ремонта этого узла.
На графе отсутствуют стрелки из S0 в S3 и из S1 в S2. Это объясняется тем,
что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и,
например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход
из S0 в S3) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S3 в
S0) можно пренебречь.
Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, познакомимся с одним из важных понятий теории вероятностей — понятием потока
событий.
1.2. Потоки событий. Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случай-
123
ные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток
отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).
Поток характеризуется интенсивностью — частотой появления событий
или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за
другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: (t)=. Например, поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но этот поток можно
считать стационарным в течение отдельных промежутков времени, скажем, в часы пик.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых
двух непересекающихся участков времени 1 и 2 — число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.
Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка,
уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).
Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на
малый (элементарный) участок времени t двух и более событий пренебрежимо
мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не
группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток
вагонов не ординарен.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.
Название «простейший» объясняется тем, что СМО с простейшими потоками
имеет наиболее простое математическое описание. Заметим, что регулярный поток не является «простейшим», так как он обладает последействием: моменты
появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.
Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных
процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при
124
наложении (суперпозиции) достаточно большого числа п независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям i
(i=1, 2, ..., п) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью ,
равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.
=
n
i
i
1
[Можно показать, что для простейшего потока число событий (точек), попадающих на произвольный временной участок , распределено по закону Пуассона
Pm()=
e
m
m
!
( )
, (1)
для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии: а=
2
=.
В частности, вероятность того, что за время не произойдет ни одного события (т=0), равна
P0()=
e , (2)
Найдем распределение интервала времени Т между произвольными двумя
соседними событиями простейшего потока.
В соответствии с (2) вероятность того, что на участке времени длиной t не
появится ни одного из последующих событий, равна
P(Т>t)=
e , (3)
а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения
случайной величины Т, есть
F(t)=P(Т<t)=1
e , (4)
Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции
распределения, то есть
(t)=F(t)=
e , (5)
Распределение, задаваемое плотностью вероятности (5) или функцией распределения (4), называется показательным (или экспоненциальным). Таким
образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями
имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание
равно среднему квадратическому отклонению случайной величины
а=
2
=
1
(6)
и обратно по величине интенсивности потока .
125
Важнейшее свойство показательного распределения (присущее только показательному распределению) состоит в следующем: если промежуток времени,
распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то
это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (Т):
он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т.
Другими словами, для интервала времени Т между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение,
любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на
закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона
представляет собой, в сущности, другую формулировку для «отсутствия последействия» — основного свойства простейшего потока.
Дня простейшего потока с интенсивностью вероятность попадания на
элементарный (малый) отрезок времени t хотя бы одного события потока равна
согласно (4)
Pt=P(Т<t)=1
t
e
t, (7)
1.3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояние. Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере случайного процесса из, в котором
мы изобразили граф. Будем полагать, что все переходы системы из состояния Si
в Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями ij (i, j=0, 1, 2, 3); так, переход системы из состояния S0 в S1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S1 в S0 — под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла
и т.п.
Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями
будем называть размеченным (см. рис.). Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: S0, S1, S2, S3.
Вероятностью i-го состояния называется вероятность pi(t) того, что в
момент t система будет находиться в состоянии Si
. Очевидно, что для любого
момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице:
3
0
( )
i
i p t
=1. (8)
Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток t, :найдѐм вероятность р0(t+t) того, что система в момент t+t будет находиться в состоянии
S0. Это достигается разными способами.
126
1. Система в момент t с вероятностью р0(t) находилась в состоянии S0, а за
время t не вышла из него.
Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис.) можно суммарным
простейшим потоком с интенсивностью (01+02), то есть в соответствии с (7), с
вероятностью, приближенно равной (01+02)t. А вероятность того, что система
не выйдет из состояния S0, равна [1(01+02)t]. Вероятность того, что система
будет находиться в состоянии S0 по первому способу (т.е. того, что находилась в
состоянии S0 и не выйдет из него за время t), равна по теореме умножения вероятностей: р0(t)[1(01+02)t].
2. Система в момент t с вероятностями р1(t) (или р2(t)) находилась в состоянии S1 или S2 и за время t перешла в состояние S0.
Потоком интенсивностью 10 (или 20 — см. рис.) система перейдет в состояние S0 с вероятностью, приближенно равной 10t (или 10t). Вероятность
того, что система будет находиться в состоянии S0 по этому способу, равна
р1(t)10t (или р2(t)20t).
Применяя теорему сложения вероятностей, получим
р0(t+t)=р1(t)10t+р2(t)20t+р0(t)[1(01+02)t],
откуда
t
p t t p t
( ) ( ) 0 0 =р1(t)10+р2(t)20(01+02)р0(t),
Переходя к пределу при t0 (приближенные равенства, связанные с
применением формулы (7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную
'
0 p
(t) (обозначим ее для простоты
'
0 p
):
'
0 p =10р1+20р2(01+02)р0,
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение,
содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.
Рассуждая аналогично для других состояний системы S можно получить
систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
( ) ,
( ) ,
( ) ,
( ) ,
3 1 3 1 2 3 2 3 1 3 2 3
2 0 2 0 3 2 3 2 0 2 3 2
1 0 1 0 3 1 3 1 0 1 3 1
0 1 0 1 2 0 2 0 1 0 2 0
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
(9)
127
Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова: В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой
части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут
стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков
событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему
из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).
В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа
уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8).
Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в
том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент t=0. Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент
оба узла исправны и система находилась в состоянии S0 т.е. при начальных условиях р0(0)=1, р1(0)=р2(0)=р3(0)=0.
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы
рi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t
, которые называются
предельными (или финальными) вероятностями состояний.
В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний
системы конечно и из каждого из них можно (за конечное шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.
Предельная вероятность состояния Si имеет четкий смысл: она называет
среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например,
если предельная вероятность состояния S0, т.е. р0=0,5, то это означает, что в
среднем половину времени система находится в состоянии р0.
Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в нениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с
графом состояния, изображенном выше, такая система уравнений имеет
( ) ,
( ) ,
( ) ,
( ) ,
3 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2
2 0 2 3 2 0 2 0 3 2 3
1 0 1 3 1 0 1 0 3 1 3
0 1 0 2 0 1 0 1 2 0 2
p p p
p p p
p p p
p p p
(10)
П р и м е р 2 . Найти предельные вероятности для системы S из примера 1,
граф состояний которой приведен на рис. выше, при 01=1, 02=2, 10=2, 13=2,
20=3, 23=1, 31=3, 32=2.
128
Р е ш е н и е . Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (10) или
1.
4 2 2 ,
4 3 ,
3 2 3 ,
0 1 2 3
2 0 3
1 0 3
0 1 2
p p p p
p p p
p p p
p p p
(11)
(Здесь мы вместо одного «лишнего» уравнения системы (10) записали
нормировочное условие (8)).
Решив систему (11), получим р0=0,40, р1=0,20, р2=0,27, р3=0,13, т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S0 (оба узла исправны), 20% — в состоянии S1 (первый узел
ремонтируется, второй работает), 27% — в состоянии S2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени — в состоянии S3 (оба узла ремонтируются).
1.4. Процесс гибели и размножения. В теории массового обслуживания
широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так
называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с
рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения
численности биологических популяций. Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на следующем рисунке.
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S0, S1, S2, …,
Sk. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с
соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы только либо в состояние Sk1, либо в состояние Sk+1.
Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам
графа, простейшие с соответствующими интенсивностями k, k+1 или k+1,k.
По графу, представленному выше, составим и решим алгебраические
уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает
из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности
числа состояний).
В соответствии с правилом составления таких уравнений получим: для состояния S0
S
0
S1 S
2
S
k
S
n
01
10
12
21
23
32
k, k1
k1, k
k, k+1
k+1, k
n1, n
n, n1
129
01р0=10р1, (12)
для состояния S1 — (12+10)р1=01р0+21р2, которое с учетом (12) приводится к виду
12р1=21р2. (13)
Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других
состояний, можно получить следующую систему уравнений:
,
...............................
,
...............................
,
,
1, 1 , 1
1, 1 , 1
1 2 1 2 1 2
0 1 0 1 0 1
n n n n n n
k k k k k k
p p
p p
p p
p p
(14)
к которой добавляется нормировочное условие
p0+p1+p2+…+pn=1. (15)
Решая систему (15.14), (15.15) можно получить
р0=
10
01 1
+
21 10
12 01
+…+
1
, 1 21 10
1, 12 01
...
...
n n
n n
, (16)
р1=
10
01
р0, р1=
21 10
12 01
р0, …, рn=
, 1 21 10
1, 12 01
...
...
n n
n n
р0 (17)
§2. Элементы систем массового обслуживания
2.1. Формулировка задачи и характеристики СМО. Часто приходится
сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов;
колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии
ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих
систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).
Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые
характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем
больше число обслуживающих единиц. Но экономически невыгодно иметь
лишние обслуживающие единицы.
130
В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации
наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.
Основными элементами СМО являются источники заявок, их входящий
поток, каналы обслуживания и выходящий поток.
В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:
1) системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания
заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;
2) системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.
Существуют и системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной
длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в
очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.
По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.
В зависимости от расположения источника требований системы могут быть
разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник
находится в самой системе).
Рассмотрим п-канальные разомкнутые СМО.
2.2. СМО с отказами. Заявка, поступившая в систему с отказами и
нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем качества обслуживания выступает вероятность получения
отказа. Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам,
входящий поток является простейшим, длительность (время) обслуживания одной заявки (tобс) распределена по показательному закону.
Формулы для расчѐта установившегося режима:
1. Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k=0):
P0=1/
n
k
k
k
0
/ !
2. Вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k=n):
Ротк=Рп=P0
/n!
n
3. Вероятность обслуживания:
Робс=1Ротк.
4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
131
n3 =Робс.
5. Доля каналов, занятых обслуживанием:
3 k =n3
/n.
6. Абсолютная пропускная способность СМО:
A=Робс.
2.3. СМО с неограниченным ожиданием.
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием и нашедшая
все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов.
Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время пребывания заявки в очереди).
Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, т.е. Ротк=0
и Робc=1.
Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:
1) обслуживание в порядке очереди по принципу «первым пришел — первым обслужен»;
2) случайное неорганизованное обслуживание по принципу «последний
пришел — первым обслужен»;
3) обслуживание с приоритетами по принципу «генералы и полковники
вне очереди».
Формулы для установившегося режима
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):
P0=1/
n
k
k n
k n n
0
1
/ ! / !( )
Предполагается, что /п <1.
2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок:
Рk=P0
/ k!
k
, 1kn.
3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов:
Рn=P0
/n!
n
.
4. Вероятность того, что заявка окажется в очереди:
Pоч=
!( )
1
n n
n
P0.
5. Среднее число заявок в очереди:
132
Lоч= 2
1
( 1)!( )
n n
n
P0.
6. Среднее время ожидания заявки в очереди:
оч t = Lоч
/.
7. Среднее время пребывания заявки в СМО:
смо t = оч t
+
обс t
8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
n3 =.
9. Среднее число свободных каналов:
nсв =nn3
10. Коэффициент занятости каналов обслуживания:
3 k =n3
/n.
11. Среднее число заявок в СМО:
z = Lоч
+
n3
.
2.4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему необслуженной.
Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.
Ограничения на длину очереди могут быть из-за:
1) ограничения сверху времени пребывания заявки в очереди;
2) ограничения сверху длины очереди;
3) ограничения общего времени пребывания заявки в системе.
Формулы для установившегося режима
1. Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k=0):
P0=1/
n
k
m
k n
n
k n n
0
1
/ ! / !( ) 1
.
2. Вероятность отказа в обслуживании:
Pотк= m
n m
n!n
P0.
3. Вероятность обслуживания:
Робс=1Ротк.
4. Абсолютная пропускная способность:
133
A=Робс.
5. Среднее число занятых каналов:
nз =
A
.
6. Среднее число заявок в очереди: г
Lоч=
n n
n
!
1
2
(1 / )
1 ( / ) ( 1 / )
n
n m m n
m
P0.
7. Среднее время ожидания обслуживания:
оч t = Lоч
/.
8. Среднее число заявок в системе:
z = Lоч
+
n3
.
9. Среднее время пребывания в системе:
смо t =
z
.
2.5. Примеры: определение эффективности использования трудовых и
производственных ресурсов в системах массового обслуживания
Рассмотрим задачу с использованием СМО с отказами.
П р и м е р 1. В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает
в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в
ОТК в течение 1чса, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того,
что деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и
сколько их необходимо, чтобы
* Робс
0,95.
Р е ш е н и е . По условию задачи =24 дет./ч =0,4 дет./мин,
обс t
=5 мин, тогда =0,2, =/ =2.
1. Вероятность простоя каналов обслуживания:
P0=
2 /0! 2 /1! 2 / 2! 2 /3!
1
0 1 2 3
=
1 2 2 1,3
1
=0,1587,
2. Вероятность отказа в обслуживании:
Pотк=2
3
0,1587/3!=0,21.
3. Вероятность обслуживания:
Робс=10,21=0,79.
4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
nз =20,79=1,58.
134
5. Доля каналов, занятых обслуживанием:
k3 =1,58/3=0,526.
6. Абсолютная пропускная способность:
А=0,40,79=0,316.
При п =3 Робс=0,79<
* Робс
=0,95. Произведя аналогичные расчеты для п=4,
получим
P0=0,14, Ротк=0,093, Робс=0,907.
Так как Робс=0,907
* Робс
=0,95, то произведя расчѐты для п=5, получим
Р0=0,137, Ротк=0,035, Робс=0,965
* Робс =0,95
О т в е т . Вероятность того, что при п=3 деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%. Чтобы
обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти
контролеров.
Рассмотрим задачу с использованием СМО с неограниченным ожиданием.
П р и м е р 2. Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров (п=3) для обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью
=30 чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром
одного вкладчика
обс t
=3 мин. Определить характеристики сберкассы как объекта
СМО.
Р е ш е н и е . Интенсивность потока обслуживания =1/
обс t
=1/3=0,333, интенсивность нагрузки =1,5.
1. Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня:
P0=
1,5 /0! 1,5 /1! 1,5 / 2! 1,5 /3! 1,5 /3!(3 1,5)
1
0 1 2 3 4
=0,210,
2. Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:
Рn=(1,53
/3!)0,21=0,118.
3. Вероятность очереди:
Pоч=
3!(3 1,5)
1,5
4
0,21=0,118.
4. Среднее число заявок в очереди:
Lоч= 2
4
(3 1)!(3 1,5)
1,5
0,21=0,236.
5. Среднее время ожидания заявки в очереди:
оч t =
0,5
0,236
=0,472 (мин).
135
6. Среднее время пребывания заявки в СМО:
смо t =0,472+3=3,472 (мин).
7. Среднее число свободных каналов:
nсв =31,5=1,5.
8. Коэффициент занятости каналов обслуживания:
k3 =1,5/3=0,5.
9. Среднее число посетителей в сберкассе:
z =0,236+1,5=1,736 чел.
О т в е т . Вероятность простоя контролѐров-кассиров равна 21% рабочего
времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее
число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями
обслуживания 0,472 мин.
Рассмотрим задачу с применением СМО с ожиданием и с ограниченной
длиной очереди.
П р и м е р 3. Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью =6 машин в
день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже
позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами
(т=2). В магазине работают три фасовщика (п=3), каждый из которых в среднем
может обрабатывать товар с одной машины в течение
обс t
=4 ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч. Определить, какова
должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была
* Робс
0,97.
Р е ш е н и е . Определим интенсивность загрузки фасовщиков:
=\ =6/3=2, , =1/
обс t
=112/4=3 авт./дн.
1. Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):
P0= =0,128
2. Вероятность отказа в обслуживании:
Pотк=Pn+m=0,128
2
3 2
3!3
2
=0,075.
3. Вероятность обслуживания:
Робс=10,075=0,925.
Так как Робс=0,925<
* Робс =0,97, то произведем аналогичные вычисления для
т=3, получим
136
P0=0,122, Pотк=0,048, Робс=0,952.
Так как Робс=0,952 <
* Робс
=0,97, примем т=4. Для этого случая
P0=0,12, Pотк=0,028, Робс=0,972,
0,972>0,97, емкость подсобных помещении необходимо увеличить до т=4.
Для достижения заданной вероятности обслуживания можно увеличивать
число фасовщиков, проводя последовательно вычисления СМО для п=4, 5 и т.д.
Задачу можно решить, увеличивая емкость подсобных помещений, число фасовщиков, уменьшая время обработки товаров.
Найдем остальные параметры СМО для рассчитанного случая при P0=0,12,
Pотк=0,028, Робс=0,972.
4. Абсолютная пропускная способность:
А=0,9726=5,832 авт./дн.
5. Среднее число занятых обслуживанием каналов (фасовщиков):
nз =5,832/3=1,944.
6. Среднее число заявок в очереди:
Lоч=
3! 3
2
4
2
(1 2/3)
1 (2/3) (4 1 4 2/3)
m
0,12=0,548.
7. Среднее время ожидания обслуживания:
оч t =
6
0,548
=0,09 (дн).
8. Среднее число машин в магазине:
z =0,548+1,944=2,492 (авт).
9. Среднее время пребывания машины в магазине:
смо t =
6
2,492
=0,415 (дн).
О т в е т . Емкость подсобных помещений магазина должна вмещать товар,
привезенный 4 автомашинами (т=4), при этом вероятность полной обработки
товара будет Робс=0,972.
137
Приложение 8. Образец оформления лабораторной работы
Кафедра Естественнонаучных дисциплин
Лабораторная работа №8
Решение транспортной задачи с применением среды Excel
Выполнил студент группы ИВТ-01-2
Иванов С.П.
_______________
Проверил
Профессор кафедры ЕН
Мухаметьянов И.Т.
138
1) Цель работы – Научиться применять компьютерную технику при решении транспортной задачи в режиме «Поиск решения».
2) Оборудование, приспособления, инструменты
1. Компьютеры.
2. Программная оболочка Excel.
3) Задание для выполнения: Решить следующую транспортную задачу в
режиме «Поиск решения»:
bj
ai
25 25 25 25
20 4 2 3 5
40 3 4 4 3
40 2 3 4 5
Р е ш е н и е . 1) Введѐм в ячейки В2:Е4 (от В2 до Е4) стоимости перевозок,
ячейки G2:J4 резервируем для переменных
x (i 1, 3, 3; j 1, 2, 3, 4)
ij
. Таким
образом, ячейка F1 будет целевой:
2) В ячейку F1 вводим целевую функцию:
«=» Кнопка «fx» СУММПРОИЗВ(В2:Е4, G2:J4).
После нажатия на ячейку «ОК» в ячейке F1 высветится 0.
3) В каждую из ячеек F2, F3, F4 вводим левые части ограничений по a1,
a2, a3:
139
«=» Кнопка «fx» СУММ(G2:J2),
«=» Кнопка «fx» СУММ(G3:J3),
«=» Кнопка «fx» СУММ(G4:J4).
В ячейках F2, F3, F4 высветится 0:
4) В каждую из ячеек G1, H1, I1, J1 вводим левые части ограничений по
b1, b2, b3, b4:
«=» Кнопка «fx» СУММ(G2:G4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(H2:H4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(I2:I4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(J2:J4).
В ячейках G1, H1, I1, J1 высветится 0:
5) Вызываем окно «Поиск решения» и устанавливаем необходимые параметры: «Установить целевую функцию», на «Минимум», «Изменяя ячейки
G2:J4», вводим ограничения. При этом правые части ограничений это запасы
поставщиков и потребности потребителей, то есть F2=20, F3=40, F4=40, G1=25,
H1=25, I1=25, J1=25:
140
6) Нажимаем на кнопку «Найти решение».
О т в е т : Матрица перевозок следующая:
25 7,5 7,5 0
0 0 15 25
0 17,5 2,5 0
. Минимальная стоимость перевозок составит 280 ден. единиц.
4) Выводы по лабораторной работе: Таким образом, мы научились
применять компьютерную технику при решении транспортной задачи в режиме
«Поиск решения».
141
Приложение 9. Задания для индивидуальных (контрольных работ)
Задание 1
Решить многокритериальную задачу геометрическим и аналитическим
методами:
, 0.
,
,
,
,
1 2
41 1 42 2 4
31 1 32 2 3
21 1 22 2 2
11 1 12 2 1
x x
a x a x b
a x a x b
a x a x b
a x a x b
L1=c1x1+ c2x2 max,
L2=d1x1+ d2x2 min,
№
в-та
знач.
aij
1, 11,
21
2, 12,
22
3, 13,
23
4, 14,
24
5, 15,
25
6, 16,
26
7, 17,
27
8, 18,
28
9, 19,
29
10,
20,
30
с1 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2
с2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1
d1 3 1 2 1 3 2 1 2 2 3
d2 2 2 2 3 1 3 2 3 2 2
a11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a21 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
a22 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
b2 32 32 32 24 32 32 24 24 24 24
a31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b3 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4
a41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b4 3 4 3 4 5 5 6 6 5 5
142
Задание 2
Найти оптимальные стратегии и цены игр, заданных платежными матрицами:
а)
21 22 23 24
11 12 13 14
a a a a
a a a a
; б)
41 42
31 32
21 22
11 12
a a
a a
a a
a a
.
Значения коэффициентов платежных матриц
№
в-та
знач.
aij
1, 14,
26
2, 18,
23
3, 15,
22
4, 11,
28
5, 13,
30
6, 19,
21
7, 17,
27
8, 12,
24
9, 16,
20
10,
29,
25
a11 3 4 2 5 4 4 3 4 3 2
a12 4 3 5 4 3 7 2 1 4 3
a13 5 2 3 3 6 7 5 3 4 5
a14 2 3 4 7 4 8 1 3 4 7
a21 7 5 3 4 5 9 4 2 2 4
a22 6 2 2 2 6 3 1 3 3 2
a23 4 6 5 5 4 4 3 5 4 3
a24 8 1 3 4 7 6 2 2 2 6
a31 4 3 4 3 2 5 5 1 5 3
a32 4 3 5 4 3 9 3 2 3 5
a41 3 1 3 3 2 6 2 3 4 2
a42 9 3 2 3 5 9 4 5 2 4
143
Задание 3
Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж товаров
на предстоящей ярмарке с учѐтом конъюнктуры рынка и спроса покупателей.
Получающиеся от возможных сочетаний показателей дохода представлены в
таблице. Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке.
Значения коэффициентов условия задачи
№
в-та
знач.
aij
1, 18,
16
2, 17,
25
3, 19,
30
4, 15,
20
5, 14,
22
6, 21,
27
7, 12,
28
8, 11,
26
9, 13,
29
10,
24,
23
a11 3 2 3 4 3 5 2 2 3 2
a12 5 4 4 3 2 3 3 1 2 4
a13 1 2 2 5 4 4 3 3 4 3
a21 1 1 1 6 5 2 4 4 5 3
a22 4 3 2 2 3 5 2 3 3 1
a23 3 5 4 3 2 2 1 1 2 4
a31 4 4 5 2 2 1 3 1 2 2
a32 2 2 3 5 5 1 2 4 5 3
a33 5 3 1 2 5 3 4 2 5 3
144
Задание 4
Контроль готовой продукции фирмы осуществляют A контролѐров. Если
изделие поступает на контроль, когда все контролѐры заняты проверкой готовой продукции, то оно остаѐтся непроверенным. Среднее число изделий, выпускаемой фирмой, составляет B изд./ч. Среднее время на проверку одного изделия С мин.
Определить вероятность того, что изделие пройдѐт проверку, насколько
загружены конролѐры, и сколько их необходимо поставить, чтобы
Pобс
D.
Значения коэффициентов условия задачи
№
варианта
Значения
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 3 4 5 6 3 5 4 2 3 5
B 20 22 25 30 18 28 24 14 16 26
C 7 6 5 8 6 4 3 5 6 7
D 0,97 0,98 0,96 0,97 0,98 0,96 0,98 0,97 0,96 0,98
№
варианта
Значения
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A 3 5 5 6 3 6 5 4 3 4
B 20 27 30 30 18 25 21 19 16 22
C 7 8 6 8 6 5 6 6 6 6
D 0,97 0,97 0,97 0,97 0,98 0,97 0,97 0,98 0,96 0,98
№
варианта
Значения
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
A 4 5 6 5 4 6 4 3 4 4
B 22 21 21 27 16 23 24 13 12 21
C 7 7 6 7 6 5 3 6 6 7
D 0,97 0,98 0,97 0,97 0,97 0,97 0,98 0,98 0,97 0,97
145
Задание 5
Приходная касса городского района с временем работы A часов в день
проводит приѐм от населения коммунальных услуг и различных платежей в
среднем от B человек в день.
В приходной кассе работают С операторов-кассиров. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента составляет D мин.
Определить характеристики работы приходной кассы как объекта СМО.
Значения коэффициентов условия задачи
№
варианта
Значения
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 11 10 10 9 8 9 8 11 7 7
B 200 220 250 300 250 280 240 250 240 260
C 2 2 3 3 4 4 3 3 2 4
D 4 3 4 3 4 3 2 2 5 5
№
варианта
Значения
11 12 13 4 5 16 17 18 9 20
A 11 11 12 9 8 10 9 10 7 7
B 200 210 230 300 250 270 250 260 240 240
C 2 3 4 3 4 3 4 4 2 5
D 4 3 5 3 4 4 2 3 5 6
№
варианта
Значения
21 22 23 24 25 26 7 28 29 30
A 10 12 9 11 10 8 8 10 9 7
B 210 200 200 290 220 290 240 230 200 260
C 3 3 2 2 5 3 3 2 3 4
D 6 4 4 4 3 4 2 4 4 5
146
Задание 6
На АЗС установлено A колонок для выдачи бензина. Около станции
находится площадка на B автомашин для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем С маш./ч. Среднее время заправки одной машины D мин.
Определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.
Значения коэффициентов условия задачи
№
варианта
Значения
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 3 2 3 3 2 4 3 2 3 3
B 2 3 1 3 3 2 4 2 2 2
C 15 10 20 30 25 20 35 15 20 30
D 2 3 4 3 2,5 3,5 3 2 2,5 3
№
варианта
Значения
11 12 13 4 5 16 17 18 9 20
A 3 3 3 3 2 3 4 3 3 3
B 2 3 2 3 3 2 4 2 2 3
C 15 11 22 30 25 21 32 18 20 25
D 2 4 5 3 2,5 3,6 4 3 2,5 4
№
варианта
Значения
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
A 3 3 2 3 4 4 3 2 4 3
B 3 4 2 4 3 3 4 4 3 2
C 19 15 20 33 30 00 35 55 25 30
D 5 4 3 4 3,5 4,5 3 2,5 4,5 3
147
Задание 7
Для производства двух изделий А и В предприятие использует три типа
технологического оборудования. Каждое изделие должно пройти обработку на
данном типе оборудования. Время обработки каждого из изделий, затраты, связанные с производством одного изделия, даны в таблице.
Оборудование 1-го и 3-го типов предприятие может использовать не менее b1 и b3 ч соответственно, оборудование 2-го типа не более b2 ч.
Определить, сколько изделий изготовить предприятию, чтобы средняя
себестоимость одного изделия была минимальной.
Тип оборудования
Затраты времени на обработку
одного изделия, ч
А В
1
2
3
a11
a21
a31
a12
a22
a32
Затраты на производство одного
зделия, тыс. р
c1 c1
Значения коэффициентов условия задачи
№ в-та
Знач
-я
1, 20 2, 19 3, 18 4, 17 5, 16 6, 15 7, 14 8, 13 9, 12
10,
11
c1 1 3 1 4 1 2 5 3 2 5
c2 2 1 4 2 3 4 3 4 5 2
a11 12 12 7 8 8 8 4 11 16 12
a12 4 1 4 3 6 10 8 1 4 6
b1 48 12 28 24 48 80 32 11 32 70
a21 10 10 5 1 6 12 9 4 7 8
a22 5 4 10 9 6 5 1 6 5 9
b2 50 40 45 5 54 72 45 24 35 72
a31 1 5 2 2 8 3 10 1 2 1
a32 1 8 11 8 1 14 2 10 7 10
b3 6 30 22 16 8 42 20 10 14 12
148
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермский национальный исследовательский
политехнический университет»
Лысьвенский филиал
Кафедра Естественнонаучных дисциплин
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
«Исследование операций и методы оптимизации систем»
основной образовательной программы подготовки бакалавров
по направлению «09.03.01 Информатика и вычислительная техника»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по организации, выполнению и контролю
самостоятельной работы студентов
Лысьва 2016 г.
2Разработчик-составитель Мухаметьянов И.Т., к. ф.-м. н, доцент
Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры
__________________________ « ___» __________2016 г, протокол № ____.
3
Содержание
Содержание...........................................................................................................................3
1. Общие положения.......................................................................................................4
2. Виды самостоятельной работы студентов по дисциплине ..........................................6
3. Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов по темам
дисциплины......................................................................................................................................7
Тема 1. Введение ..................................................................................................................7
Тема 2. Общая методология исследования операций ......................................................9
Тема 3. Задача линейного программирования. Типовые задачи линейного
программирования. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования 10
Тема 4. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования ...................11
Тема 5. Метод искусственного базиса .............................................................................13
Тема 6. Теория двойственности........................................................................................14
Тема 7. Целочисленная задача линейного программирования .....................................16
Тема 8. Транспортная задача ............................................................................................18
Тема 9. Сведение некоторых задач нелинейного программирования к задаче
линейного программирования ......................................................................................................20
Тема 10. Постановка задачи векторной оптимизации и принципиальные подходы к
еѐ решению.....................................................................................................................................21
Тема 11. Основные понятия теории игр. Некоторые виды игр. ....................................24
Тема 12. Матричная игра. Игра с седловой точкой. Смешанные стратегии................25
Тема 13. Геометрическое решение игры 2n и m2 .......................................................26
Тема 14. Решение матричной игры в общем случае сведением к задаче линейного
программирования.........................................................................................................................27
Тема 15. Потки в сетях и их оптимизация .......................................................................28
Тема 16. Элементы теории случайных процессов ..........................................................29
Тема 17. Основные виды систем массового обслуживания и вычисление их
характеристик.................................................................................................................................30
Список рекомендуемой литературы.................................................................................31
Приложение 1. Основы системного анализа и исследования операций ......................32
Приложение 2. Решение некоторых задач линейного программирования с
использованием оболочки Excel...................................................................................................84
Приложение 3. Сведение задачи дробно-линейного программирования к задаче
линейного программирования ......................................................................................................91
Приложение 4. Сведение многоцелевой задачи линейного программирования к
одноцелевой....................................................................................................................................93
Приложение 5. Элементы теории игр ............................................................................103
Приложение 6. Понятие о потоках в сетях и их оптимизации ....................................115
Приложение 7. Элементы систем массового обслуживания .......................................121
Приложение 8. Образец оформления лабораторной работы.......................................137
Приложение 8. Задания для индивидуальных (контрольных работ)..........................141
4
1. Общие положения
Цель дисциплины формирование знаний в области исследования
операций и методов оптимизации систем.
В процессе изучения данной дисциплины студент осваивает следующие
компетенции:
Общекультурных:
способность разрабатывать бизнес-планы и технические задания на
оснащение отделов, лабораторий, офисов компьютерным и сетевым оборудованием (ОПК-3);
Профессиональных:
способность обосновывать принимаемые проектные решения, осуществлять постановку и выполнять эксперименты по проверке их корректность и эффективность (ПК-3).
Задачи дисциплины:
овладеть знаниями теоретических основ линейного программирования (включая целочисленное программирование, транспортную задачу), векторной оптимизации, теории матричных игр, систем массового обслуживания;
приобрести практические навыки в решении задач линейного программирования методом искусственного базиса, целочисленного программирования методом Гомори, транспортной задачи методом потенциалов, матричных игр геометрическим методом и сведением к задаче линейного программирования, в расчѐтах основных характеристик систем массового обслуживания;
освоить указанные в предыдущем пункте методы.
Место дисциплины в структуре профессиональной подготовки выпускников.
Дисциплина «Исследование операций и методы оптимизации систем»
относится к дисциплинам Вариативной части Блока 1 (Б1). Дисциплины (модули) и является обязательной при освоении ОПОП по направлению подготовки 09.03.01 Информатика и вычислительная техника, профиль Вычислительные машины, комплексы, системы и сети.
Обязательные предшествующие дисциплины «Инженерная графика».
Знания, полученные при изучении дисциплины «Исследование операций и методы оптимизации систем», необходимы при изучении дисциплин «Операционные системы», «Сети и телекоммуникации», «Теория вероятностей, матема-
5
тическая статистика и случайные процессы», «Управление программными
проектами», «Научно-исследовательская работа».
После изучения дисциплины обучающийся должен демонстрировать
следующие результаты:
Знать:
линейное программирование;
основы теории матричных игр;
основы векторной оптимизации;
потоки в сетях;
основы теории систем массового обслуживания.
Уметь:
применять методы исследования операций и методов оптимизации
систем в своей профессиональной деятельности;
применять вычислительную технику в реализации методов исследования операций и методов оптимизации систем;
оптимизировать потоки в сетях;
вычислять основные характеристики систем массового обслуживания.
Владеть:
методами линейного программирования (методом искусственного
базиса, методами решения задач целочисленного программирования, транспортной задачи);
теоремами двойственности;
методами сведения задач нелинейного программирования к задаче
линейного программирования;
методами сведения многоцелевой задачи линейного программирования к обычной задаче линейного программирования;
методами сведения матричной игры к задаче линейного программирования.
Предметом освоения дисциплины являются следующие объекты:
методология системного анализа;
линейное программирование;
векторная оптимизация;
теория игр;
системы массового обслуживания.
6
2. Виды самостоятельной работы студентов по дисциплине
Таблица 2.1. – Виды самостоятельной работы студентов дневной формы обучения
Номер темы
дисциплины
Вид самостоятельной работы студентов Трудоѐмкость,
часов
1 2 3
1
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
-
-
2
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
1
-
3
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
2
2
4
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
2
2
5
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
1
2
6
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка ответов по лабораторным работам
1
1
3
7
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
1
1
8
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
3
4
9
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
1
2
10
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
2
2
11
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
-
-
12
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
-
-
13
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
-
1
14
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
2
2
15
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
1
1
3
16
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
-
-
17
Изучение теоретического материала
Подготовка к аудиторным занятиям
Подготовка отчетов по лабораторным работам
2
2
2
Итого:
в ч / в ЗЕ
72/2
7
3. Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов по темам дисциплины
Тема 1. Введение
1. Вопросы для подготовки:
1. Место системного анализа и исследования операций (СА и ИСО) в современной науке и практике. Предмет и задачи дисциплины СА и ИСО.
2. История развития СА и ИСО. Роль СА и ИСО в решении задач автоматизации обработки информации, планирования и управления.
3. Определение системы. Виды систем: физические и абстрактные системы.
4. Различные подходы к классификации систем.
5. Виды систем: естественные и искусственные системы. Свойства систем.
6. Взаимодействие системы с окружающей средой.
7. Понятия поведения и сложности как признаки классификации.
2. Справочные материалы:
[1], §1. Введение в системный анализ
Место системного анализа и исследования операций (СА и ИСО) в современной науке и практике. Предмет и задачи дисциплины СА и ИСО. История развития СА и ИСО. Роль СА и ИСО в решении задач автоматизации обработки информации, планирования и управления.
§2. Основы системного анализа
Определение системы. Физические и абстрактные системы. Макроскопическая и микроскопическая точки зрения на поведение систем. Естественные и искусственные системы. Свойства системы. Взаимодействие системы с
окружающей средой. Управляемые системы и их особенности. Понятие кибернетики. Понятия поведения и сложности как признаки классификации.
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое системные исследования?
2. Назовите три основные причины системных исследований.
3. Приведите краткую история развития СА и ИСО. Какова роль СА и
ИСО в решении задач автоматизации обработки информации, планирования и
управления?
4. Что такое системные исследования?
8
5. Назовите три основных причин системных исследований.
6. Приведите краткую история развития СА и ИСО. Какова роль СА и
ИСО в решении задач автоматизации обработки информации, планирования и
управления?
7. Приведите определение системы. Раскройте содержание терминов
объекты, связи, свойства в определении системы.
8. Чем различаются физические и абстрактные системы? Приведите
примеры каждого вида упомянутых систем.
9. Как соотносятся система и окружающая еѐ среда?
10. Чем отличаются макроскопический микроскопический подходы к
изучению систем? Приведите примеры таких подходов.
11. Перечислите макроскопические свойства систем.
12. Виды систем: естественные и искусственные системы. Свойства систем.
13. Понятия поведения и сложности как признаки классификации.
9
Тема 2. Общая методология исследования операций
1. Вопросы для подготовки:
1. Основные понятия и особенности исследования операций.
2. Этапы операционного исследования и их содержание. Критерий оптимальности.
3. Математическая модель ИСО, их виды.
4. Классы операционных задач: задачи управления запасами, задачи
распределения, задачи массового обслуживания, задачи выбора маршрута,
задачи замены, задачи упорядочения, задачи сетевого планирования и управления, состязательные задачи, задачи поиска.
2. Справочные материалы
[1], §3. Основы исследования операций
Основные понятия и особенности исследования операций. Этапы операционного исследования и их содержание. Критерий оптимальности. Виды
математических моделей ИСО. Классы операционных задач. Резюме.
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте одно из определений исследования операций.
2. Что в себя включает понятие операция?
3. Перечислите основные особенности ИСО и раскройте их содержание.
4. Перечислите этапы операционного исследования и раскройте их содержание.
5. Что такое критерий оптимальности и какие требования к нему предъявляются?
3. Что такое математическая модель ИСО? Какие их виды вы знаете?
4. Перечислите наиболее характерные классы операционных задач.
5. Охарактеризуйте каждый из наиболее характерных классов операционных задач.
10
Тема 3. Задача линейного программирования. Типовые задачи
линейного программирования. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
1) Подготовка к лабораторной работе №1:
1. Вопросы для подготовки
1. Задача линейного программирования (ЗЛП).
2. Типовые задачи линейного программирования.
3. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
3. Справочные материалы
[2], Глава I. Начала линейного программирования.
§1. Задача линейного программирования. Типичные задачи линейного
программирования, их математические модели.
1.1. Задача линейного программирования
1.2. Типичные ЗЛП и их математические модели
§2. Общая ЗЛП. Канонический вид ЗЛП
2.1. Общая ЗЛП
§3. Теоретические основы решения ЗЛП. Геометрическая интерпретация
ЗЛП. Идея аналитического решения
3.1. Теоретические основы решения ЗЛП
3.2. Геометрическая интерпретация ЗЛП
[3], Приложение 2.
§1. Решение задачи линейного программирования в оболочке Excel.
1.1. Применение режима «Поиск решения».
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку ЗЛП.
2. Сформулируйте постановки типовых ЗЛП и их математические модели.
3. В чѐм заключается геометрический метод решения ЗЛП?
4. Как решается ЗЛП в среде Excel в режиме «Поиск решения»?
3. В чѐм заключается метод искусственного базиса решения ЗЛП?
11
Тема 4. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
1) Подготовка к практическому занятию №1:
1. Вопросы для подготовки
1. Задача линейного программирования (ЗЛП).
2. Симплекс-метод решения ЗЛП.
3. Справочные материалы
[1], Глава I. Начала линейного программирования.
§1. Задача линейного программирования. Типичные задачи линейного
программирования, их математические модели.
1.1 . Задача линейного программирования
1.2. Типичные ЗЛП и их математические модели
§2. Общая ЗЛП. Канонический вид ЗЛП
2.1. Общая ЗЛП
2.2. Канонический вид ЗЛП
§3. Теоретические основы решения ЗЛП. Геометрическая интерпретация
ЗЛП. Идея аналитического решения
3.1. Теоретические основы решения ЗЛП
3.5. Теоретические основы решения ЗЛП (продолжение)
§4. Симплекс-метод решения ЗЛП
4.1. Алгоритм симплекс-метода
4.2. Симплекс-таблицы
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку ЗЛП.
2. В чѐм заключается симплекс-метод решения ЗЛП?
2) Подготовка к лабораторной работе №2:
1. Выполнение домашнего задания:
1. Решить Задание ЛП-1 индивидуальной работы ([1], Приложение 1).
2. Решить ЗЛП упражнения 1.3.1ж), з) симплекс-методом.
2. Вопросы для подготовки
1. Задача линейного программирования (ЗЛП).
2. Симплекс-метод решения ЗЛП.
12
3. Справочные материалы
[1], Глава I. Начала линейного программирования.
§1. Задача линейного программирования. Типичные задачи линейного
программирования, их математические модели.
1.1 . Задача линейного программирования
1.2. Типичные ЗЛП и их математические модели
§2. Общая ЗЛП. Канонический вид ЗЛП
2.1. Общая ЗЛП
2.2. Канонический вид ЗЛП
§3. Теоретические основы решения ЗЛП. Геометрическая интерпретация
ЗЛП. Идея аналитического решения
3.1. Теоретические основы решения ЗЛП
3.5. Теоретические основы решения ЗЛП (продолжение)
§4. Симплекс-метод решения ЗЛП
4.1. Алгоритм симплекс-метода
4.2. Симплекс-таблицы
[3], Приложение 2.
§1. Решение задачи линейного программирования в оболочке Excel.
1.2. Реализация симплекс-метода в оболочке Excel.
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку ЗЛП.
2. В чѐм заключается симплекс-метод решения ЗЛП?
13
Тема 5. Метод искусственного базиса
1) Подготовка к лабораторной работе №3:
1. Вопросы для подготовки
1. Задача линейного программирования (ЗЛП).
2. Симплекс-метод решения ЗЛП.
3. Метод искусственного базиса.
3. Справочные материалы
[2], Глава I. Начала линейного программирования.
§1. Задача линейного программирования. Типичные задачи линейного
программирования, их математические модели.
1.1 . Задача линейного программирования
1.2. Типичные ЗЛП и их математические модели
§2. Общая ЗЛП. Канонический вид ЗЛП
2.1. Общая ЗЛП
2.2. Канонический вид ЗЛП
§3. Теоретические основы решения ЗЛП. Геометрическая интерпретация
ЗЛП. Идея аналитического решения
3.1. Теоретические основы решения ЗЛП
3.5. Теоретические основы решения ЗЛП (продолжение)
§4. Симплекс-метод решения ЗЛП
4.1. Алгоритм симплекс-метода
4.2. Симплекс-таблицы
§5. Метод искусственного базиса
5.1. Суть метода искусственного базиса
[3], Приложение 2.
§1. Решение задачи линейного программирования в оболочке Excel.
1.2. Реализация симплекс-метода в оболочке Excel.
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку ЗЛП.
2. В чѐм заключается симплекс-метод решения ЗЛП?
3. В чѐм заключается метод искусственного базиса решения ЗЛП?
14
Тема 6. Теория двойственности
1) Подготовка к практическому занятию №2:
1. Выполнение домашнего задания:
1. Решить ЗЛП упражнения 1.3.1ж) ([2], Глава I) методом искусственного базиса.
2. Решить Задание ЛП-2.1б) и Задание ЛП-3 индивидуальной работы
([2], Приложение 1).
2. Вопросы для подготовки
1. Пара симметричных двойственных задач
2 Пара несимметричных двойственных задач
3. Теоремы двойственности
3. Справочные материалы
[2], Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача
§1. Теория двойственности
1.1. Задача, приводящая к паре двойственных задач
1.2. Пара симметричных двойственных задач
1.3. Пара несимметричных двойственных задач
1.4. Теоремы двойственности
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте свойства пары двойственных задач. Чем отличается
пара симметричных от пары несимметричных двойственных задач?
2. Сформулируйте теоремы двойственности.
2) Подготовка к лабораторной работе №4:
1. Выполнение домашнего задания:
1. Решить Задание ЛП-2.1б) и Задание ЛП-3 индивидуальной работы
([2], Приложение 1).
2. К ЗЛП упражнения 1.3.1ж), з) Главы I составить двойственную и
найти еѐ решение по решению исходной.
2. Вопросы для подготовки
1. Пара симметричных двойственных задач
15
2 Пара несимметричных двойственных задач
3. Теоремы двойственности
3. Справочные материалы
[2], Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача
§1. Теория двойственности
1.1. Задача, приводящая к паре двойственных задач
1.2. Пара симметричных двойственных задач
1.3. Пара несимметричных двойственных задач
1.4. Теоремы двойственности
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте свойства пары двойственных задач. Чем отличается
пара симметричных от пары несимметричных двойственных задач?
2. Сформулируйте теоремы двойственности.
16
Тема 7. Целочисленная задача линейного программирования
1) Подготовка к лабораторной работе №1:
1. Задание для самостоятельного решения:
1. К ЗЛП упражнения 1.3.1ж), з) Главы I составить двойственную и
найти еѐ решение по решению исходной.
2. Решить Задание ЛП-2.2) индивидуальной работы относительно двойственности ([2], Приложение 1).
2. Вопросы для подготовки
1. Реализация симплекс-метода в оболочке Excel
2. Постановка целочисленной задачи линейного программирования
3. Геометрическая интерпретация целочисленной задачи линейного программирования
4. Метод Гомори
3. Справочные материалы
[2], Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача
§2. Элементы целочисленного программирования
2.1. Постановка и геометрическая интерпретация
2.2. Метод Гомори
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Как реализуется симплекс-метод в оболочке Excel?
2. В чѐм заключается задача целочисленного программирования?
3. Как решается задача целочисленного программирования в режиме
«Поиск решения»?
4. В чѐм заключается метод Гомори?
17
2) Подготовка к лабораторной работе №2:
1. Задание для самостоятельного решения:
1. Решение упражнения 2.3.2а) из [2] оформить, взяв за образец оформления разобранный в Приложении 1 пример.
2. Приложить распечатку сценария решения в режиме «Поиск решения».
2. Вопросы для подготовки: см. Подготовка к лабораторной работе
№1
3. Справочные материалы: см. Подготовка к лабораторной работе
№1
4. Задание для самостоятельной проработки:
1. Решение примера индивидуального задания (Задание ЛП-5, [2])
оформить, взяв за образец оформления пример в Приложении 7.
2. Приложить распечатку сценария решения в режиме «Поиск решения».
5. Вопросы для самоконтроля: см. Подготовка к лабораторной работе №1
18
Тема 8. Транспортная задача
1) Подготовка к практическому занятию №3:
1. Вопросы для подготовки:
1. Постановка транспортной задачи.
2. Сведение задачи открытого типа к задаче закрытого типа.
3. Построение первоначального опорного плана методами северозападного угла и наименьших затрат.
3. Справочные материалы:
[2], Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача
§3. Транспортная задача
3.1. Постановка и математическая модель транспортной задачи
3.2. Теоретические основы решения транспортной задачи
3.3. Алгоритм метода потенциалов.
3.4. Сведение задачи открытого типа к задаче закрытого типа.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулировать постановку транспортной задачи.
2. Сформулировать математическую модель транспортной задачи.
3. Чем отличается задача открытого типа от задачи закрытого типа?
4. В чѐм заключается метод северо-западного угла построения первоначального опорного плана?
5. В чѐм заключается метод наименьших затрат построения первоначального опорного плана?
2) Подготовка к практическому занятию №4:
1. Задание для самостоятельного решения:
1. Построить первоначальный опорный план задач упражнения 3.5.3)
методами северо-западного угла и наименьших затрат.
2. Вопросы для подготовки:
1. Помеченный цикл и сдвиг по нему.
2. Критерий оптимальности опорного плана транспортной задачи.
3. Нахождение потенциалов.
4. Алгоритм метода потенциалов.
19
3. Справочные материалы:
[2], Глава II. Двойственность и целочисленность в линейном программировании. Транспортная задача
§3. Транспортная задача
3.2. Теоретические основы решения транспортной задачи
3.3. Алгоритм метода потенциалов.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое помеченный цикл и сдвиг по циклу?
2. Что такое потенциалы и как они находятся.
3. Сформулировать условие оптимальности транспортной задачи.
4. Сформулировать алгоритм метода потенциалов.
3) Подготовка к лабораторной работе №4:
1. Задание для самостоятельного решения:
1. Решить упражнение 3.5.3).
2. Решить Задание ЛП-6 индивидуальной работы ([2], Приложение 1).
2. Вопросы для подготовки:
См. Подготовка к практическим занятиям №3 и 4, а также:
1. Особенность применения встроенных функций СУММПРОИЗВ() и
СУММ() при вводе данных транспортной задачи
2. Нахождение решения транспортной задачи режиме «Поиск решения»
3. Справочные материалы:
См. Подготовка к практическому занятию №3 и 4, а также:
[4], Приложение 3.
4. Вопросы для самоконтроля:
См. Подготовка к практическому занятию №3 и 4, а также
1. В чѐм особенность применения встроенных функций СУММПРОИЗВ() и СУММ() при вводе данных транспортной задачи?
2. Как находится решение транспортной задачи режиме «Поиск решения»?
20
Тема 9. Сведение некоторых задач нелинейного программирования к задаче линейного программирования
1) Подготовка к практическому занятию №3:
1. Вопросы для подготовки
1. Постановка задачи дробно-линейного программирования
2. Математическая модель задачи дробно-линейного программирования
3. Сведение задачи дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
4. Нахождение решения исходной задачи дробно-линейного программирования по решению вспомогательной задачи линейного программирования
3. Справочные материалы
[3], Приложение 2.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. В чѐм заключается задача дробно-линейного программирования?
2. Написать математическую модель задачи дробно-линейного программирования.
3. Как сводится задача дробно-линейного программирования к задаче
линейного программирования?
4. Как находится решение исходной задачи дробно-линейного программирования по решению вспомогательной задачи линейного программирования?
21
Тема 10. Постановка задачи векторной оптимизации и принципиальные подходы к еѐ решению
1) Подготовка к практическому занятию №4:
1. Вопросы для подготовки:
1. Постановка задачи векторной оптимизации
2. Принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации
3. Метод введения дополнительной переменной (сведение к задаче линейного программирования)
2. Справочные материалы:
[5], §1. Постановка задачи векторной оптимизации и принципиальные
подходы к еѐ решению
1.1. Постановка задачи векторной оптимизации
1.2. Принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации
§2. Многоцелевая задача линейного программирования
2.1. Постановка многоцелевой задачи линейного программирования
2.2. Метод идеальной точки
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку задачи векторной оптимизации
2. Какие принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации вы знаете?
3. В чѐм заключается метод идеальной точки (геометрический метод)?
4. В чѐм заключается метод введения дополнительной переменной (сведения к задаче линейного программирования)?
22
Тема 10. Многоцелевая задача линейного программирования
1. Вопросы для подготовки:
1. Постановка задачи векторной оптимизации
2. Принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации
2. Справочные материалы:
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку задачи векторной оптимизации
2. Какие принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации вы знаете?
3. В чѐм заключается метод идеальной точки (геометрический метод)?
2) Подготовка к практическому занятию №6:
1. Вопросы для подготовки:
1. Постановка задачи векторной оптимизации
2. Постановка многоцелевой задачи линейного программирования
2. Справочные материалы:
[3], §1. Постановка задачи векторной оптимизации и принципиальные
подходы к еѐ решению
1.1. Постановка задачи векторной оптимизации
§2. Многоцелевая задача линейного программирования
2.1. Постановка многоцелевой задачи линейного программирования
2.3. Метод введения дополнительной переменной
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте постановку задачи векторной оптимизации
2. Какие принципиальные подходы к решению задачи векторной оптимизации вы знаете?
3. В чѐм заключается метод идеальной точки (геометрический метод)?
3) Подготовка к лабораторной работе №5:
1. Задание для самостоятельного решения:
1. Решить Задание 1 индивидуальной работы из [3], Приложение А.
23
2. Вопросы для подготовки:
См. Подготовка к практическим занятиям №5 и 6.
3. Справочные материалы:
См. Подготовка к практическому занятию №5 и 6.
4. Вопросы для самоконтроля:
См. Подготовка к практическому занятию №5 и 6.
24
Тема 11. Основные понятия теории игр. Некоторые виды игр.
1. Вопросы для подготовки:
1. Предмет теории игр. Основные понятия
2. Некоторые виды игр
3. Справочные материалы:
[3], §1. Предмет теории игр. Основные понятия. Некоторые виды игр
1.1. Предмет теории игр.
1.2. Основные понятия.
1.3. Некоторые виды игр.
1.4. Дальнейшие понятия.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Что изучает теория игр?
2. Что такое конфликт (с точки зрения теории игр), игрок, стратегия, игровая ситуация, выигрыш, равновесная ситуация, чистые и смешанные стратегии, матричная игра.
3. Какие виды игр вы знаете?
25
Тема 12. Матричная игра. Игра с седловой точкой. Смешанные
стратегии
1. Вопросы для подготовки:
1. Матричная игра.
2. Равновесная ситуация.
3. Смешанные стратегии.
4. Теоремы Дж. фон Неймана и об оптимальных смешанных стратегиях
игроков.
2. Справочные материалы:
[3], §2. Матричные игры
2.1. Понятие матричной игры
2.2. Равновесная ситуация.
2.3. Смешанные стратегии.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое матрица выигрышей игроков?
2. Чем отличается матричная игра от биматричной?
3. Что такое нижняя и верхняя цена игры, игра с седловой точкой, седловая точка, цена игры в игре с седловой точкой?
4. Что такое игра без седловой точки, смешанная стратегия?
5. Что такое оптимальная смешанная стратегия игроков, цена игры?
6. Что такое решение игры и что значит решить игру?
7. Сформулируйте теорему Дж. фон Неймана.
8. Сформулируйте теорему об оптимальных смешанных стратегиях игроков.
26
Тема 13. Геометрическое решение игры 2n и m2
1) Подготовка к практическому занятию №7:
1. Вопросы для подготовки:
1. Матричная игра.
3. Смешанные стратегии.
4. Теоремы Дж. фон Неймана и об оптимальных смешанных стратегиях
игроков.
5. Геометрический метод решения матричной игры
2. Справочные материалы:
[3], §2. Матричные игры
2.1. Понятие матричной игры
2.2. Равновесная ситуация.
2.3. Смешанные стратегии.
2.4. Геометрический метод решения матричной игры
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое матрица выигрышей игроков?
2. Чем отличается матричная игра от биматричной?
3. Что такое игра без седловой точки, смешанная стратегия?
4. Что такое оптимальная смешанная стратегия игроков, цена игры?
5. Что такое решение игры и что значит решить игру?
6. Сформулируйте теорему Дж. фон Неймана.
7. Сформулируйте теорему об оптимальных смешанных стратегиях игроков.
8. В чѐм заключается геометрический метод решения матричной игры?
2) Подготовка к лабораторным работам №6 и 7:
1. Задания для самостоятельного решения:
1. Решить Задание 2 индивидуальной работы ([8], Приложение 8).
2. Вопросы для подготовки см. Подготовка к практическому занятию №7.
3. Справочные материалы см. Подготовка к практическому занятию №7
4. Вопросы для самоконтроля см. Подготовка к практическому занятию №7
27
Тема 14. Решение матричной игры в общем случае сведением к
задаче линейного программирования
1) Подготовка к практическому занятию №8:
1. Вопросы для подготовки:
1. Матричная игра.
2. Смешанные стратегии.
3. Теоремы Дж. фон Неймана и об оптимальных смешанных стратегиях
игроков.
4. Решение матричной игры сведением к задаче линейного
программирования
2. Справочные материалы:
[3], §2. Матричные игры
2.1. Понятие матричной игры
2.3. Смешанные стратегии.
2.5. Решение матричной игры сведением к задаче линейного
программирования
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое матрица выигрышей игроков?
2. Чем отличается матричная игра от биматричной?
3. Что такое игра без седловой точки, смешанная стратегия?
4. Что такое оптимальная смешанная стратегия игроков, цена игры?
5. Что такое решение игры и что значит решить игру?
6. Сформулируйте теорему Дж. фон Неймана.
7. Сформулируйте теорему об оптимальных смешанных стратегиях игроков.
8. Как сводится матричная игра к задаче линейного программирования?
9. Как с помощью решения задачи линейного программирования находится решение матричной игры?
2) Подготовка к лабораторной работе №8:
1. Задания для самостоятельного решения:
1. Решить Задание 3 индивидуальной работы ([3], Приложение 8).
2. Вопросы для подготовки см. Подготовка к практическому занятию №7.
3. Справочные материалы см. Подготовка к практическому занятию №7
4. Вопросы для самоконтроля см. Подготовка к практическому занятию №8
28
Тема 15. Потки в сетях и их оптимизация
1. Вопросы для подготовки:
1. Понятие Марковского случайного процесса.
2. Потоки событий.
3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояние.
4. Процесс гибели и размножения.
3. Справочные материалы:
[7], §1. Элементы теории случайных процессов
1.1. Понятие Марковского случайного процесса.
1.2. Потоки событий.
1.3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояние.
1.4. Процесс гибели и размножения.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое марковский случайный процесс? Что такое граф состояний?
2. Что такое поток событий?
3. Раскройте понятия: регулярный поток событий, стационарный поток
событий, поток событий без последствия, ординарный поток событий,простейший поток событий.
4. Сформулируйте правило составления уравнений Колмогорова.
5. Опишите процесс гибели и размножения.
29
Тема 16. Элементы теории случайных процессов
1. Вопросы для подготовки:
1. Понятие Марковского случайного процесса.
2. Потоки событий.
3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояние.
4. Процесс гибели и размножения.
3. Справочные материалы:
[7], §1. Элементы теории случайных процессов
1.1. Понятие Марковского случайного процесса.
1.2. Потоки событий.
1.3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояние.
1.4. Процесс гибели и размножения.
4. Вопросы для самоконтроля:
1. Что такое марковский случайный процесс? Что такое граф состояний?
2. Что такое поток событий?
3. Раскройте понятия: регулярный поток событий, стационарный поток
событий, поток событий без последствия, ординарный поток событий,простейший поток событий.
4. Сформулируйте правило составления уравнений Колмогорова.
5. Опишите процесс гибели и размножения.
30
Тема 17. Основные виды систем массового обслуживания и вычисление их характеристик
1) Подготовка к практическому занятию №9:
1. Вопросы для подготовки:
1. Формулировка задачи и характеристики СМО
2. СМО с отказами
3. СМО с неограниченным ожиданием
4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
2. Справочные материалы:
[7], §2. Элементы систем массового обслуживания
2.1. Формулировка задачи и характеристики СМО
2.2. СМО с отказами
2.3. СМО с неограниченным ожиданием
2.4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
3. Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте задачу характеристики СМО.
2. Назовите основные элементы СМО.
3. Какие основные виды СМО вы знаете? Чем они отличаются друг от
друга?
4. Перечислите основные характеристики каждого вида СМО и приведите формулы для их рассчѐта.
2) Подготовка к лабораторной работе №9:
1. Задания для самостоятельного решения:
1. Разобрать пример 1 3 из §3.
2. Решить Задания 4 6 индивидуальной работы ([8], Приложение 8).
2. Вопросы для подготовки: см. Подготовка к практическому занятию №9
3. Справочные материалы: см. Подготовка к практическому занятию №9
4. Вопросы для самоконтроля: см. Подготовка к практическому занятию №9
31
Список рекомендуемой литературы
1. Приложение 1. Основы системного анализа и исследовании операций
(см. данное пособие).
2. Мухаметьянов И.Т. Методические материалы к изучению дисциплин
«Методы оптимизации», «Методы оптимальных решений», «Системный анализ и управление», «Исследование операций и методы оптимизации систем».
Раздел «Линейное программирование». Лысьва: Изд-во Лысьвенского филиала Пермского национального исследовательского политехнического ун-та,
2015. 153 с.
3. Приложение 2. Решение некоторых задач линейного программирования с использование оболочки Excel (см. данное пособие).
4. Приложение 3. Сведение задачи дробно-линейного программирования
к задаче линейного программирования (см. данное пособие).
5. Приложение 4. Элементы векторной оптимизации (см. данное пособие).
6. Приложение 5. Элементы теории игр (см. данное пособие).
7. Приложение 6. Элементы систем массового обслуживания (см. данное
пособие).
8. Приложение 7. Задания для индивидуальных (контрольных работ) (см.
данное пособие).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Антонов А.В. Системный анализ: учебник. – М.: Высшая школа, 2004.
2. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций: учебник. М.:
Изд-во МГТУ, 2002.
3. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики: учебник. М.: ИНФРА-М, 2006
4. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учебное пособие.
М.: ЮНИТИ, 2001
32
Приложение 1. Основы системного анализа и исследования операций
§1. Введение в системный анализ.
Место системного анализа и исследования операций (СА и ИСО) в современной
науке и практике. Предмет и задачи дисциплины СА и ИСО. История развития СА и
ИСО. Роль СА и ИСО в решении задач автоматизации обработки информации, планирования и управления.
Подход к объектам исследования как к системам выражает одну из главных особенностей современного научного познания. В пользу объективности
сказанного можно привести многочисленные попытки построения новых подходов к изучению сложных объектов, характерные для науки XX в., среди которых видное место занимает общая теория систем, впервые сформулированная в виде специальной концепции Л. фон Берталанфи.
Значение системных исследований и проблематики общей теории систем
объясняется тремя основными причинами.
Во-первых, большинство традиционных научных дисциплин: биология,
психология, лингвистика, социология, логика и т. д.— в последнее время существенно трансформировали предметы своего рассмотрения, в качестве которых
теперь обычно выступают множества взаимосвязанных элементов, представляющих собой целостные образования (системы и структуры).
Во-вторых, технический прогресс, внедрение автоматизации привели к
тому, что главными объектами современного технического проектирования и
конструирования оказались системы управления (большие системы), которые
по своей структуре и процессу создания выступают в виде типичных образцов
системных объектов. Поэтому следует отметить возникновение целого комплекса новых дисциплин, таких, как кибернетика, теория информации, распознавание образов, эвристическое программирование, бионика и т. д., основная
задача которых — исследование систем различного типа.
Наконец, в-третьих, широкое внедрение в науку и технику задач системного анализа и связанных с этим методологических трудностей привело к появлению ряда обобщенных концепций, стремящихся построить «общую теорию
систем», «системную науку», создать «методологию системного анализа» и т.
д.
Системные исследования — это совокупность научных и технических
проблем, которые при всей их специфике и разнообразии сходны в понимании
33
и рассмотрении исследуемых объектов с точки зрения систем, выступающих
как единое целое. Соответственно системный подход — это эксплицитное выражение процедур представления систем и способов исследования объектов
(описания, объяснения, предвидения, конструирования и т. д.). И общая теория
систем — междисциплинарная область научных исследований, в задачи которой входит: разработка обобщенных моделей систем; построение логикометодологического аппарата описания функционирования и поведения системных объектов; создание обобщенных теорий систем разного типа, включая теории динамики систем, их целенаправленного поведения, исторического развития, иерархического строения, процессов управления в системах и т. д.
Одной из первых наук, в которой объекты исследования рассматривались
как системы, была биология. В классической биологии основными единицами
анализа были организм и биологический вид. При этом высшим обобщением
явилась эволюционная теория, объясняющая происхождение и развитие видов.
Однако сама эволюционная теория, поставив вопрос о механизмах эволюции, в
частности о механизмах наследственности и изменчивости, вплотную подвела к
необходимости более широкого понимания процессов жизни. Такое понимание
начало формироваться в двух основных направлениях. Во-первых, произошло
расширение сферы исследований за пределы организма, что нашло выражение
в формировании и развитии учения о биоценозах и биогеоценозах. Во-вторых, в
биологии организма внимание исследователей все более перемещалось от отдельных процессов к их взаимодействию. Было обнаружено, что основные
сложные проявления жизни, долго не находившие объяснения с позиций прежних методологических принципов, связаны с внутренним взаимодействием, организованностью. Это — саморегуляция и регенерация, генетический и физиологический гомеостазис и т. д. Проникновение в биологию идей кибернетики
способствовало оформлению этих представлений, все более группировавшихся
вокруг понятия «система». Стало ясно, что эволюцию нельзя понять вне развернутых представлений об организованности и, следовательно, задачи существенного дополнения и обогащения эволюционного подхода. Поиски путей
решения задачи привели к формированию системного подхода в биологии, получившего различные конкретные воплощения в работах В. И. Вернадского, Л.
фон Берталанфи, У. Росс Эшби, Н. А. Бернштейна и других советских и зарубежных исследователей.
Системные идеи сравнительно давно получили распространение и в некоторых психологических концепциях, среди которых первой была гештальтпсихология, выступившая против психологического атомизма, сведения пси-
34
хических феноменов к их физиологической основе и поставившая во главу угла
целостность психических структур. С этого времени структурный подход к
психической деятельности фактически получил всеобщее признание, стал
неотъемлемой частью современной психологии.
С системными идеями теснейшим образом связана и общая теория знаковых систем. К настоящему времени сложились обособленные лингвистическая,
логическая, психологическая и социологическая трактовки знака, каждая из которых опирается на специфические способы подхода к знаковым системам (как
языковая система, система значений и логических связей, орудие мышления,
средство коммуникации) и использует вытекающие отсюда методы анализа.
Принципиальная задача семиотики (общая теория знаковых систем) состоит в
синтезировании этих подходов.
Системная направленность исследований пробивает себе дорогу и в ряде
других областей современной науки. Среди них прежде всего следует упомянуть кибернетику, в которой понятие «система» одно из основных. Решаемые
кибернетикой задачи информационного моделирования функций живых организмов, исследования по бионике, развитие теории самоорганизующихся систем, приложения кибернетики к социальным исследованиям и др.— все это
связано с постановкой и решением системных задач. Принципы системноструктурного анализа все шире проникают в науку об обществе, в науки о Земле, в языкознание и т. д.
Помимо науки, не менее важной сферой внедрения в общественное сознание идей системного подхода является современная техника. Научнотехническая революция уже существенно изменила исходные принципы конструирования современных технических систем, для которых характерны:
большие масштабы по числу частей, объему выполняемых функций, абсолютной стоимости и т. д.; наличие определенной целостности, функционального
единства (общей цели, назначения и т. д.), что приводит к сложному иерархическому строению; сложность поведения; высокая степень автоматизации, означающая, в частности, повышение степени самостоятельности системы в ее поведении; нерегулярное, статистически распределяемое во времени поступление
внешних воздействий; наличие в целом ряде случаев «состязательного» момента, т. е. такого функционирования системы, при котором необходимо учитывать
конкуренцию отдельных частей системы. Эти системы получили название
больших систем, например, системы управления уличным движением в городах, железнодорожным и другими сообщениями, автоматические системы об-
35
работки научной и иной информации, автоматизированные системы управления и т. д.
Разработка и конструирование указанных систем внесли существенные
изменения в общие методы технического мышления: системный подход стал
рассматриваться как важнейший компонент современной техники. Единство
технической системы, подчинение изделия системе, стратегия поведения системы, системность в проектировании и т. д.— вот исходные установки новых
методов технического мышления.
Наконец, организация производства — третий источник современных системных представлений. Гигантское возрастание сложности технических объектов привело к тому, что в процессе их конструирования оказываются связанными в единое целое тысячи предприятий, сотни тысяч исполнителей. В результате наряду и даже задолго до создания самой технической системы складывается и живет по своим законам другая, неразрывно связанная с ней система
— система по созданию системы.
Из этой краткой характеристики основных направлений становления системного подхода нетрудно убедиться, что в каждом случае задачи системного
анализа весьма специфичны. Тем не менее определенные моменты указывают
на существенную общность перечисленных направлений разработок в науке,
технике и организации производства. Именно эта общность и позволяет говорить о системном подходе как о некоторой особой и внутренне единой исследовательской позиции.
Исследование систем началось примерно в одно и то же время (на рубеже
XIX—XX вв.) в различных областях знания. Исторически получилось так, что в
относительной независимости друг от друга сложились и существуют три
крупных методологических направления, связанных с изучением системных
объектов: структурно-функциональный анализ, структурализм и системный
подход. Структурно-функциональный анализ возник в социологии, которая до
сих пор остается основной областью его применения. Структурализм зародился в лингвистике, а затем распространился на антропологию, искусствоведение,
историю и некоторые другие гуманитарные дисциплины. Системный подход
поначалу развивался на естественнонаучной базе (главным образом, в биологии), затем, после второй мировой войны, пережил второе рождение в современной технике, а в последнее время внедряется и в социальные науки.
Системный подход характеризует стремление к наибольшей общности и
универсальности выдвигаемых методологических принципов, и не случайно
36
теорию систем (в широком смысле слова) до последнего времени нередко ставят в один ряд с кибернетикой.
Постановка широкого круга системных задач привела к идее обобщенного рассмотрения системного подхода в науке середины XX в.
Первый развернутый вариант «общей теории систем» был сформулирован Л. фон Берталанфи вскоре после второй мировой войны. Основная задача
этой концепции состояла в том, чтобы опираясь на понимание системы в виде
комплекса взаимосвязанных компонентов, найти совокупность законов, объясняющих поведение, функционирование и развитие систем разных классов.
Концепция Л. фон Берталанфи появилась и развивалась в весьма благоприятной для постановки системных идей обстановке: все шире в современную
науку проникали конкретные методы исследования разнообразных объектов
как систем, именно в этот период возник ряд теоретических концепций (например, кибернетика и примыкающий к ней цикл научных дисциплин), занимающихся анализом систем разной сложности и природы. Вполне естественно, что
теория Л. фон Берталанфи оказалась тесно связанной с этими дисциплинами,
установилось их плодотворное научное воздействие друг на друга, что создало
условие для быстрого роста разнообразных вариантов общесистемного подхода. Поэтому возникло множество подходов к построению теории систем.
Для большинства современных общесистемных подходов характерно сохранение первоначальных задач «общей теории систем» в том виде, как они
были сформулированы Л. фон Берталакфи. Произошли лишь вполне естественные уточнения, а иногда и расширения постановок исходных задач (включение
проблем системотехники, акцентирование внимания на целенаправленном поведении систем и т. д). Вместе с тем существенно расширилось понимание конкретных областей объектов, для описания которых строятся обобщенные (в той
или иной степени) системные концепции. Так, наряду с биологическими и, более широко, поведенческими объектами — исключительной областью интересов «общей теории систем» Берталанфи — подвергаются анализу объекты физической природы, различного рода формальные системы, современные технические системы управления. Идеи теории систем начинают использовать для
прогнозирования развития науки и техники.
Важные изменения произошли и в аппарате исследования, использующем
различные варианты системного анализа. Кроме систем дифференциальных
уравнений, теперь для построения общей теории систем используются абстрактная алгебра, теория множеств, математическая логика, методы исследований операций и т. д.
37
Наконец, современный этап развития концепций системного исследования характеризуется глубокой дифференциацией подходов к построению системного анализа. Наряду с продолжающимися попытками создания достаточно обобщенных системных теорий появилось множество работ, посвященных
системным аспектам отдельных научных дисциплин. Эта сфера системного исследования наиболее обширна, все остальные области системной науки в конечном счете предназначены для ее обслуживания. В данной области системного исследования наиболее оперативно создаются и широко внедряются в научную практику конкретные методы и приемы системного анализа и именно
здесь получены наиболее важные результаты.
§2. Основы системного анализа
Определение системы. Физические и абстрактные системы. Макроскопическая и
микроскопическая точки зрения на поведение систем. Естественные и искусственные
системы. Свойства системы. Взаимодействие системы с окружающей средой. Управляемые системы и их особенности. Понятие кибернетики. Понятия поведения и сложности как признаки классификации.
В общем случае под системой понимается наличие множества объектов с
набором связей между ними и между их свойствами, т. е. все, состоящее из связанных друг с другом частей, называется системой. При такой трактовке системами являются: машина, собранная из деталей и узлов; живой организм, образуемый совокупностью клеток; предприятие, объединяющее и связывающее в
единое целое множество производственных процессов, коллективов людей,
различные виды ресурсов, готовую продукцию и пр.
При этом объекты (части) функционируют во времени как единое целое
— каждый объект, подсистема, ячейка работают ради единой цели, стоящей перед системой в целом.
Следовательно, особенность системного подхода состоит в том, что в допустимых границах система управления объектом исследуется как единый организм с учетом внутренних связей между отдельными элементами и внешних
связей с другими системами и объектами.
Рассмотрим подробнее входящие в определение системы термины: «объекты», «связи» и «свойства».
Объекты — суть просто части или компоненты системы, причем имеется
неограниченное множество таких частей. Большинство интересующих нас систем состоит из физических частей: атомов, звезд, переключателей, масс, пружин, электронных и полупроводниковых приборов, костей, нейронов, генов,
38
мышц, газов и т. д. Принимаются за объекты и математические переменные,
уравнения, правила и законы, технологические процессы, производственные
подразделения, станки и т. д.
Свойства — есть качества параметров объектов. Качества — это внешние проявления того способа, с помощью которого получается знание об объекте, ведется за ним наблюдение или которым объект вводится в процесс. Свойства дают возможность описывать объекты системы количественно, выражая
их в единицах, имеющих определенную размерность. Свойства объектов могут
изменяться в результате действия системы.
Связи — это то, что соединяет объекты и свойства в системном процессе
в целое. Предполагается, что связи существуют между всеми системными элементами, между системами и подсистемами. Связями первого порядка называются связи, функционально необходимые друг другу. Дополнительные связи
называются связями второго порядка. Если они присутствуют, то в значительной степени улучшают действие системы, но не являются функционально необходимыми. Излишние или противоречивые связи называются связями третьего порядка.
Исследователь, решающий проблему, сам принимает решение какие связи существенны, а какие тривиальны, т. е. вопрос о тривиальности оказывается
связанным с личными интересами исследователя и задачами, которые стоят перед ним.
Физические и абстрактные системы. Физические системы состоят из
изделий, оборудования, машин и вообще из естественных или искусственных
объектов. Этим системам можно противопоставить абстрактные системы. В
последних свойства объектов, существующие только в уме исследователя,
представляют символы. Идеи, планы, гипотезы и понятия, находящиеся в процессе исследования, могут быть описаны как абстрактные системы.
Рассмотрим прежде всего систему, части которой — пружина, груз с некоторой массой и твердая поверхность, предположим потолок. Вообще говоря,
эти компоненты не связаны друг с другом (за исключением искусственных логических отношений, как, например, то, что они находятся в одной комнате).
Однако стоит прикрепить пружину к потолку и повесить на нее груз, как между
ними появятся особые отношения (в смысле физической связанности), которые
дадут начало весьма интересной системе. В частности, возникают новые связи
между свойствами данных частей. Длина пружины, расстояние груза от потолка, упругие свойства пружины и размер груза — все это находится в некоторых
связях друг с другом. Такая система статична, ее свойства не изменяются со
39
временем. Задав начальное отклонение от положения равновесия, получим
определенное значение скорости движения груза, зависящее от размеров массы
и упругих свойств пружины. Положение массы будет меняться во времени. В
этом случае имеем дело с динамической системой.
Более сложный пример — радиосистема с высокой точностью воспроизведения. В ней гораздо больше частей, но для простоты выделим следующие:
диск и звукосниматель проигрывателя, усилитель, громкоговоритель и ящик.
Как и в первом случае, не связанные друг с другом части не образуют системы.
Но если связи установлены, т. е. электрическая связь идет от входа к выходу, то
части системы и их свойства находятся в таких отношениях друг к другу, что
изменение системы на каком-то участке зависит от изменений на других участках, например, механические вибрации в громкоговорителе связаны с силой тока и напряжением в усилителе.
Система, не имеющая физической природы,— система уравнений действительных переменных. Наиболее очевидное свойство действительной переменной — ее числовое значение; другими словами, в этом случае объект и
свойство связаны друг с другом теснейшим образом (в любом случае объект в
конечном счете определяется его свойствами). Связи между переменными
обычно формулируются в виде уравнений. Для большей конкретности рассмотрим переменные х1 и х2, удовлетворяющие двум линейным уравнениям:
.
,
1 1 2 2 2
1 1 2 2 1
b x b x c
a x a x c
(1.1)
Эти уравнения связывают переменные: вместе они образуют систему линейных уравнений, частями которой являются переменные х1 и х2. Отношения
между ними определяются константами и ограничениями, наложенными одновременно на все данные величины. Система уравнений (1.1) может рассматриваться как статическая по аналогии с системой «пружина — груз». Это аналогия объясняется тем, что числа, которые удовлетворяют уравнениям, фиксированы точно так же, как заданная длина пружины в механическом примере.
С другой стороны, введение времени t дает, например, уравнения следующего вида:
.
,
1 1 2 2
2
1 1 2 2
1
b x b x
dt
dx
a x a x
dt
dx
(1.2)
40
Систему (2) можно назвать динамической (продолжая аналогию с системой «пружина — груз»). В этом случае решение уравнений — функция времени (длина пружины в динамической системе).
Термины «статический» и «динамический» всегда относятся к системам,
уравнения которых представляют абстрактные модели реальных ситуаций. Абстрактные математические и (или) логические отношения сами по себе никогда
не зависят от времени.
Два рассмотренных примера дают представление о методе абстракции и
моделирования.
Для изучения физической системы ее заменяют абстрактной системой с
теми же отношениями, и задача становится чисто математической. Нетрудно
показать, что такого рода аналогия имеет место и в динамическом случае, но
тогда физическая система представляется системой дифференциальных, а не
линейных алгебраических уравнений.
Для успешного изучения системьы с помощью математических методов
последняя должна обладать рядом специальных свойств. Во-первых, должны
быть известны имеющиеся в ней связи, во-вторых, количественно определены
существенные для системы свойства (их число не должно быть столь большим,
чтобы анализ становился невозможным) и, в-третьих, известны при заданном
множестве связей формы поведения системы. К сожалению, системы обладают
этими свойствами лишь до некоторой степени, причем наиболее важные для
нас системы — живые организмы, экономические системы обладают ими в
меньшей степени, чем более простые, механические системы типа «пружина —
груз».
Системы и их среды. Системы существуют в некоторой окружающей
среде и обусловливаются ею. Первое условие окружающей среды есть граница,
относительно которой говорят, что система действует внутри ее. Окружающая
среда определяется в виде набора заключенных внутри конкретных пределов
объектов, которые, как предполагается, влияют на действие системы, т. е. для
данной системы окружающая среда есть совокупность всех объектов, изменение свойств которых влияет на систему, а также тех объектов, чьи свойства меняются в результате поведения системы.
Приведенная формулировка вызывает естественный вопрос: когда объект
принадлежит окружающей среде, а когда — системе? Если объект взаимодействует с системой так, как указано в определении, то не означает ли это, что он
является частью системы? Ответить на этот вопрос не так просто. В известном
смысле система вместе с окружающей средой составляет мир вещей, интересу-
41
ющий нас в определенной задаче. Разделение мира на две совокупности — система и окружающая среда — может быть осуществлено разными способами,
причем все они достаточно произвольны. В конечном счете решение проблемы
зависит от намерений того, кто рассматривает некоторую часть мира как возможные конфигурации объектов, представляющих собой системы.
Специалист по анализу систем не может проводить неограниченные исследования, необходимые для того, чтобы понять все условия, влияющие на
действие системы. Понятие границы предписывает предел, внутри которого
объекты, свойства и их связи можно адекватно объяснить и обеспечить управление ими. Системы и их границы, а стало быть, и среды можно найти достаточно просто, если их объекты по своей природе абсолютны или конечны.
Как правило, исследователь включает в состав системы и ее окружающей
среды те объекты, которые ему кажутся важнейшими, описывает внутренние
связи системы так полно, как это возможно, и уделяет большое внимание
наиболее интересным ее качествам, пренебрегая свойствами, не играющими, по
его мнению, существенной роли. Подобный метод идеализации широко применяется в физике и химии: невесомая струна, воздух, не оказывающий сопротивления, абсолютный газ и т. п. — все это понятия, сильно упрощающие описание и анализ механических и термодинамических миров. Биологи, социологи,
экономисты, физиологи и другие ученые, интересующиеся живыми системами
и их поведением, находятся в более сложном положении. Им не так-то просто
отличить существенные переменные от несущественных, иначе говоря, если не
считать анализа внутренних связей, то проблема спецификации исследуемого
мира и последующее деление его на две составляющие — системы и окружающую среду — представляет некоторую трудность.
Из определения системы и окружающей среды следует, что любая данная
система может быть подразделена на подсистемы. Объекты, принадлежащие
одной подсистеме, могут рассматриваться как части окружающей среды другой
подсистемы. Анализ подсистемы требует изучения новой совокупности отношений. Поведение подсистемы может быть полностью аналогичным поведению исходной системы. Иногда отмечают свойства иерархической упорядоченности систем; по сути дела, имеется в виду возможность разделения систем на
подсистемы.
Эту мысль можно выразить иначе, сказав, что элементы системы сами
могут быть системами низших порядков.
Идея исследования подсистем и их поведения широко применяется в математике, особенно в теории множеств в современной алгебре. В качестве при-
42
мера сошлемся на изучение групп (совокупности математических объектов,
имеющих некоторые алгебраические свойства), которое включает исследование
свойств подгрупп; более того, подгруппы не обязательно «ведут» себя во всех
отношениях так же, как содержащие их группы (поведение здесь имеет алгебраический смысл).
Таким образом, существует относительность точки зрения на систему в
том смысле, что одна и та же совокупность элементов в одном случае система,
в другом — часть некоторой большой системы, в которую она входит. По существу, вся Вселенная состоит из множества систем, каждая из которых содержится в более крупной системе. Так же, как можно представить себе более обширную систему, в которую входит данная, всегда можно выделить из данной
системы более ограниченную.
Макроскопическая и микроскопическая точки зрения на поведение
системы. Одним из методов изучения сложных систем является изучение поведения каждой из ее подсистем (микроскопическая точка зрения). Другой метод заключается в игнорировании детальной структуры и наблюдении только
макроскопического поведения системы как целого. Оба метода широко используются в различных областях знания и имеют важное значение.
Первый (микроскопический) метод изучения систем ведется в направлении анализа процесса, второй (макроскопический) — в направлении анализа
конечного исхода процесса. При анализе процесса система исследуется как некоторое количество связанных между собой подсистем, определяются промежуточные выходы системы. Затем специалист изучает средства, с помощью которых можно перевести подсистемы в последовательно связанную совокупность процессов, пригодную для последующей обработки. Причем существует
множество альтернатив или выборов, квалифицируемых в виде промежуточных
решений. Анализ процесса часто ассоциируется с проблемами реального мира,
физическими системами.
При анализе конечного исхода процесса специалист больше внимания
уделяет завершающим, конечным, а не промежуточным результатам, которых
он может и не знать, и средств, позволивших установить основу для объединения всех процессов в действие системы, может также не быть. Цель исследователя состоит в создании модели изучаемой системы независимо от того, физическая она или абстрактная. Он стремится понять систему как процесс с данными объектами, свойствами и связями. Модель может быть строго математической, если специалист выделяет в проблеме количественные свойства. Если
проблема по своей природе также и качественна, то модель может быть менее
43
строгой и не более сложной, чем схема обработки данных. Создатель модели
старается воспроизвести в миниатюрной, контролируемой форме действие изучаемой системы в реальном мире.
Различие между этими двумя подходами проиллюстрируем на примере
роли физиолога и психолога в познании человека. Физиолога интересуют внутренние свойства и характеристики человеческого тела, он выделяет и анализирует отдельно функции различных внутренних органов в их связи с деятельностью человеческого тела. Например, исследуя сердце, физиолог может считать
окружающей средой кровеносную систему, легкие, почки и т. д. Со своей стороны психолог, не игнорируя полностью условий деятельности внутренних органов человеческого тела, рассматривает главным образом характер поведения
системы при разных внешних условиях. Конечно, теоретически психолог способен обогащать свои знания на основе физиологического подхода. Однако
практически это, как правило, невозможно, так как необходимые для анализа
переменные и отношения столь сложны, что не поддаются в настоящее время
описанию и пониманию. Поэтому психолог считает, что более плодотворно исследовать поведение с макроскопической точки зрения.
Остановимся подробнее на макроскопических свойствах систем.
Целостность и обособленность. При определении системы отмечалось,
что для всех систем характерно наличие связей между объектами и между их
свойствами. Если каждая часть системы так соотносится с каждой другой частью, что изменение в некоторой части вызывает изменение во всех других частях и системе в целом, то говорят, что система ведет себя как целостность
или как некоторое связанное образование. Противоположный случай — поведение объекта, состоящего из совокупности частей, совершенно не связанных
между собой: здесь изменение в каждой части зависит только от самой этой части. Изменение в такой совокупности — физическая сумма изменений в ее отдельных частях. Указанное поведение называется обособленным, или физически суммативным.
Прогрессирующая изоляция. Понятия целостности и суммативности
могут быть использованы для качественного определения других свойств, часто
наблюдающихся в физических системах. Большинство неабстрактных систем
изменяется во времени. Если эти изменения приводят к постепенному переходу
от целостности к суммативности, то говорят, что система подвержена прогрессирующей изоляции.
Проиллюстрируем этот процесс уравнениями (1.2), полагая, что «общие»,
или «связывающие», члены уравнений а2 и b1 — функции времени. При а1 и b2
44
стремящихся в пределе к нулю, имеем две независимые системы или считаем,
что более широкая система, соответствующая двум совместно рассматриваемым уравнениям, становится «вырождающейся системой».
Прогрессирующая изоляция возможна и в результате «роста» системы в
направлении возрастающего деления на подсистемы, под-подсистемы или возрастающей дифференциации функций. Данный тип изоляции возникает обычно
в системах, включающих в себя творческий процесс или процессы эволюции и
развития. Например, эмбриональное развитие, при котором зародыш проходит
путь от целостности до состояния, когда он ведет себя как сумма частей, независимо развивающихся в специальные органы.
Прогрессирующая систематизация — противоположность прогрессирующей изоляции, т. е. процесс, при котором изменение идет в сторону целостности. Он может состоять в усилении ранее существовавших отношений между
частями, развитии отношений между частями, ранее не сзязанных между собой,
постепенном добавлении частей и отношений в систему или в комбинации этих
изменений.
Рассмотрим в качестве примера развитие телефонной сети страны. На
первых порах возникли местные телефонные коммутаторы, которые затем соединяются междугородными линиями. С усовершенствованием методов передачи строятся новые коммутаторы, действующие на значительные расстояния.
Далее создается автоматический набор телефонного номера, что отдает сеть в
распоряжение операторов и в конечном счете клиентов. Суть указанного процесса заключается в росте унификации всей системы в целом.
Централизованной называется система, в которой некоторый элемент
(подсистема) играет главную, доминирующую роль в функционировании системы. Этот элемент называется ведущей частью системы или ее центром. Небольшие изменения ведущей части вызывают значительные изменения всей системы.
Прогрессирующая изоляция и систематизация могут сопровождаться
прогрессирующей централизацией. В этом случае система развивается так, что
одна ее часть берет на себя функции центрального и управляющего органа.
Децентрализованная система — это система, в которой нет главной
подсистемы; важнейшие подсистемы имеют приблизительно одинаковую ценность и построены не вокруг центральной подсистемы, а соединены между собой последовательно или параллельно.
Естественные и искусственные системы. Для уточнения значения понятия «система» будем различать системы естественные и искусственные (со-
45
зданные человеком). Инженеры оперируют с системами, созданными человеком, окружающей средой в которых служат естественные системы, в силу чего
исследование последних оказывается очень важным. Кроме того, существуют
общие свойства систем двух указанных типов. Искусственные системы — часто копии естественных систем или по крайней мере они создаются для того,
чтобы выполнять подобные функции.
Естественные системы. Описание таких систем — задача астронома,
физика, химика, биолога, физиолога и т. д. При этом то, что исследователь может сказать о данной естественной системе, зависит от числа рассматриваемых
им существенных переменных.
Большинство естественных систем открытые, так как они постоянно
обмениваются веществом, энергией или информацией с окружающей средой.
Система называется закрытой, если в нее не поступает и из нее не выделяется
энергия, вещество или информация и, следовательно, ее компоненты не меняются. В качестве примера приведем химическую реакцию, происходящую в
герметически изолированном сосуде. При прекращении поступления или выхода из нее энергии открытая система превращается в закрытую.
Открыта или закрыта данная система — зависит от того, какая часть Вселенной включена в систему и какая — в окружающую среду. Если к системе
добавляется та часть окружающей среды, с которой происходил обмен, система
становится закрытой.
Многие естественные системы, особенно живые, обладают свойством
адаптации, т. е. способностью реагировать на окружающие среды так, чтобы в
результате получить благоприятные (в некотором смысле) последствия для деятельности системы.
Системы подобного типа имеют как бы заранее запланированное «конечное состояние», и их поведение таково, что они достигают этого состояния, несмотря на неблагоприятные условия окружающей среды. «Конечное состояние» может быть простым выживанием. Эволюционная теория основана в значительной степени иа понятии адаптации к окружающей среде.
Известно много примеров адаптивного поведения в организме, большинство из которых рассматриваются как механизмы, поддерживающие в заданных
физиологических пределах различные условия жизнедеятельности: температуру тела, физический баланс и т. д. Механизмы подобного рода иногда называют
«гомеостатическими механизмами». С понятиями «адаптация», «обучение» и
«эволюция» тесно связано понятие «стабильность».
46
Обратная
связь
вх
од
в
ыход Система
Рис. 1.1. Схема обратной связи
Система является стабильной относительно некоторых ее переменных,
если они стремятся остаться в определенных пределах. Термостат — пример
приспособления, которое обеспечивает стабильность температуры нагревательной системы. Понятие стабильности используется также в механике и автоматических системах.
Система может быть стабильной в одном отношении и нестабильной в
другом. Адаптивная система стабильна для всех тех ее переменных, которые
должны сохраниться в заданных пределах для благоприятного функционирования системы.
Ряд систем обладает таким свойством, при котором часть их выходов (результаты поведения) вновь воздействуют на вход с тем, чтобы вызвать последующие выходы (рис. 1.1). Данные системы, называемые системами с обратной связью, хорошо известны инженеру, занимающемуся автоматизацией, в
частности автоматические регуляторы — это системы, созданные человеком, в
которых используется
принцип обратной связи.
Системы с обратной связью
встречаются и в природе
(управление равновесием в
человеческом организме).
Известно, что природа,
направленность и степень совершенства обратной связи в системе оказывают
решающее влияние на стабильность или нестабильность системы.
Искусственным системам присущи многие свойства естественных систем. Так, к обоим типам систем применимы понятия целостности, изоляции и
суммативности, открытой и закрытой системы, стабильности, обратной связи,
адаптации и др.
Адаптация в искусственных системах аналогична, но не абсолютна адаптации у естественных систем. То, что можно считать мистическим для естественной системы, абсолютно объяснимо для системы, созданной человеком.
Любое кажущееся преднамеренным или разумным поведение машины заложено в нее человеком. В силу этого адаптивное поведение со стороны машины не
обязательно должно обеспечивать ее выживание; для него важно лишь обеспечение функционирования машины.
Помимо указанных различий, существуют дополнительные свойства искусственных систем, которые, в меньшей степени присущи естественным системам. Например, совместимость (или гармония) систем, их оптимизация.
47
Часто возникает необходимость создать систему, соответствующую
окружающей среде, или, что фактически одно и то же, добавить новые части в
уже существующие системы или объединить две системы, чтобы они действовали совместно. Нет гарантии, что система, построенная для заданной цели, будет функционировать надлежащим образом при изменении окружающей среды.
Аналогично две системы, будучи независимыми друг от друга, могут быть
вполне удовлетворительными в определенных отношениях, но при совместной
работе могут обладать весьма различными и не обязательно согласующимися
характеристиками.
Системы могут быть совместимыми друг с другом в одном отношении и
несовместимыми в другом; это зависит от цели, для которой создана система, а
также от окружающих факторов. Таким образом, системы сравнимы в отношении степени их совместимости с данной системой.
Анализ вопроса о совместимости систем естественно приводит к проблеме оптимизации. Как следует из самого термина, оптимизация означает приспособление системы к окружающей среде, в результате которого обеспечивается наилучшее функционирование системы в определенном отношении. Оптимальная деятельность системы в одном отношении не обязательно означает
оптимальную деятельность системы в другом отношении; к тому же на решение вопроса влияют взгляды проектировщиков системы.
Во многих случаях проблема оптимизации связана с экономическим фактором, например: какова должна быть ширина полосы телефонного канала,
сколько необходимо соединительных телефонных линий между абонентами и
т. д. Отметим, что задача оптимальной ширины полосы передачи всех тончайших оттенков голоса не является оптимальной с экономической точки зрения.
Система с элементом случайности. Как в естественных, так и в искусственных системах важно учитывать случайное поведение. Что означает случайность и когда вводить ее в анализ систем — вот вопросы, которые широко
обсуждаются учеными. На практике фактор случайности обычно вводится в
анализ систем в том случае, когда у исследователя большое число переменных,
влияющих на поведение системы, или они столь сложны для анализа, что не
остается иного выхода, как изучать поведение системы, подверженное влиянию
случайности (шум в электронной лампе за счет беспорядочной эмиссии электронов из катода).
Случайные переменные входят в микроскопический и в макроскопический уровни исследования систем. Известно, что статистическая механика и современная физика принимают предположение о микроскопической случайно-
48
сти. Экономические условия, число потенциальных покупателей и т. д. являются макроскопическими факторами, зависящими от случайных изменений.
Деятельность некоторых систем с элементом случайности лучше всего
описывается с помощью стохастических процессов, называемых случайными
процессами или временными рядами.
Управляемые системы и их особенности. Понятие кибернетики.
Управляемая система относится к категории кибернетических систем. Кибернетика как общая теория управления возникла в 1948 г., когда вышла в свет книга
американского ученого Норберта Винера «Кибернетика или управление и связь
в животном и машине». Н. Винер в своей книге первоначально определил кибернетику как науку об управлении и связи в животном и машине. Позднее, когда им были написаны книги «Кибернетика и общество», «Творец и робот», это
определение было распространено на управление в любых системах: технических, биологических и социальных. Не отрицая глубоких, качественных различий между системами, кибернетика, подобно математике, ищет общие методы
исследования.
В настоящее время кибернетикой принято называть учение об общих закономерностях процессов управления и связи в организованных системах, к
числу которых относятся машины, живые организмы и их объединения (общества).
Управление в организованных системах рассматривается прежде всего
как процесс преобразования информации: информация об объекте управления
воспринимается управляющей системой, перерабатывается в соответствии с
той или иной целью управления и в виде управляющих воздействий передается
на объект управления. Поэтому понятие информации принадлежит к числу
наиболее фундаментальных понятий кибернетики.
В основе кибернетики лежит идея о возможности общего подхода к изучению процессов управления в системах различной природы. Сила данной идеи
заключается в том, что оказалось возможным, кроме общих рассуждений методологического характера, предложить мощный математический аппарат для
количественного и качественного описания процессов управления, а также использовать вычислительную технику для решения этих сложных задач. Таким
общим подходом и является введение в кибернетику координального понятия
информации.
В самом деле, вне зависимости от того, с какими объектами связаны процессы управления, они всегда протекают следующим образом. Некоторые чув-
49
ствительные органы (например, органы чувств человека или измерительные
приборы) воспринимают информацию о состоянии управляемого объекта.
Эта первичная информация передается по тем или иным каналам связи
(нервная система человека, электропровода, телефонные и телеграфные линии
и т. д.) к органу, задача которого состоит в том, чтобы принять решение на основе полученной информации или, другими словами, переработать информацию (человеческий мозг, управляющая вычислительная машина и т. д.).
Затем переработанная информация в виде сигнала управления используется для того, чтобы осуществить требуемое воздействие на управляемый объект.
Следовательно, процессы управления связаны с получением, передачей,
переработкой и использованием информации.
Вот почему можно дать развернутое определение кибернетики как отрасли знаний, занимающейся установлением общих принципов и законов управления объектами различной природы (живой организм, машина, общество и пр.)
для достижения ими заданных целей на основе получения, передачи, переработки и использования информации.
Процессы получения информации, ее хранения и передачи называются в
кибернетике связью. Переработка воспринятой информации в сигналы, направляющие деятельность машин и организмов, называется управлением. Если машина или организм способны воспринимать и использовать информацию о результатах своей деятельности, то говорят, что они обладают обратной связью.
Переработка информации, идущей по каналам обратной связи, в сигналы, корректирующие деятельность машин или организма, называется контролем (регулированием).
С появлением понятия информации классическое представление о мире
(материя плюс энергия) уступило место другому представлению о мире, состоящем из энергии, материи и информации.
Информационный подход к процессам управления — первая особенность
кибернетики.
Вторая особенность заключается в том, что с развитием кибернетики возросло значение дискретной формы представления информации. Академик В.
М. Глушков так характеризует эту особенность и связанные с ней последствия.
Информация передается и воспринимается в виде сигналов двух типов: дискретных (прерывных) и непрерывных. Сигнал, несущий информацию о количестве людей в цехе, выпущенных заводами машин и пр., не может принимать
дробных значений. Он меняется скачкообразно. Такого рода сигналы принято
50
называть дискретными. Совсем другими свойствами обладает сигнал, несущий информацию о температуре воздуха в цехе, давлении газа в трубопроводе,
напряжении в электросети и т. д. Температура не может измениться, скажем, от
20 до 21°, не пройдя всех промежуточных значений. Эти сигналы называются
непрерывными.
Непрерывные сигналы измеряются и представляются в виде вещественных чисел, дискретные — в виде элементов так называемых абстрактных алфавитов. Один из наиболее распространенных на практике абстрактных алфавитов составлен из букв русского и латинского алфавитов, десятичных цифр,
знаков препинания и некоторых специальных математических символов. Однако в принципе абстрактный алфавит можно составить из знаков любой природы.
Роль дискретной формы представления информации и ее значение обусловлено тремя основными причинами. Во-первых, современные электронные
вычислительные машины оперируют с. дискретной информацией. Во-вторых,
изучение сложных систем, в первую очередь биологических и социальных, часто требует рассмотрения величии качественного характера, которые нельзя в
обычном смысле измерить и выразить числом. Так, врачи различают три (а с
градациями — пять) степени атеросклероза. А как выразить числом, скажем,
отношение того или иного (индивидуального) зрителя к новой пьесе или кинокартине? Подобные качественные характеристики прекрасно описываются дискретными сигналами в тех или иных абстрактных алфавитах (например, оценками по 5-балльной системе). Третья причина увеличения роли дискретной информации заключается в ее универсальности. Действительно, всякая непрерывная информация после ее измерения с той или иной степенью точности выражается в конце концов конечной последовательностью цифр (с запятой или
без), т. е. в дискретном виде.
Теория кодирования, раздел кибернетики, изучает формы представления
информации в тех или иных алфавитах. Простой, но очень важный результат
здесь заключается в возможности представления произвольной информации в
любом алфавите, содержащем не менее двух букв. Таким образом, минимальным алфавитом, в котором можно записать дискретную информацию, служит
двухбуквенный, двоичный алфавит. Например, кодирование обычных букв и
цифр в двоичном алфавите не что иное, как известный телеграфный код (азбука
Морзе). Сигнал в двоичном алфавите — минимальная единица информации,
своеобразный информационный атом, называемый битом.
51
Как уже отмечалось, центральное место в системах управления занимает
преобразование информации, для описания которой кибернетика развивает
специальный математический аппарат. Простейшие автоматические регуляторы, функционирующие задолго до появления кибернетики, работали в основном с непрерывной информацией. Описать преобразования информации в подобных регуляторах помогает один из разделов математики — теория обыкновенных дифференциальных уравнений.
Описание преобразований дискретной информации требует совершенно
другого аппарата —теории алгоритмов.
Обычная словесная формулировка алгоритмов несовершенна ввиду присущей человеческим языкам неоднозначности. В результате одни и те же формулировки понимаются по-разному. Для точной, не допускающей никаких разночтений формулировки алгоритмов служат алгоритмические языки.
Основная идея построения всякого алгоритмического языка заключается
в фиксации некоторого количества базисных правил преобразования информации, операторов языка (разных для различных языков), точно определяемых и
описываемых. Запись любого конкретного алгоритма представляет последовательность базисных правил — так называемой программы на данном алгоритмическом языке.
Принципиальное и практическое значение придается в базисных правилах небольшому числу специальных элементарных правил, обеспечивающих
универсальность алгоритмического языка. Универсальность языка означает
возможность (при соответствующем кодировании в алфавите данного языка)
выразить с его помощью любое преобразование информации, которое вообще
может быть записано конечной системой правил.
Третья особенность кибернетики — метод кибернетических моделей.
Широкое использование дискретных форм представления информации позволило резко расширить класс изучаемых систем и успешно исследовать не только строгие количественные, но и приблизительные качественные взаимозависимости между элементами сложных систем благодаря введению принципиально нового метода научного анализа систем — математического моделирования. До его появления в распоряжении ученых было фактически лишь два
принципиально различных метода: экспериментальный и теоретический. В
первом случае эксперименты производились либо с самой системой, либо с ее
физической, реальной моделью. Во втором — требовалось решать уравнения,
описывающие систему.
52
Математическое моделирование занимает промежуточное положение: нет
необходимости строить реальную физическую модель системы, ее заменяет математическая модель, т. е. описание системы на том или ином алгоритмическом
языке. Не нужно решать сложные математические задачи. Описание закладывается в ЭВМ, которая моделирует поведение системы в разных условиях, определяемых в соответствии с задачами исследования.
Такой метод дает возможность получить целостное впечатление о сложных системах, отдельные части которых изучаются различными людьми или
науками. Так, человеческий организм, отдельные его части (системы кровообращения, пищеварения, нервная система, железы внутренней секреции и т, п.),
хотя и тесно связаны между собой, исследуются разными специалистами.
Науки, изучающие тот или иной конкретный класс систем (физиология
нервной системы, экономика и др.), в результате глубокого проникновения в
природу систем и составляющих их элементов создают основу для построения
математических моделей этих систем. Кибернетика дает методы и средства для
точного описания и изучения моделей, позволяющих получить целостное впечатление об их поведении.
Использование алгоритмических языков, ЭВМ и метода математического
моделирования обеспечивает кибернетике массу приложений в самых различных науках. Кибернетические методы исследований привели к превращению
ряда описательных наук в точные. Особо важное значение метод математического моделирования приобретает в экономической науке.
В качестве примера кибернетических моделей приведем модель в виде
системы автоматического регулирования, сетевую модель графа, матричную
модель межотраслевого баланса.
В вероятностном, статистическом подходе к процессам управления
состоит четвертая особенность кибернетики.
Указанная концепция целиком взята из статистической физики. Известно,
что поведение газа в сосуде определяется случайным движением отдельных
молекул. Аналогично при управлении, скажем, телефонным узлом считается,
что вызовы на телефонной станции — случайные события во времени, так как
каждый вызов связан с большим числом факторов, учесть которые не представляется возможным. Однако найдя статистические характеристики случайных
вызовов с помощью кибернетической модели массового обслуживания, удается
сформулировать оптимальные законы управления телефонной сетью.
В кибернетике принято, что любой процесс управления подвержен случайным, возмущающим воздействиям, это в одинаковой мере относится к си-
53
стеме управления производством и радиолокационной антенной. В первом случае на производственный процесс оказывает влияние большое количество факторов (состояние оборудования, качество материала, своевременность доставки
комплектующих изделий и пр.), учесть которое детерминированным образом
невозможно. Поэтому считается, что на производственный процесс воздействуют случайные сигналы. В силу этого планирование работы предприятия
может быть только вероятностным, и обсуждать выполнение плана к определенному сроку следует с какой-то вероятностью. То есть учет стохастичности
экономической системы означает признание принципиальной невозможности
предвидения каждого из отклонений в отдельности, но возможность с той или
иной степенью оценить их вероятность. При управлении радиолокационной антенной случайность вызвана флуктуациями отраженного от цели сигнала и собственными шумами приемника. Здесь также можно говорить только о том, что
антенна с какой-то вероятностью (не более заданной ошибки) отклоняется от
направления на цель.
Пятая особенность кибернетики вытекает из факта существования универсальных алгоритмических языков, которые обеспечили построение универсальных преобразователей информации, т. е. современных электронных вычислительных машин.
Современная вычислительная техника открыла неограниченные возможности автоматизации сложных процессов умственной деятельности человека.
Они стали основой создания сложных автоматизированных систем, важнейшим
практическим средством и орудием исследования в кибернетике. При этом нет
необходимости разрабатывать новые технические средства для нового процесса. Достаточно познать и точно описать законы, которые управляют рассматриваемым процессом, и запрограммировать их на каком-либо из универсальных
алгоритмических языков, воплощенных в уже существующих ЭВМ.
Кибернетика привела к широкому применению математических методов,
методов моделирования, формализации, алгоритмизации. Сложились новые
важные направления исследований. «Вторжение» кибернетики, математики и
электронно-вычислительной техники во все сферы — неотъемлемая черта современной цивилизации.
Особенности управляемых систем. Одна из характерных особенностей
управляемой кибернетической системы — способность изменять свое движение, переходить в разные состояния под влиянием различных управляющих
воздействий. Всегда существует некоторое множество движений, из которых
54
производится выбор предпочтительного движения. Где нет выбора, там нет и
не может быть управления.
Таким образом, управляемые системы рассматриваются не в статическом
состоянии, а в движении и развитии, что коренным образом изменяет подход к
их изучению и в ряде случаев позволяет вскрыть закономерности, установить
факты, которые иначе оказались бы невыявленнымн. Устойчивость как функциональное свойство управляемых систем, имеющее решающее значение для
оценки работоспособности систем, было бы невозможным без уяснения динамики происходящих в них процессов.
Все объекты, явления и процессы в природе взаимосвязаны и влияют
друг на друга. Поэтому, выделяя какой-либо объект, необходимо учесть влияние среды на объект и объекта на среду. Следовательно, изучение поведения
любой управляемой системы производится с учетом ее связей со средой.
В управляемых системах всегда присутствует орган, осуществляющий
функции управления. В этом случае систему можно схематически представить
в виде совокупности управляющей и управляемой частей (рис. 1.2); стрелками
указаны направления воздействий, которыми обмениваются части системы.
Указанные простейшие управляемые системы никогда не являются изолированными. Они взаимодействуют с внешней средой, друг с другом, могут
составлять более сложные системы, входящие в качестве элементов в управляемые и управляющие части сложных систем и образующие иерархию управляемых систем. Принцип иерархичности
управления — это принцип многоступенчатого построения управляющих систем, при котором функции управления
распределяются между соподчиненными
частями системы. Управляющие сигналы
устройств старшего ранга носят обобщенный характер и конкретизируются в
подчиненных устройствах.
Как уже отмечалось, управляемая система постоянно находится в движении, ей присущ динамический характер. Термин «движение» хорошо известен
из механики, где он означает изменение положения какого-либо объекта в пространстве с течением времени. В кибернетике движение имеет более общий
смысл, а именно: всякое изменение объекта во времени. Движением называется, например, изменение температуры тела, заряда конденсатора, объема или
Управляющая часть
Управляемая часть
Рис. 1.2. Простейшая структура
кибернетической системы
55
давления газа, суммы текущего счета в банке, запасов сырья на складе, наконец, жизнь и мышление.
Движение системы, изменение ее состояния могут происходить под влиянием как внешних воздействий, так и в результате процессов, происходящих
внутри системы.
На каждую систему, строго говоря, оказывает влияние бесчисленное
множество различных внешних воздействий, но далеко не все они существенны. Из множества воздействий отбирают лишь те, которые в условиях решаемой задачи существенно влияют на состояние системы. Эти внешние воздействия называют входными величинами (входными воздействиями, входными
переменными системы), а элементы системы, к которым приложены входные
воздействия, — входами системы.
Так, на движение самолета существенно влияют следующие факторы: сила и направление ветра, плотность атмосферы, положение рулей, тяговые усилия двигателей. Все они рассматриваются как входные воздействия на самолет.
Для решения задач управления выделяют два типа входных величин:
управляющие воздействия Х и возмущающие воздействия М (рис. 1.3). К управляющим относятся такие величины, значениями которых можно распоряжаться
при управлении системой и которые можно изменять с целью осуществления
движения, предпочтительного по сравнению с другими возможными движениями управляемой системы. В приведенном примере управляющими воздействиями являются воздействия, создаваемые рулевыми плоскостями, и тяговые
усилия двигателей, которые пилот изменяет по своему усмотрению. Возмущающие воздействия — влияние ветра и плотности атмосферы на движение самолета.
Воздействие системы на окружающую среду характеризуется значениями
ее выходных величин Y (см. рис. 1.3). Совокупность выходных величин и их
изменения определяют поведение системы, позволяют руководителю оценивать
соответствие движения системы целям управления. При управлении движением
самолета выходными величинами служат курс и скорость движения, поскольку
M
k
M
1
x
l
x
22
x
1
Внутреннее
состояние
m1, m2, …, mn
Рис. 1.4. Переменные, действующие на систему
M
2
y
1 y
2
y
s
56
значения этих величин характеризуют цель управления, которая состоит в том,
чтобы обеспечить прибытие самолета в заданное место и время.
Изменение входных величин, как правило, вызывает изменение выходных величин. При этом изменения последних не всегда проявляются сразу: они
могут запаздывать, но никогда не опережают изменения входных величин, которые — следствие, а входные — причина движения системы.
Возмущающие воздействия, влияющие на движение системы, могут
иметь не только внешнее, но и внутреннее происхождение, например, изменение свойств элементов системы после длительной работы или в результате
нарушения нормального функционирования элементов системы.
Состояние любой системы с заданной точностью можно охарактеризовать совокупностью значений величин т, определяющих ее поведение, т. е. переменными состояния систем (см. рис. 1.3).
Эти величины позволяют сравнивать состояния отдельных систем и судить об их различии, сравнивать состояния одной и той же системы в произвольные моменты времени для выяснения ее движения.
Из всех существующих форм описания состояния системы наибольший
интерес представляет способ, основанный на понятии пространства состояний системы. Пространством состояний системы называется многомерное пространство, в котором каждое состояние системы изображается точкой, называемой изображающей точкой (она «изображает» данное состояние системы), координаты которой — переменные состояния системы т1, т2, ..., тп.
В реальных системах не все координаты могут изменяться в неограниченных пределах. Большая часть координат принимает значения, лежащие в
ограниченном интервале
mi
тi
mi
, где
mi
и
mi
— границы интервала возможных значений координаты тi
.
Область пространства состояний, в которой находится изображающая
точка, называется областью допустимых состояний. Говоря о пространстве
состояний, имеют в виду лишь его допустимую область. Однако даже в ней не
всегда любая точка изображает возможное состояние системы. Таким свойством обладает лишь непрерывное пространство состояний, соответствующее
системе, координаты которой принимают любые значения (в допустимых пределах). Существуют системы (дискретные), в которых координаты принимают
конечное число фиксированных значений. Пространство состояний этих систем
также дискретно.
Для характеристики движения системы разделим все переменные на три
группы:
57
Рис. 1.5. Схема сложной кибернетической системы
1) входные переменные, или входные воздействия X и М, представляющие сигналы, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе, и влияющие на ее поведение;
2) выходные переменные или переменные, характеризующие реакцию
системы Y, и позволяющие описать некоторые аспекты поведения системы,
представляющие интерес для исследователя;
3) переменные (координаты) состояния т, характеризующие динамическое поведение исследуемой системы.
Учитывая относительность понятия, кибернетическую систему можно
рассматривать как состоящую из частей (элементов), взаимодействующих друг
с другом (рис. 1.4). В этом случае большинство выходных величин одной части
одновременно являются входными величинами для другой части системы.
Оставшиеся каналы остаются свободными, составляя входы и выходы всей системы в целом.
Движение системы представляют как
цепь преобразований ее состояний. С одной
стороны, можно полагать, что переход системы из состояния а1 в момент времени t1 в
состояние а2 в момент времени t2 есть результат преобразования а1, t1 в а2, t2. С другой — можно рассматривать изменение выходных величин какой-либо системы под
влиянием изменений входной величины так
же как ее преобразование.
Преобразование одного объекта в другой осуществляется посредством
действия на объект оператора. Объект, подвергающийся преобразованию,
называется операндом, а результат преобразования — образом. Пользуясь этими терминами, можно описать всякое преобразование следующим образом: в
результате воздействия оператора на операнд получается образ.
При изучении выходной величины Y как результата преобразования
входной величины X связь между Y и X записывается в форме Y=F(X), где F —
оператор, характеризующий свойства данной системы.
Если система выступает в виде безинерционного линейного преобразователя (например, электронный усилитель, механический редуктор, фотоэлемент), то оператор F преобразуется в коэффициент преобразования (коэффициент передачи) и представляет собой число k, на которое нужно умножить зна-
58
чение входной величины, чтобы получить значение выходной величины преобразователя: Y=kX.
Для нелинейного безинерционного преобразователя выходная величина
является функцией от входной величины, и оператор F обозначает определенное нелинейное преобразование.
Состояние реальной системы не может измениться мгновенно, а происходит во времени в результате переходного процесса. В этом случае оператор
становится сложнее и выражается не только при помощи одних алгебраических
действий над операндами. Системы, переход которых из одного состояния в
другое совершается немгновенно, а в результате переходного процесса, называются динамическими системами.
Все реальные кибернетические системы — динамические. Различают три
типа поведения системы, три режима, в которых может находиться динамическая система: равновесный, переходный и периодический. Понятия равновесного и периодического режима объединяются единым понятием установившегося
режима.
Состояние, в котором находится система, когда ни одна из ее координат
не изменяется, называется равновесным состоянием, наступаемым в некоторых
точках пространства состояний.
Под переходным режимом понимается режим движения динамической
системы из начального состояния к какому-либо установившемуся режиму —
равновесному или периодическому.
Периодическим режимом называется режим, при котором система через
равные промежутки времени приходит в одни и те же состояния.
Необходимым условием работоспособности динамических систем
сйужит их устойчивость, характеризующая одну из важнейших черт поведения
динамической системы и являющаяся важнейшим понятием в управлении. Это
значит, что система должна нормально функционировать, быть нечувствительной к неизбежным посторонним возмущениям различного рода, т. е. работать
устойчиво, несмотря на действие посторонних возмущений.
Для определения устойчивости разработаны соответствующие критерии,
позволяющие найти условия устойчивости и необходимые ее «запасы» по косвенным признакам.
Рассмотрим понятие устойчивости динамической системы на примере
системы установления цен на рынке с устойчивым и неустойчивым состоянием
равновесия.
59
Пусть зависимости спроса (D) и предложения (S) некоторого товара от
цены (Р) на рынке имеют вид, показанный на рис 1.5, а скорость (d) изменения
цены прямо пропорциональна разности между спросом и предложением:
d=k1(DS), где k1 коэффициент (k1> 0), указывающий, на сколько возрастет
цена товара в единицу времени, если разница между спросом и предложением
будет равна единице.
Причины снижения спроса и увеличения предложения при повышении
цены понятны. Повышение предложения при снижении цены ниже Pk возможно в частных случаях (например, при переходе на методы массового производства товара при снижении цен и росте спроса). Из рис. 1.5 видно, что система
имеет два равновесных состояния а1 и о2, так как в этих точках спрос равен
предложению и цена товара не изменяется (d=0). Для выяснения устойчивости
состояний равновесия определим, как будет изменяться цена после случайного
малого отклонения от равновесных значений Р1 и Р2. В точке а1 отклонению
цены Р от значения Р1 соответствует разность DS, которая вызывает изменение,
цены, восстанавливающее нарушенное равновесие; точка а1 изображает состояние
устойчивого равновесия системы. В точке
а2, наоборот, любое отклонение цены от Р2
приводит к дальнейшему изменению в том
же направлении, и состояние системы в
этой точке неустойчиво.
Понятия поведения и сложности
как признаки классификации. Управляемые системы, с которыми встречается человек, разнообразны. Поэтому их разбивают на некоторые классы. В классификации систем, предложенной С. Биром , в
основу положены два критерия. Первый — степень сложности системы, по которому можно выделить три класса систем: простые, сложные и очень сложные.
Простые системы характеризуются малым числом внутренних связей и легкостью математического описания. Сложные системы, хотя и поддаются описанию, имеют разветвленную структуру и разнообразные внутренние связи. Наконец, к очень сложным относятся системы, не поддающиеся непосредственному
математическому описанию ввиду исключительного многообразия и сложности
связей.
Рис. 1.5. Зависимость спроса D
и предложения S от цены товара P.
60
Второй критерий — различие между детерминированными и вероятностными системами. Детерминированной системой считают систему, в которой составные части взаимодействуют точно предвиденным образом (если известно
предыдущее состояние, то безошибочно можно предсказать ее последующее состояние).
Напротив, для вероятностной системы нельзя сделать точного детального
предсказания. Такую систему можно тщательно исследовать и с большой степенью вероятности установить, как она будет вести себя в любых заданных условиях. Однако система остается неопределенной, и любое предсказание относительно ее поведения не выйдет из логических рамок вероятностных категорий,
при помощи которых это поведение описывается.
Подобное разделение систем несколько условно. Границы между ними являются областями, в которых лежат близкие по характеру системы. По мере
развития математического аппарата и средств познания вообще границы сдвигаются в сторону упрощения систем, их детерминизации.
В результате при двух классификационных признаках все системы можно разделить на пять категорий: простые и сложные детерминированные; простые, сложные и очень сложные вероятностные.
Приведем примеры перечисленных систем применительно к сфере промышленного производства.
К числу простых детерминированных систем относится система размещения станков в цехе. Она строится исходя из условия движения деталей по
маршрутам обработки.
При такой постановке задачи можно минимизировать расстояния, которые
проходят детали в процессе обработки. Если исследуются процессы, происходящие при движении материалов, то система становится вероятностной. Абстрактная система детерминирована, но она теряет это свойство, как только на систему накладывается влияние реальной действительности.
Сложной детерминированной системой является электронная вычислительная машина. Вычислительная машина выполняет только предписанные ей операции. Если ее поведение определено заранее неполностью, то это означает, что
машина функционирует неправильно. К этому классу систем относятся также
различные автоматы (вплоть до автоматизированных предприятий), в которых
любое отклонение от строго предписанного образа действия считается неисправностью или даже аварией.
В качестве простой вероятностной системы назовем систему статистического контроля качества продукции предприятия. Она основана на выборочной про-
61
верке либо одной, либо нескольких характеристик продукции (влажность и
зольность отгружаемого шахтой угля), причем частота отбора проб зависит от
степени риска отбраковки. Такая система весьма проста, целесообразность ее
применения связана с присущей ей вероятностной природой.
Наглядная иллюстрация сложной вероятностной системы — система материально-технического снабжения предприятия. Поступление материалов или деталей на центральный склад и выдача их на участки являются случайными процессами по своей природе, но в то же время они полностью поддаются математическому описанию при помощи аппарата математической статистики. Даже когда
динамика системы значительно усложнена, т. е. имеет очень много входов (запасы пополняются из многих источников) и выходов (запасами пользуется большое
число потребителей), ее все-таки следует отнести к указанному классу.
Наконец, к очень сложной вероятностной системе относится само предприятие в целом. Внутренние связи крупного предприятия (технические, экономические, административные и др.) настолько сложны, что полностью описать их
пока невозможно. То, же самое в неизмеримо большей степени относится к мозгу
человека.
Группировка систем в соответствии со свойственной им природой
управления позволяет выделить научные методы исследования. Техника автоматизации достигла такого уровня развития, что успешно решает задачи управления как простыми, так и сложными детерминированными системами, исследование которых основано на инженерных расчетах и, в частности, методах линейного программирования. Простые вероятностные системы сравнительно легко
поддаются анализу методами математической статистики. Наибольшую трудность
для управления и исследования представляют два последних класса вероятностных
систем — сложные и очень сложные (подавляющее большинство систем в обществе и производстве). До недавнего времени управление ими основывалось на
опыте и здравом смысле. С увеличением темпов производства этого недостаточно.
Человек уже не в состоянии решать стоящие перед ним проблемы управления, полагаясь только на свой собственный разум и не прибегая к помощи технических
средств.
Возникшие потребности в научно обоснованных методах и средствах
управления нашли свое выражение в кибернетике — науке об управлении, особым предметом исследования которой являются сложные и очень сложные системы окружающего мира.
62
§3. Основы исследования операций
Основные понятия и особенности исследования операций. Этапы операционного исследования и их содержание. Критерий оптимальности. Виды математических
моделей ИСО. Классы операционных задач. Резюме.
Основные понятия и особенности исследования операций. Термин
"операционные исследования", по-видимому, впервые применил в 1938 г.
А.Раув, руководитель научной группы в Бодси (Англия), отнеся его к работам по оценке эффективности операций, проводимых военновоздушными силами. Однако сегодня больше используют американский
термин "исследование операций", имеющий тот же смысл.
Возникнув в недрах военных ведомств, новая наука, развиваясь, находит применение в самых разных областях человеческой деятельности, в том
числе в бизнесе.
В настоящее время исследование операций можно рассматривать как
одну из важнейших дисциплин, связанных с принятием решений, или как составную часть системного анализа. Суть исследования операций остается
неизменной: всесторонний анализ операции, оценка последствий возможных решений, поиск наиболее эффективных вариантов достижения цели.
Приведем одно краткое определение, отражающее его главное предназначение:
Исследование операций (ИСО) это наука о количественном обосновании оптимальных решений.
При этом под оптимальным понимается решение, наилучшее в
определенном смысле. Нельзя говорить об оптимальном решении вообще,
корректное применение этого понятия требует конкретизации его смысла и
условий, в которых принимается решение.
В то же время "операция" широкое понятие: это есть совокупность
действий или мероприятий, направленных на достижение определенной цели.
В ИСО описание операции включает следующее.
1. Цель операции, то есть то, ради чего проводится операция.
2. Оперирующая сторона лицо или группа лиц, преследующих поставленную цель. В сложных операциях оперирующая сторона состоит из
лица, принимающего решение (ЛПР), и аналитиков специалистов по исследованию операций. Физически ЛПР это одно лицо или группа лиц,
наделенных правом принимать решения и несущих за них ответственность.
Подготовка решений ложится на аналитиков. Разница между первыми и
63
вторыми не только в знаниях методологии и методов ИСО, но и в информированности об операции. Причины этого кроются в сложности извлечения
и представления информации, которой владеет ЛПР, или в нежелании ЛПР
раскрывать все карты. В простых случаях ЛПР и аналитик могут быть в одном
лице.
3. Активные средства это, как правило, ресурсы, используемые для
достижения цели.
4. Способы действий, поведения или использования активных средств.
Их называют решениями, альтернативами или стратегиями в зависимости от
типа операции.
5. Результаты или исходы операции.
6. Тип связи между решениями (стратегиями) и исходами операции. Он
зависит от условий, в которых протекает операция.
Говоря об ИСО как о самостоятельном направлении, обычно отмечают его три основные особенности: системный подход, комплексный коллектив исследователей, применение научных методов.
Под системным подходом понимается комплексная методология исследования сложных систем или проблем. В этой методологии определяющим
является подход к любой части системы (проблемы) с позиции системы в
целом, превалирование цели системы над целями ее подсистем. Другое важнейшее требование системного подхода состоит в том, что необходимо
стремиться выявить все существенные факторы и взаимосвязи, влияющие на достижение цели системы. Для этого приходится расширять
первоначальный объект исследования, искать скрытые от первого взгляда
связи между факторами и частями системы.
Вторая особенность ИСО обусловлена необходимостью изучения и анализа проблемы с разных точек зрения, стремлением выйти за рамки стереотипов. Именно поэтому с момента возникновения исследования операций
группы исследователей состояли из специалистов разного профиля (военных, математиков, физиков, психологов и др.), объединенных единой
методологией. Такое комплексное исследование позволяет расширять множество альтернатив и находить действительно наилучшее решение.
Применение научных методов присуще любой науке, но в ИСО они
имеют свою специфику, которая обусловлена задачей исследования и количественным характером результатов. Чтобы яснее представить эту особенность
ИСО, рассмотрим, как проводится операционное исследование.
64
Этапы операционного исследования и их содержание. Не существует
строгой регламентации хода и содержания операционного исследования,
но в любом выполненном проекте можно выделить характерные для ИСО
этапы разработки.
1. Постановка задачи. Она включает содержательное описание задачи: объект и цель исследования, внутренние и внешние условия, ресурсы,
значения параметров или их оценки, возможные способы действий и возможные результаты, другую имеющуюся информацию. Эту работу выполняют
совместно ЛПР и аналитик. После тщательного анализа первоначальной постановки аналитик уточняет с ЛПР содержание задачи по всем аспектам и
особо согласовывает показатель, который предлагается в качестве критерия
оптимальности.
2. Построение математической модели. Характер задач исследования
операций таков, что их решение не может проводиться путем натурного эксперимента или физического моделирования. Например, выбор места и мощности нового производства, определение оптимального плана выпуска продукции, формирование портфеля заказов немыслимо производить путем реализации и сравнения различных вариантов. Такая ситуация в науке не нова:
так в астрономии нельзя манипулировать небесными телами, но предсказывать положение планет солнечной системы возможно благодаря использованию математической модели. Модели, и в частности математические,
широко применяются в различных областях. Математические модели исследования операций отличаются своей направленностью, которая отражается в
структуре модели. Математическая модель в ИСО включает:
зависимость критерия от управляемых и неуправляемых переменных;
уравнения, отражающие связи между переменными, например, уравнения на основе материально-энергетических балансов;
ограничения, обусловленные реальными условиями и требованиями к
показателям и переменным (неотрицательность, целочисленность, комплектность, допустимые и/или директивные значения и т.п.). В конкретных задачах
могут отсутствовать отдельные составляющие модели полностью или частично за исключением критериальной функции, которая должна быть в модели
обязательно.
3. Проверка адекватности модели. Математическая модель представляет собой формализованную гипотезу исследователя о реальных взаимосвязях и поведении системы. Поэтому прежде чем использовать модель для
прогнозирования последствий и выбора решений, необходимо убедиться в ее
65
адекватности системе или операции с точки зрения поставленной цели исследования. Для "прозрачных" моделей может быть достаточной качественная
проверка, в сложных моделях необходим количественный анализ. В последнем случае для моделирования поведения на модели используются численные методы (иногда это называют прямой задачей: по задаваемым входам
нужно определить выходы). Для осуществляемых ранее операций проверка адекватности может производиться по ретроспективным данным (при отсутствии качественных изменений в операции). В других случаях проверка
проводится путем наблюдения за реакцией модели и системы на одинаковые решения. При обнаружении неадекватности модель корректируется:
при качественном совпадении повысить количественную адекватность можно
путем уточнения коэффициентов модели, при более серьезных расхождениях может потребоваться изменение и/или добавление ограничений и уравнений или даже построение другого вида модели. Следует заметить, что такая
проверка невозможна для вновь разрабатываемых операций, и тогда приходится довольствоваться качественным тестированием модели.
4. Поиск оптимального решения на модели. Это центральный этап
операционного исследования (с математической точки зрения обратная
задача). Он заключается в определении решения, оптимального в смысле
принятого критерия. Для отыскания оптимального решения на математической
модели применяются методы оптимизации, главным образом методы математического программирования.
5. Анализ оптимального решения. Сюда входит анализ чувствительности полученного решения, параметрический и вариантный анализ, выявление альтернативных оптимальных решений и др. Анализ чувствительности
критерия к отклонению переменных от их оптимальных значений позволяет
определить разумные требования к точности реализации оптимального решения. Результаты параметрического и вариантного анализа показывают, каким будет оптимальное решение при изменении коэффициентов модели, состава ограничений или при изменении критерия. При этом может устанавливаться значимость отдельных элементов модели, то есть их влияние на оптимальное значение критерия. В случае неединственности оптимального решения появляется дополнительная возможность выбора по показателю, который
не представлен в критерии. Важное место в анализе решения отводится
интерпретации полученных результатов в терминах предметной области Л
ПР.
66
6. Внедрение результатов исследования. Здесь главное требование
состоит в необходимости непосредственного участия разработчиков на
всех стадиях реализации предлагаемых решений.
Таким образом, применение научных методов в ИСО отличается всесторонним количественным исследованием, основанным на математической модели и ставящим своей целью определение оптимального решения в интересах ЛПР.
Критерий оптимальности. Поставленная в операции цель может быть
достигнута по-разному и в разной степени в зависимости от принимаемых
решений. Критерий есть тот показатель, который характеризует (оценивает)
эффективность решений с точки зрения достижения цели, а следовательно, позволяет выбрать среди них наилучшее. В ИСО применяют равнозначные термины: критерий оптимальности, критерий эффективности, целевая функция. Последний термин подчеркивает неразрывную связь критерия с целью. Таким образом, решение может быть оптимальным только в
смысле конкретного критерия в пределах адекватности используемой модели.
В исследовании операций к критерию предъявляются определенные
требования. Наиболее важные из них следующие.
1. Критерий должен быть количественной и неслучайной величиной.
2. Критерий должен правильно и полно отражать поставленную
цель. Его можно рассматривать как количественную модель качественной цели.
3. Критерий должен иметь простой и понятный ЛПР физический
смысл.
4. Критерий должен быть чувствителен к управляемым (искомым)
переменным.
При исследовании действующих систем к критерию могут предъявляться дополнительные требования, такие как измеримость, статистическая
однозначность, статистическая эффективность и др.
Множество показателей, которые в ИСО используются в качестве критериев, можно условно разделить на ряд групп: социальные (среднедушевой доход, обеспеченность жильем и т.п.), экономические (прибыль, рентабельность, себестоимость и др.), технико-экономические (производительность, урожайность и др.), технико-технологические (прочность, чистота
материала, другие физические или химические показатели), прочие. Они
приведены в порядке убывания глобальности применения: первые применя-
67
ются в системах более высокого уровня (страна, регион, предприятие), последние в основном на уровне процесса, объекта.
Однако во многих случаях не удается полностью отразить поставленную цель одним критерием и тем более это невозможно, когда в операции преследуется более одной цели. Например, цели типа повышение
уровня жизни, улучшение экологической обстановки и т.п. нельзя "покрыть"
одним критерием. В таких ситуациях вводится несколько показателей, характеризующих достижение цели. Как правило, оптимальные решения, получаемые по разным показателям-критериям, не совпадают, что создает неопределенность в выборе окончательного решения. Задачи, в которых приходится определять наилучшее решение по нескольким критериям, называются многокритериальными или задачами векторной оптимизации. Они
составляют особый и более сложный класс задач исследования операций.
Виды математических моделей ИСО. Рассмотрим виды математических моделей только в одном аспекте, который обусловливает принципиальные различия математических моделей и методов отыскания на них оптимальных решений.
Вид модели определяется типом связи между решениями (альтернативами, стратегиями) и результатами, который в свою очередь зависит от
условий, в которых протекает операция и приходится принимать решения.
1. Решения принимаются в условиях определенности. Это значит, что
каждому решению можно поставить в соответствие (пусть даже путем сложных расчетов) определенный результат, то есть имеет место детерминированный тип связи. Модели, описывающие такие ситуации, называются
детерминированными. Этот тип модели на практике применяется наиболее широко, так как он "удобен в работе". По этой причине такие модели часто используют в качестве первого приближения и в условиях, отличающихся
от ситуации определенности.
2. Решения принимаются в условиях риска. Между решениями и результатами имеет место стохастическая связь: определенному решению может
соответствовать более одного результата, вероятности появления которых известны. Адекватным отображением таких условий являются вероятностные (стохастические) модели. Если под результатом имеется в виду
значение критерия, то исходная постановка задачи (и модель) некорректна:
нельзя максимизировать или минимизировать случайную величину. В этом
случае в качестве критерия следует выбирать не исходный показатель, а одну
68
из его вероятностных характеристик, например, математическое ожидание
или дисперсию. Неоднозначность обусловлена наличием случайных факторов. Но осреднение случайных аргументов и осреднение результатов, на которые первые влияют, далеко не всегда одно и то же. Это объясняется тем,
что в общем случае не выполняется равенство
М[f(x1, x2, ..., xn)] = f[M(x1), M(x2), ..., M(xn)], (1.1)
где xj случайные величины, М знак математического ожидания.
Рассмотрим пример такой ситуации. Пусть фирма "Апельсин" постоянно занимается продажей фруктов. Для простоты будем считать, что поставка и продажа фруктов осуществляется целыми контейнерами, а единицей
времени является неделя. Спрос на фрукты С колеблется случайным образом, но вероятность спроса в случайно взятую неделю Р(С) известна. При заключении договора с поставщиком на очередной период фирма должна
определить наиболее выгодное для нее количество контейнеров, которое
будет поставляться еженедельно, если известны прибыль от реализации одного контейнера d и убыток b при его невостребовании. Так как спрос случаен, то и результат доход за неделю D для фиксированного числа заказываемых контейнеров п будет случайной величиной: в случае, когда спрос
превысит предложение, то есть при С>п,
D=dn; (1.2)
если же предложение окажется выше спроса (С<п), доход
D=dn(nC)b. (1.3)
Таким образом, доход D является функцией управляемой величины п и
случайного фактора С. Очевидно, что максимизация такого показателя бессмысленна. В качестве критерия оптимальности разумно взять математическое ожидание дохода за неделю, так как его максимизация обеспечит максимум дохода за весь период. Поскольку вероятность появления случаев
(1.2) и (1.3) определяется P(С), то модель задачи будет иметь вид
M[D]= D =
n
C
dC n C b P C
0
{ ( ) } ( )
+
1
( )
C n
dnP C
max, (1.4)
n>0, int, (1.5)
где int означает "целое". При составлении этой модели в явном виде учитывалась стохастичность ситуации и, следовательно, принимаемые по ней решения в такой же степени учитывают фактор случайности. Упрощенное
представление операции может базироваться на аппроксимации реальной
ситуации детерминированной. В этом случае спрос рассматривается как не-
69
случайная величина, равная его математическому ожиданию
С
. При этом
доход
D=
C n C b n C
dn n C
( ) ,
, ,
также неслучаен. На такой модели оптимальное решение, максимизирующее
D, определяется просто: п
0=С.
Чтобы показать отличие результатов при использовании упрощенной
модели и модели (1.4), произведем расчет для исходных данных d=30, b=5
и вероятности спроса:
C 0 1 2 3 4 5 6
P(C) 0 0,1 0,25 0,3 0,25 0,1 0
Вычисляем средний спрос: С=
6
0
( )
C
C P C
=3. Тогда по упрощенной
модели получим: п
0=3, D=90. Такой доход имел бы место при детерминированном и неизменяемом уровне спроса. Но при случайном спросе величина
D=90 будет достигаться только в те недели, когда спрос окажется не меньше 3, а в другие недели доход будет ниже и, следовательно, средний доход за весь период станет меньше 90. Чтобы показать это и одновременно
определить оптимальное число контейнеров при случайном спросе, вычислим значения среднего дохода по модели (1.4) при всех возможных п:
n 1 2 3 4 5
D
30 56,5 74,25 81,5 80
По результатам вычислений видно, что решение n
0
=3, полученное на
детерминированной модели, не обеспечивает максимального среднего дохода. Кроме того, видно, что в условиях случайного спроса оптимальным является решение п=4, при котором средний доход составляет 81.5
против 74.25 при n
0
=3. Это пример операции, для которой не выполняется
равенство (1.1), хотя случайный фактор имеет симметричное распределение. Судя по разнице результатов на двух моделях, в данной операции
стохастичность оказывает значимое влияние и поэтому ее нельзя не учитывать.
Однако наличие случайных факторов не всегда влечет за собой неоднозначность результатов. Возможны случаи, когда элементарные составляющие
процесса или системы ведут себя случайно, а результаты системы в целом не
случайны. Характерным примером такой системы является идеальный газ,
поведение которого подчиняется детерминированному закону Бойля-
70
Мариотта. Неслучайное поведение на макроуровне при наличии элементов
случайности на микроуровне называют стохастическим детерминизмом.
3. Решения принимаются в условиях неопределенности. Это ситуация,
противоположная первой рассмотренной. Природа неопределенности может быть различной, но в общем случае она проявляется в том, что определенному решению соответствует более одного результата, а вероятностные
характеристики результатов неизвестны. Математические модели, описывающие неопределенный тип связи, разнообразны и не имеют единого
названия. В частности, к этому классу относятся матричные модели, модели типа "игра", "аукционный торг", нечеткие модели.
Во многих случаях ситуацию неопределенности можно представить
(или аппроксимировать) матрицей вида
Альтернативы
Состояние среды
Q1 Q2 … Qn
A1 u11 u12 … u1n
A2 u21 u22 … u2n
… … … …
Am um1 um2 … umn
где uij результат (исход) выбора альтернативы Аi при условии, что среда окажется в состоянии Qj
; uij может иметь смысл прибыли, дохода, выигрыша или
затрат, проигрыша, убытков и т.п.).
Прежде чем выбирать решение на этой модели, нужно определиться с
принципом оптимальности, на основе которого будут сравниваться альтернативы, так как только одно желание ЛПР получить наилучший результат не
дает такой основы. Принцип оптимальности зависит от точки зрения на ситуацию ЛПР, его отношения к риску, от предположений относительно поведения среды. Наиболее характерной гипотезой поведения среды является
представление, что среда ведет себя наихудшим образом ("как назло"). Это
самый пессимистический взгляд на ситуацию, свойственный ЛПР, не склонному к риску. В этом случае выбор решения основывается на принципе гарантированного результата (иногда его называют критерием Вальда).
Он состоит в том, что эффективность каждой альтернативы оценивается
наихудшим из исходов, возможных при выборе данной альтернативы. Такой
результат гарантируется, то есть будет не хуже, при любом фактическом
состоянии среды. Теперь очевидно, что наилучшим решением в смысле
принятого принципа оптимальности будет выбор той альтернативы, которая
имеет наилучший гарантированный результат. Так, если uij имеет смысл при-
71
были, то оценкой i-й альтернативы является
j
min
uij, а оптимальной будет
альтернатива, максимизирующая эту величину, то есть Ai
, на которой достигается
i
max
j
min
uij. Применительно к этой ситуации принцип гарантированного результата называют принципом максимина, а оптимальную альтернативу максиминной. В условиях неопределенности только этот принцип имеет объективное обоснование и дает абсолютно надежную оценку.
Другой подход, называемый также критерием Сэвиджа, использует
аналогичный прием, но по отношению к преобразованной матрице матрице риска (сожалений) [rij], где rij=
i
max
uijuij, то есть риск это разность
между максимально возможным выигрышем при j-м состоянии среды и выигрышем при выборе i-й альтернативы в условиях незнания о фактическом
состоянии среды. Так как цель состоит в уменьшении риска, то, используя
принцип минимакса (гарантированного риска), определим как оптимальную ту альтернативу, на которой достигается
j
min
i
max
uij, тогда риск не превысит этой величины ни при каком состоянии среды.
Гибкий учет отношения ЛПР к риску возможен с помощью критерия
Гурвица. Если исходы имеют смысл дохода, то оптимальная альтернатива
определяется из условия
i
max
{
j
max
uij +(1)
j
min
uij},
где =[0, 1] коэффициент риска. При ориентации на самое худшее =0, что
соответствует критерию Вальда, а для крайнего оптимиста =1. Промежуточные значения отражают разный уровень риска ЛПР.
Возможны и другие подходы к выбору оптимальных решений в условиях неопределенности, но все они, как и последние два, не гарантируют достижение расчетных результатов.
Как следует из вышерассмотренного, выбор вида модели требует от исследователя интуиции и опыта наряду с глубокими знаниями моделируемой области. Следует особо отметить, что построение модели основывается
на представлениях аналитика, которые могут не соответствовать реальным связям в большей или меньшей степени. При этом большое значение
имеют оценка влияния случайных факторов, факторов неопределенности,
уровень агрегирования, допустимая сложность модели. Так, нередко
возникает дилемма: построить высокоточную, но очень сложную модель,
на которой можно будет получить только приближенное к оптимально-
72
му решение, либо поступиться точностью моделирования и иметь возможность применять на модели точные методы оптимизации. Какое решение окажется ближе к истинному оптимальному, заранее сказать невозможно. К сожалению, не существует готовых рецептов построения математических моделей. Это один из этапов операционного исследования, который, следуя
Саати, можно отнести к области искусства.
Классы операционных задач. В настоящее время исследование операций находит применение почти во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Отсюда широкий диапазон математических моделей
операций и методов их исследования. В то же время исследование операций
развивалось и продолжает развиваться по определенным направлениям, которые различаются типами задач, и появление новых направлений
обусловливается возникновением новых задач. В классическом исследовании операций выделяют классы типичных задач, рассмотрение которых
позволяет лучше представить круг проблем ИСО. Наиболее характерными
классами операционных задач являются:
задачи управления запасами;
задачи распределения;
задачи массового обслуживания;
задачи выбора маршрута;
задачи замены;
задачи упорядочения;
задачи сетевого планирования и управления;
состязательные задачи;
задачи поиска.
Приведем краткую характеристику и постановку перечисленных задач.
Задачи управления запасами. Под запасами понимают неиспользуемые в данный момент ресурсы. К ним относятся материалы, оборудование, полуфабрикаты, готовая продукция, работники, финансовые
средства и т.п. Проблема запасов заключается в поиске ответов на два основных вопроса: 1) сколько заказывать (закупать или производить), 2) когда
или как часто заказывать. Нетривиальность этой задачи обусловлена тем, что
с запасами связаны статьи затрат, по-разному изменяющиеся с изменением
уровня запасов. С увеличением запасов растут затраты на хранение
(складские расходы, замораживание оборотных средств, потери от порчи и
73
старения, морального износа и т.п.) и одновременно уменьшаются затраты
из-за возможной нехватки запасов (простоев производства, аварий, штрафов
и др.). Кроме того, при росте объема партии снижаются затраты на подготовительно-заключительные операции, так как они не зависят или слабо зависят
от величины партии. В конкретных приложениях есть и другие статьи затрат,
требующие учета. В результате задача состоит в выборе таких параметров
управления запасами (объема партии, периода пополнения и др.), которые
обеспечивают минимум суммарных затрат, связанных с запасами.
Многие практические задачи могут ставиться как задачи управления
запасами. Например, проблема пополнения штата стюардесс имеет прямое
отношение к рассматриваемой задаче: избыток стюардесс вызывает дополнительные расходы на их обучение и содержание, отсутствие стюардессы на
рейсе приводит к задержке или отмене рейса, а следовательно, к большим
потерям. Аналогичные вопросы возникают при выборе мощности устанавливаемого оборудования, разбиении всего заказа на партии в процессе производства, определении числа машин, закрепляемых за комбайном и других
подобных ситуациях.
Задачи управления запасами имеют обширную классификацию. Выделим здесь три основных признака классификации: по виду спроса различают задачи со случайным и неслучайным спросом, по способу пополнения
запасов мгновенное и с задержкой, по виду запасов – однородные и неоднородные. Очевидно, что самыми простыми являются задачи с неслучайным спросом, с мгновенным пополнением и однородными запасами.
Другую крайность составляют задачи со случайным спросом на неоднородные запасы, пополняемые со случайной задержкой.
Задачи распределения на практике встречаются наиболее часто. Они
возникают в ситуациях, когда имеется ряд работ, операций или потребителей, нуждающихся в выполнении или удовлетворении, и возможны различные способы или пути их осуществления. В зависимости от уровня ресурсов различают три группы задач распределения. Для первой группы задач
характерно, что наличных ресурсов достаточно для выполнения всех работ, но
не хватает для выполнения каждой работы оптимальным образом. В этих
условиях необходимо так распределить ресурсы между всеми работами (потребителями), чтобы достигалась наибольшая эффективность системы в целом. Показатель эффективности (критерий) определяется конкретной целью
системы.
74
Классическим примером такой задачи является сбалансированная
транспортная задача. С одной стороны, имеются поставщики с известными количествами груза, с другой потребители с известными потребностями в грузе, при этом сумма потребностей равна сумме возможностей (баланс). Кроме того, для всех пар поставщикпотребитель даны затраты на перевозку единицы груза от поставщика к потребителю. Очевидно, что
наилучшим вариантом удовлетворения отдельного потребителя будет поставка груза с минимальными для него затратами, однако это может привести
к значительному возрастанию транспортных затрат у других потребителей.
Поэтому задача состоит в определении такой схемы перевозки, при которой
суммарные транспортные издержки будут минимальны. Разновидность
транспортной задачи, называемая задачей о назначениях или задачей выбора, заключается в распределении N кандидатов по N должностям, работам или
машинам при известной эффективности каждого кандидата на каждой
должности с целью достижения максимальной эффективности всей системы (например, расстановка 10 спортсменов по 10 этапам эстафеты, обеспечивающая минимальное время прохождения всех этапов).
Ко второй группе относят задачи, в которых наличных ресурсов недостаточно для выполнения всех работ или удовлетворения всех потребителей в полном объеме. Задача ставится аналогично вышеприведенной,
но в ряде случаев требуется дополнительная информация о влиянии неудовлетворенного спроса на показатель эффективности, а решение должно
содержать данные о том, какие работы и в каком объеме не выполняются в
условиях оптимального распределения. Примерами подобных задач могут служить несбалансированная транспортная задача, большинство задач
составления бюджета, задачи планирования, проектирования, составления
смесей и др. Сюда же можно отнести задачу о рюкзаке, заключающуюся в
наилучшем наборе предметов при ограниченном весе и/или объеме рюкзака (эта задача имеет важные инженерные приложения, связанные с оптимальным использованием ограниченных объемов стоек, отсеков, памяти и т.п.).
Задачи третьей группы отличаются тем, что уровень (объем) используемых ресурсов не фиксирован и может варьироваться в некоторых
пределах. При этом затраты на ресурсы зависят от их объемов. Задача состоит в определении оптимального уровня ресурсов и оптимального распределения по критерию, учитывающему как затраты на ресурсы, так и эффективность их использования. В качестве примера можно привести про-
75
блему использования кредитов предприятием, которая особенно обостряется
при высоких процентных ставках.
Задачи массового обслуживания возникают, когда имеет место поток заявок, требований или клиентов, нуждающихся в обслуживании. В общем случае заявки приходят через случайные промежутки времени и продолжительность обслуживания одной заявки также случайна. Системы, занятые
обслуживанием таких потоков, называют системами массового обслуживания
(СМО). Обычно в СМО выделяют 4 составляющих: поток заявок (входящий
поток), очередь заявок, обслуживающие устройства, выходящий поток. Как
следует из характера поступления и обслуживания заявок, в СМО может возникать как очередь заявок на обслуживание, так и очередь обслуживающих
устройств (простои). Очевидно, что с любой очередью связаны потери. Различают СМО с отказами, когда при занятых устройствах пришедшая в систему
заявка получает отказ и, следовательно, очереди заявок быть не может, и системы с ожиданием (с очередью), когда при занятых устройствах обслуживания заявка встает в очередь и ожидает обслуживания.
Процессы, протекающие в СМО, носят стохастический характер и поэтому для их описания применяют вероятностные модели. В качестве показателей эффективности работы СМО могут использоваться вероятность
отказа, средняя длина очереди, среднее время пребывания заявки в системе, пропускная способность (абсолютная или относительная), среднее
число занятых устройств и др. В широком смысле задача массового обслуживания состоит в определении оптимальной структуры и оптимальных параметров СМО, а в узком в выборе оптимальных параметров составляющих
системы в пределах заданной структуры. В одних задачах за критерий принимают один из показателей работы СМО при ограничениях на другие показатели и на затраты на СМО, в других стремятся минимизировать затраты
при обеспечении заданных уровней показателей работы СМО.
Задачи массового обслуживания особенно характерны для сферы
услуг и производства. Примерами могут служить задачи организации торговли, медицинского обслуживания, ремонта, серийного и массового производства, работы вычислительного центра и отдельной ЭВМ в многозадачном и
многопользовательском режимах и т.п.
Задачи выбора маршрута. В зависимости от вида искомого
маршрута различают два варианта задач. Первый тип задач иногда называют задачами о кратчайшем пути. Между двумя заданными пунктами или узлами имеется конечное множество путей, состоящих из переходов (дуг), со-
76
единяющих промежуточные пункты. Один переход может входить более чем в
один путь. Каждый переход характеризуется показателем или рядом показателей, в качестве которых могут быть время, длина, стоимость, расход
ресурса и т.п. Требуется найти путь, кратчайший в смысле принятого критерия. Отметим, что искомым является незамкнутый путь и не требуется прохождение всех промежуточных пунктов. При детерминированных показателях
используется детерминированная модель, а при случайных показателях вероятностная модель. Такие задачи возникают при прокладке маршрутов различных транспортных средств, трасс дорог, линий электропередач, трубопроводов, выборе вариантов поведения на заданном конечном промежутке времени, расчете сетевых графиков и т.д.
Второй тип задачи выбора маршрута называется задачей коммивояжера. Такое название сложилось исторически и связано с поиском оптимального маршрута передвижения представителя торговой фирмы коммивояжера. Последний, выйдя из своего города, должен обойти все города,
входящие в сферу обслуживания фирмы, и вернуться обратно. При этом
каждый город посещается один раз. Известны показатели переходов между всеми парами городов и требуется найти маршрут, обеспечивающий
минимальные затраты времени или минимальный расход горючего, или
минимальную стоимость проезда. Если показатели переходов зависят от
направления движения, задача является асимметричной, иначе симметричной. Эта задача отличается замк-нутостью искомого маршрута и необходимостью прохождения всех пунктов. В теории графов такой маршрут
называют гамильтоновым циклом.
Первоначально задача коммивояжера рассматривалась как математическая головоломка, но в последние десятилетия обнаружили, что к ней
сводится ряд важных практических проблем. Например, если на одном
оборудовании каждый месяц нужно производить фиксированную номенклатуру изделий, а затраты на переналадку зависят от предшествующего и последующего видов изделий, то определение последовательности запуска изделий в производство, обеспечивающей минимальные затраты на
переналадку в течение месяца, представляет собой типичную задачу коммивояжера. Другой пример: составляется программа для станка с ЧПУ на сверление нескольких десятков отверстий в плате и требуется определить порядок, в котором будет производиться сверление, так, чтобы общее время операции было минимальным. Это тоже задача коммивояжера. В чем трудности решения таких задач, если число возможных вариантов всегда конеч-
77
но? При трех городах имеется два варианта решения, при четырех уже
шесть, а при 11 более 3,6 млн. В общем случае задача коммивояжера с N городами (пунктами) имеет (N1)! замкнутых маршрутов, проходящих через все
пункты. Таким образом, в реальных задачах число возможных вариантов исчисляется астрономическими величинами и в этом заключается основная
проблема решения задачи.
Рассматриваемая задача может быть обобщена на т коммивояжеров. В
базовом городе находится т коммивояжеров, обслуживающих всех клиентов фирмы (клиент город). Необходимо составить т замкнутых маршрутов,
охватывающих всех клиентов по одному разу и имеющих наилучший суммарный показатель, например, минимальную суммарную длину. Увеличение числа коммивояжеров повышает сложность задачи.
Задачи замены оборудования. В зависимости от типа оборудования
различают два вида задач замены. В одних задачах оборудование рассматривается как единое целое, характеристики которого с течением времени
ухудшаются. В результате снижается производительность, качество выполнения операций, возрастают затраты на эксплуатацию и текущие ремонты, снижается фонд полезного времени работы оборудования. С увеличением частоты замены оборудования все эти показатели будут улучшаться,
но одновременно будут резко возрастать капитальные затраты и затраты, обусловленные демонтажем старого и монтажом нового оборудования. Поэтому
встает вопрос об определении моментов замены, наилучших в смысле выбранного критерия. В качестве последнего часто рассматривается прибыль,
получаемая на оборудовании за определенный период времени. Вид модели
замены напрямую зависит от характера изменения свойств оборудования. К
оборудованию первого типа можно отнести обрабатывающий центр, самолет,
доменную печь, локомотив, пресс и т.п.
Другой вид задач замены связан с оборудованием, состоящим из
большого числа относительно недорогих элементов, характеристики которых практически не меняют своих свойств, но могут внезапно полностью выходить из строя. Моменты выхода из строя, как правило, случайны. Примерами подобного оборудования могут служить электронные системы, компьютеры и др. В отличие от задач первого вида здесь наряду с моментами
замены нужно определять и уровень, на котором следует проводить замену. Можно заменять отдельный элемент, плату, узел или целый блок. При
этом, если уменьшается время на замену, то растет стоимость заменяющих
частей и наоборот. Поэтому задача не имеет тривиального решения. Оче-
78
видно, что для математического описания подобных задач используются
в основном вероятностные модели.
Задачи упорядочения возникают в связи с тем, что конечное множество независимых работ (операций) выполняется на одной группе оборудования, включающей два и более станков (обслуживающих устройств).
Каждой паре операция-станок ставится в соответствие некоторый показатель. Задача заключается в определении такой последовательности выполнения независимых работ на одном и том же оборудовании, при которой достигается наилучшее значение критерия оптимальности.
В качестве примера рассмотрим классическую задачу Джонсона.
Каждая из N деталей обрабатывается на m станках в одинаковом порядке,
время обработки известно. Требуется определить очередность запуска деталей на обработку, обеспечивающую минимальное время обработки всех деталей. Для двух станков и двух деталей возможны только два варианта последовательности обработки, которые можно представить в виде графиков Ганта:
Станки
Время обработки деталей
A B
1 5 4
2 2 5
Нетрудно подсчитать, что ТАB=14, а ТBA=11 и, следовательно, оптимальной является очередность ВА.
Однако при двух станках и 10 деталях число вариантов уже превысит 3,6
млн., а для n деталей оно составляет n!. Поэтому простым перебором вариантов задачу не решить.
Проблема еще более усложняется с увеличением числа станков. В общем случае в оптимальном решении очередность деталей на разных станках
может быть неодинаковой, что значительно увеличивает число вариантов решения. Правда, теоретические исследования дали интересный результат: в оптимальном решении очередность одинакова на первых двух и на последних
двух станках (но между собой эти очередности не совпадают). Отсюда
следует, что при двух и трех станках очередность на всех станках одинакова.
Но для большего числа станков это неверно. Так, например, для 5 станков
возможны 3 различные очередности обработки и, значит, при 10 деталях число
вариантов составит (10!)3
=4,781019. Такие значения трудно представить.
Класс задач упорядочения достаточно широк. В него входят разнообразные задачи составления расписаний. Как и задачи выбора маршрута, рас-
79
смотренные задачи относятся к комбинаторным, сложность решения которых обусловлена их дискретностью и экспоненциальным ростом числа вариантов с увеличением размерности задачи.
Задачи сетевого планирования и управления. Одна из первых задач этого класса была поставлена и решена применительно к американской программе разработки ракет «Поларис». Программа охватывала
огромное множество работ и большое число фирм-исполнителей, для координации которых требовались новые подходы. Таким образом, в отличие
от задач упорядочения в задачах сетевого планирования рассматривается
комплекс взаимосвязанных работ. Исходным является список работ, подлежащих выполнению, с известными продолжительностями и непосредственно предшествующими работами.
Взаимосвязи работ моделируются ориентированным графом, называемым сетевым графиком или просто сетью. Возможны два варианта представления сети: 1) сеть типа "работы-дуги", когда дуга отображает работу с присущими ей параметрами (показателями) и связями, а вершины состояния
объекта (программы, проекта), к которому относятся работы; 2) сеть типа
"вершины-работы", когда дуги показывают только связи, а работам ставятся
в соответствие вершины. Для первоначального построения сети удобнее
второй вариант, но для расчетов чаще используется сеть "работы-дуги".
Существуют простые алгоритмы перехода от одного представления к другому. Сеть может быть детерминированной и вероятностной. Во втором
случае обычно случайным является время выполнения работ или ряд
работ альтернативны с известными вероятностями необходимости их
выполнения. С работами может быть связано время (простейшие сети), ресурсы, стоимость или их сочетания. Сеть может применяться один раз или
многократно. По ходу выполнения работ сеть может корректироваться. В задачах сетевого планирования и управления различают анализ и
синтез сети.
Анализ сети состоит в расчете времен начала и окончания работ, ранних и поздних сроков наступления событий, резервов времени работ и событий, определении критического пути и критических работ. Критическим
называется самый длинный путь от начального события к конечному, то есть
это минимальное время, за которое могут быть выполнены все работы.
Под синтезом сети обычно понимают ее оптимизацию. Например, в пределах выделенных ресурсов или затрат нужно обеспечить минимальное время завершения всего комплекса работ, или наоборот, выполнить все работы к
80
заданному сроку с минимальными затратами. На сети со случайными продолжительностями работ за критерий или основное ограничение принимается математическое ожидание длины критического пути. Кроме того, в
качестве критерия может выступать вероятность завершения комплекса в заданный срок, которую следует максимизировать.
Рассмотренный класс задач характерен для больших научноисследовательских работ, разработок сложных проектов, монтажностроительных работ и других комплексных проектов и программ.
Состязательные задачи. Этими задачами моделируется принятие решений в ситуациях неопределенности, причем неопределенность обусловлена наличием конфликта. Конфликт имеет место, если в операции
участвуют две и более оперирующих сторон, преследующих несовпадающие
цели. Неопределенность у одной из сторон возникает в связи с неизвестностью линии поведения других сторон, в то время как результат зависит от поведения всех участников операции.
Различают две модели конфликта: игру и аукционный торг. Игра характеризуется известным количеством участников, называемых игроками, правилами игры, множеством возможных ситуаций (сочетаний стратегий
игроков) и соответствующими им выигрышами или проигрышами (в общем случае платежами). По методу ведения игры различают дискретные
игры, в которых игроки совершают поочередные ходы, и непрерывные, когда игроки действуют непрерывно. Последние также называют играми преследования (например, бой двух самолетов) или дифференциальными играми, так как поведение игроков описывается дифференциальными уравнениями. По количеству ходов выделяют игры с конечным и бесконечным числом шагов. Аналогичное деление производится по числу стратегий игроков. Так у противотанкового орудия имеется бесконечное число стратегий,
так как огонь по нападающим танкам может быть открыт с любого расстояния, начиная с прицельной дальности стрельбы. По форме платы различают
игры с нулевой суммой, когда выигрыши одних равны проигрышам других, и
поэтому их также называют антагонистическими (цели полностью противоположные), и игры с ненулевой суммой, в которых выигрыши и проигрыши не совпадают. В зависимости от числа игроков говорят об
играх 2, 3, ..., 7, N лиц. Дискретную игру двух лиц с ненулевой суммой
называют биматричной игрой, в ней каждой ситуации соответствует два платежа (по одному для каждого игрока).
С основными положениями биматричных игр мы с вами знакомы.
81
Помимо рассмотренных нами моделей игр применяются также модели
коалиционных и кооперативных игр. Так, в игре п лиц (п >2) с нулевой суммой в процессе игры могут образовываться объединения части игроков против
остальных, если такая коалиция улучшает результаты всех объединившихся
игроков, что обеспечивается побочными платежами со стороны инициатора
объединения. В отличие от этого кооперативная игра может улучшать результаты всех игроков за счет предварительных договоренностей с заключением
обязывающих соглашений (в играх с ненулевой суммой). Очевидно, что кооперация возможна и в игре двух лиц.
Игровые модели находят применение в основном при исследовании военных операций и в экономике. Если вторая оперирующая сторона представляет собой некую среду с неизвестными вероятностями состояний, то такая ситуация также может моделироваться игрой, которая называется игрой
против природы.
Модели типа аукционного торга применяются, когда степень неопределенности выше, чем предполагает модель игры. Так, например, в аукционном торге неизвестно даже число участников, нельзя составить принятую в
игре платежную матрицу. Разработка и исследование моделей этого типа
находятся в начальной стадии.
Задачи поиска. Процесс поиска связан с двумя видами ошибок. Из-за
невозможности охвата всего множества объектов, среди которых могут быть
искомые, возникает ошибка выборки. При исследовании выборки могут
иметь место ошибки наблюдения, выражающиеся в том, что не обнаруживается (пропускается) искомый объект, входящий в выборку, или другой объект
принимается за искомый (ложное обнаружение). Любые ошибки приводят к
потерям, упущению прибыли и т.п.
Для поиска необходимы ресурсы (в общем случае он требует затрат).
При ограниченных ресурсах на поиск увеличение выборки уменьшает ошибку выборки, но одновременно возрастает ошибка наблюдения, а при уменьшении объема выборки наоборот. Задача заключается в определении
объема выборки и стратегии поиска внутри нее, при которых достигается
наибольшая эффективность поиска. Характерным примером такой задачи
является контроль качества деталей или изделий при серийном или массовом производстве. Основным ресурсом при этом выступают контролеры
ОТК, число которых всегда ограничено. Чем больше выборка, тем меньше
негодных деталей пройдет мимо контролера, но тем меньше времени у него на
проверку каждой детали, попавшей в выборку, а значит, больше вероятность
82
пропуска негодной детали или отбраковки годной. Бракованные детали, не
обнаруженные контролером, могут проявить себя только при испытаниях готовой продукции или у потребителя, что влечет убытки для производителя.
Задача контроля качества - организовать его так, чтобы убытки свелись к минимуму.
Задача поиска может ставиться шире, если количество ресурсов, выделяемых на поиск, может варьироваться в некоторых заданных пределах.
Так как за ресурсы надо платить, то увеличение ресурсов не обязательно ведет
к повышению эффективности. Поэтому задача состоит в определении оптимального уровня ресурсов и оптимального их использования. Так на стадии проекта организации контроля качества может возникнуть необходимость определения числа контролеров, объема выборки и стратегии контроля
внутри выборки, при которых будет обеспечиваться максимальная прибыль
от выпускаемых изделий.
Некоторые области применения задач поиска:
организация ревизий;
бухгалтерские операции;
обнаружение объектов (потерпевших аварию, заблудившихся, пожаров
и т.п.);
военная разведка;
разведка полезных ископаемых;
организация контроля качества;
хранение и поиск информации;
размещение рекламы в районе или городе.
Следует заметить, что модели поиска разработаны слабо. В основном
они носят частный характер.
Резюме. Реальные проблемы далеко не всегда могут сводиться к одной
из рассмотренных задач. Нередко в одной проблеме сплетается ряд задач, разделить которые не представляется возможным. Так, в машиностроении обработка деталей производится партиями, при этом определение объема партий
как задача управления запасами связано через затраты с графиком запускавыпуска деталей, а нахождение оптимального графика требует, чтобы было
известно время обработки на всех операциях, но последние напрямую зависят от объема партии. Таким образом, здесь воедино связаны две типовые
задачи: управления запасами и упорядочения.
Как правило, на практике возникают именно такие комплексные задачи. Но знание типичных задач облегчает поиск решения задач более слож-
83
ных. Естественно, что приведенный перечень задач исследования операций не
является исчерпывающим, да и никакой другой не может претендовать на абсолютную полноту, так как разнообразие задач не имеет границ.
Почти для каждого класса типичных задач можно указать наиболее эффективные методы решения. В то же время один метод или одна группа методов могут быть эффективны для ряда задач, а некоторые задачи, например,
задачи поиска не имеют методов, характерных для всего данного класса. В
связи с тем, что этап нахождения наилучшего решения является центральным
в исследовании операций, последующие разделы пособия посвящены в основном рассмотрению методов оптимизации.
84
Приложение 2. Решение некоторых задач линейного программирования с использованием оболочки Excel
§1. Решение задачи линейного программирования с использованием
оболочки Excel
1.1. Применение режима «Поиск решения».
1.2. Реализация симплекс-метода в оболочке Excel
§2. Решение транспортной задачи с использованием оболочки Excel
2.1. Постановка транспортной задачи и еѐ математическая модель.
Напомним постановку транспортной задачи и еѐ математическую модель.
Имеется сеть поставщиков P1, P2, …, Pm некоторого однородного груза, и
сеть потребителей П1, П2, …, Пn этого груза. Известны: запасы поставщиков a1,
a2, …, am, соответственно; потребности потребителей b1, b2, …, bn, соответственно; стоимость cij перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок (то есть определить, кто,
кому и в каком количестве должен отгрузить, чтобы запасы поставщиков были
по максимуму использованы, потребности потребителей по максимуму были
удовлетворены, и суммарная стоимость перевозок была минимальной.
Условия задачи обычно даются в следующей транспортной таблице:
bj
ai
b1 b2 … bj … bn
a1 c11 c12 … c1j … c1n
a2 c21 c22 … c2j … c2n
… … … … … … …
ai ci1 ci2 … cij … cin
… … … … … … …
am cm1 cm2 … cmj … cmn
Математическая модель задачи следующая:
85
m
i
n
j
ij xij c
1 1
max
0 ( 1, ..., ; 1, ..., ).
... ,
... ,
... ,
... ,
... ,
... ,
1 2
1 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 1
1 2
2 1 2 2 2 2
1 1 1 2 1 1
x i m j n
x x x b
x x x b
x x x b
x x x a
x x x a
x x x a
i j
n n mn n
m
m
m m mn m
n
n
(3.1)
Если суммарные запасы и суммарные потребности совпадают
(
m
i
ai
1
=
n
j
bj
1
), то задача называется задачей закрытого типа. В противном
случае задача называется задачей открытого типа. Задача открытого типа
решается сведением еѐ к задаче закрытого типа введением фиктивных либо потребителя Пn+1 с потребностью bn=
m
i
ai
1
n
j
bj
1
, либо поставщика Pm+1 с запасом
am=
n
j
bj
1
m
i
ai
1
. При этом стоимости c перевозок с фиктивными участниками
делается произвольным постоянным числом, например, c=0. Далее задача решается обычным образом. Только ответ формулируется с реальными перевозками.
2.2. Решение транспортной задачи с использованием оболочки Excel.
В оболочке Excel в режиме «Поиск решений» транспортная задача решается
обычным образом, как и всякая оптимизационная задача: выбираются ячейки в
качестве переменных
x (i 1, ...,m; j 1, ...,n)
ij
, выбирается ячейка для целевой
функции, выбираются ячейки, в которые будут вводиться левые части ограничений. Для ускорения процесса ввода необходимых функций (целевой и левых
частей ограничений) лучше использовать встроенные функции СУММПРОИЗВ() и СУММ(). Первая используется для ввода целевой функции. Лучше всего (в целях удобства) для этого ввести отдельно транспортную таблицу, без
«шапки» (только стоимости перевозок), в виде таблицы размера mn. Рядом,
через столбец правее, «зарезервировать» такую же таблицу для переменных
86
x (i 1, ...,m; j 1, ...,n)
ij
. При этом рекомендуется таблицы располагать так,
чтобы их первые строки были размещены на второй строке листа Excel.
Далее действуем по следующей схеме:
1. В верхнюю ячейку столбца между таблицами вводим целевую функцию. Для этого в эту ячейку вводим знак «=», нажимаем на кнопку «fx», вызывающую встроенные функции, выбираем функцию СУММПРОИЗВ(). Высветится окошко
Установив курсор в микроокно «Массив1», указываем в нѐм ячейки таблицы стоимостей перевозок:
Затем устанавливаем курсор в микроокно «Массив2» и указываем на нѐм таблицу, зарезервированную для переменных. После нажатия на кнопку «ОК» в
строке против кнопки «fx» в скобках СУММПРОИЗВ() через «;» будут высвечены списки номеров ячеек массивов, участвующих в формировании целевой
функции
m
i
n
j
ij xij c
1 1
:
87
2. В ячейке между таблицами вводим левые части ограничений
xi xi xin ai
... 1 2
. (3.2)
Для этого в соответствующую ячейку вводим знак «=», нажимаем на кнопку
«fx», выбираем функцию СУММ().
Установив курсор в микроокно «Число1», указываем в нѐм всю строку, на
которой находится выбранная ячейка, таблицы, зарезервированной для переменных. После нажатия на кнопку «ОК» в строке против кнопки «fx» в скобках
СУММ() будут высвечены списки номеров ячеек (в виде диапазона), участвующих в формировании функции
n
j
xij
1
левой части ограничения (3.2).
3. В ячейки над столбцами таблицы для переменных вводим левые части
ограничений
x j x j xmj bj
... 1 2
. Делается это по той же схеме, что и для
ограничений вида (3.2).
4. Вызываем режим «Поиск решений» и далее вводится сценарий по
стандартной схеме. При этом, если задача имеет тип закрытого, то все ограничения (кроме ограничений неотрицательности) типа «=». Наконец, не забываем, что правые части это объѐмы запасов поставщиков и потребности потребителей.
П р и м е р 1 . Решить следующую транспортную задачу в режиме «Поиск
решения»:
bj
ai
25 25 25 25
20 4 2 3 5
40 3 4 4 3
40 2 3 4 5
88
Р е ш е н и е . 1) Введѐм в ячейки В2:Е4 (от В2 до Е4) стоимости перевозок,
ячейки G2:J4 резервируем для переменных
x (i 1, 3, 3; j 1, 2, 3, 4)
ij
. Таким
образом, ячейка F1 будет целевой:
2) В ячейку F1 вводим целевую функцию:
«=» Кнопка «fx» СУММПРОИЗВ(В2:Е4, G2:J4).
После нажатия на ячейку «ОК» в ячейке F1 высветится 0.
3) В каждую из ячеек F2, F3, F4 вводим левые части ограничений по a1,
a2, a3:
«=» Кнопка «fx» СУММ(G2:J2),
«=» Кнопка «fx» СУММ(G3:J3),
«=» Кнопка «fx» СУММ(G4:J4).
В ячейках F2, F3, F4 высветится 0:
89
4) В каждую из ячеек G1, H1, I1, J1 вводим левые части ограничений по
b1, b2, b3, b4:
«=» Кнопка «fx» СУММ(G2:G4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(H2:H4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(I2:I4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(J2:J4).
В ячейках G1, H1, I1, J1 высветится 0:
5) Вызываем окно «Поиск решения» и устанавливаем необходимые параметры: «Установить целевую функцию», на «Минимум», «Изменяя ячейки
G2:J4», вводим ограничения. При этом правые части ограничений это запасы
90
поставщиков и потребности потребителей, то есть F2=20, F3=40, F4=40, G1=25,
H1=25, I1=25, J1=25:
6) Нажать на кнопку «Выполнить» или «Найти решение».
О т в е т : Матрица перевозок следующая:
25 7,5 7,5 0
0 0 15 25
0 17,5 2,5 0
. Минимальная стоимость перевозок составит 280 ден. единиц.
З а м е ч а н и е . Варианты перевозок могут не совпадать с вариантом, полученным методом потенциалов. Более того, при решении на компьютере не
обязательно будет предложены перевозки в m+n1 клетках. Но стоимости в
любом варианте перевозок должны совпадать!
П р и м е р 2 . Решить следующую транспортную задачу в режиме «Поиск
решения»:
bj
ai
35 25 30 40
50 5 4 6 4
40 3 3 2 3
40 4 2 3 5
91
Приложение 3. Сведение задачи дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования
Задача дробно-линейного программирования это задача нелинейного
программирования, у которой целевая функция дробно-линейная, а система
ограничений линейная:
1 1 2 2 0
1 1 2 2 0
...
...
d x d x d x d
c x c x c x c
n n
n n
extr
0 ( 1, 2, ..., ).
... ,
... ,
... ,
1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1
x j n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
j
m m mn n m
n n
n n
(2.1)
Эта задача сводится к следующей задаче линейного программирования:
c1y1+c2y2+…+cnyn extr
0, 0 ( 1, 2, ..., ).
... 1,
... 0,
... 0,
... 0,
0
0 0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
2 0 2 1 1 2 2 2 2
1 0 1 1 1 1 2 2 1
y y j n
d y d y d y d y
b y a y a y a y
b y a y a y a y
b y a y a y a y
j
n n
m m m mn n
n n
n n
(2.2)
Между переменными y0, xj
, yj (j=1, …, n) имеют место следующие связи:
y0=
1 1 2 2 0
...
1
d x d x dn xn d
, yj=xjy0 (j=1, …, n) (2.3)
Поэтому, решив задачу (2.2), находят значения y0, yj (j=1, …, n), по которым
находят xj=
0
y
yi
. Значения целевых функций задач (2.1) и (2.2) на оптимальных
решениях совпадают.
П р и м е р 1 . Дана задача дробно-линейного программирования:
2 1
2
1 2
1 2
x x
x x
max
0.
2 6,
2 2,
1,2
1 2
1 2
x
x x
x x
92
Решить еѐ, сведя к задаче линейного программирования.
Р е ш е н и е . Исходная задача имеет вид (2.1). Тогда она сводится к задаче
вида (2.2):
2y1y2 max
0, 0.
2 1,
6 2 0,
2 2 0,
0 1,2
0 1 2
0 1 2
0 1 2
y y
y y y
y y y
y y y
Полученную задачу линейного программирования решаем, например, с
использованием компьютера в режиме «Поиск решения» (или с помощью симплекс-метода (вручную, на вкус студента)). Получаем решение Y0=
, 0
3
2
,
3
1
,
Fmax=
3
4
, то есть y0=
3
1
, y1=
3
2
, y2=0. Тогда x1=
0
1
y
y
=
3
2
:
3
1
=2, x2=
0
2
y
y
=0:
3
1
=0. Значит, X0=(2, 0), Fmax=
3
4
.
О т в е т . X0=(2, 0), Fmax=
3
4
.
П р и м е р 2 . Решить задачу дробно-линейного программирования:
1 2
1 2
3
2
x x
x x
max
1 2
1 2
1, 2
3 3,
2 4 8,
0.
x x
x x
x
93
Приложение 4. Сведение многоцелевой задачи линейного программирования к одноцелевой
§1. Постановка задачи векторной оптимизации и принципиальные подходы к еѐ решению
1.1. Постановка задачи векторной оптимизации. На практике чаще всего рассматриваются задачи с несколькими целевыми функциями.
Так, покупатель чаще всего не может себе позволить купить товар
наивысшего качества и с наибольшим числом функций (потребительских
свойств), так как с ростом этих показателей растѐт и цена товара. Он старается купить, с одной стороны, товар достаточного качества с достаточно
большим числом наборов функций, с другой стороны, с приемлемой для
него ценой. Руководитель производства не может гнаться за одним прибылем. Ему нужно думать о заработной плате работников, на различного
рода отчисления, которые обязательно отрицательно сказываются на прибыли.
И в первом, и во втором примерах необходимо выбрать «золотую середину»: чтобы и качество товара было достаточно высоким, и цена еѐ
была достаточно низкой, и прибыль у предприятия была достаточно высокой, и заработная плата рабочих была достаточно высокой, и отчисления
были не слишком высокими.
Таким образом, на практике приходится решать задачи с несколькими критериями. В этих случаях математическая модель задачи имеет несколько целевых функций. При этом некоторые из этих функций требуют
нахождения максимума, некоторые – минимума. Поэтому ставится задача
нахождения такого компромиссного решения задачи, в котором значения
всех рассматриваемых функций были бы приближены к экстремальным
значениям. Такие задачи называются задачами векторной оптимизации,
или многокритериальными задачами. Задачи с одной целевой функцией
называют ещѐ задачами скалярной оптимизации.
В настоящее время решение таких задач разработаны недостаточно
полно. Причѐм одна и та же задача может быть решена несколькими способами, в основе которых лежат разные принципиальные подходы к решени. Причѐм разные способы дают, как правило, разные решения!
1.2. Принципиальные подходы к решению задач векторной оптимизации.
1. Строится одна целевая функция.
94
Причѐм и здесь нет единого подхода. Например, один из методов рекомендует для задачи с целевыми функциями f1, f2, …, fk построить функцию f следующим образом:
1) Привести экстремумы всех функций f1, f2, …, fk к одному виду
экстремума. Это возможно в силу очевидного fi max fi min.
2) Определить веса i функций fi (i=1, 2, …, k) по их важности.
Например, вес функции, который имеет важность 30% по сравнению с
остальными, получит вес =0,3.
3) Строим единую функцию f =1f1+2f2+…+kfk.
4) Определяем значения переменных, при которых достигается экстремум единой функции.
5) Определяем значения исходных функций при найденных значениях переменных.
Другой метод построения единой целевой функции мы рассмотрим
ниже при рассмотрении многоцелевой задачи линейного программирования.
2. Ранжировка целевых функций и оптимизация по их важности.
1) Целевые функции располагаются по важности.
2) Оптимизируют самую важную целевую функцию. Найдя приемлемый
интервал, в котором лежит оптимальное значение этой целевой функции
(вплоть до того, что приравняв эту целевую функцию найденному оптимальному значению), рассматривают новую задачу, целевой функцией которой является вторая по важности целевая функция исходной, и которая имеет дополнительное ограничение: интервал, в котором лежит оптимальное значение самой
важной целевой функции.
3) Решают полученную задачу, и снова, как и в предыдущем шаге, рассматривают новую задачу, целевой функцией которой является третья по важности целевая функция исходной, и которая имеет дополнительное ограничение: интервал, в котором лежит оптимальное значение третьей по важности целевой функции.
И т.д. до тех пор, пока не решат задачи с каждой целевой функцией.
3. Превращение всех целевых функций в ограничения.
Выбирается одна целевая функция. Остальные функции ограничивают
интервалами, в которых руководитель хочет видеть их значения. Получается
задача с одной целевой функцией.
95
§2. Многоцелевая задача линейного программирования
2.1. Постановка многоцелевой задачи линейного программирования.
Многоцелевой задачей линейного программирования называется задача
линейного программирования с несколькими (линейными) целевыми функциями. Таким образом, многоцелевая задача линейного программирования имеет
следующую математическую модель:
c11x1+c12x2+…+c1nxn extr1,
c21x1+c22x2+…+c2nxn extr2,
……………………………..
ck1x1+ck2x2+…+cknxn extrk,
0 ( 1, 2, ..., ).
... ,
... ,
... ,
1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1
x j n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
j
m m mn n m
n n
n n
Здесь extri{min, max}, i=1, 2, …, k.
Решить многоцелевую задачу линейного программирования это значит
найти такое решение, при котором значения всех целевых функций будут
наиболее близки к их экстремальным значениям. Назовѐм такое решение компромиссным. На сегодняшний день разработан целый ряд подходов и методов
к решению многоцелевой задачи линейного программирования. Следует сразу
отметить, что разные подходы и методы не дают однозначного ответа. Один из
подходов к решению таких задач заключается в сведении задачи к одноцелевой.
Мы рассмотрим два метода сведения задачи к одноцелевой.
2.2. Метод идеальной точки рассмотрим на примере задачи с двумя переменными и двумя целевыми функциями:
c11x1+c12x2 extr1,
c21x1+c22x2 extr2,
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
1 2
,
,
,
0, 0.
m m m
a x a x b
a x a x b
a x a x b
x x
Алгоритм метода следующий:
96
1. Найти область допустимых решений (ОДР) задачи (то есть в прямоугольной декартовой системе (ПДСК) Ox1x2 построить множество решений системы ограничений задачи). Допустим, многоугольник A1A2…Al ОДР.
2. Найти координаты вершин Ai ОДР.
3. В ПДСК OC1C2 изобразить образ ОДР при отображении C с матрицей
C=
11 12
21 22
c c
c c
. Для этого подставляя координаты (
( )
1
i
x ,
( )
2
i
x
) точки Ai в целевые
функции, найти координаты (c11
( )
1
i
x
+c12
( )
2
i
x , c21
( )
1
i
x
+c22
( )
2
i
x
) образа
Ai
при этом
отображении. Многоугольник
A1
A2
… Al
есть искомый образ ОДР.
4. Найти в ПДСК OC1C2 так называемую точку утопии U(
1
C1 extr
,
2
C2 extr
),
где
1
C1 extr =extr1(c11x1+c12x2),
2
C2 extr =extr2(c21x1+c22x2).
5. На многоугольнике
A1
A2
… Al
найти ближайшую к точке U утопии
точку I. Это так называемая идеальная точка.
6. Решив систему
0
11 1 12 2 1
0
21 1 22 2 2
,
,
c x c x C
c x c x C
где
0 0
1 2 ( , ) C C координаты идеальной точки, определить значения x1 и x2, при которых достигаются компромиссные значения
0 C1
и
0 C2
целевых функций задачи.
П р и м е р 1 . Решить многоцелевую задачу линейного программирования
методом идеальной точки:
4x1+ x2 max,
x1+4x2 min,
0.
3 2 3,
2 6,
4 4 16,
3 5 18,
1,2
1 2
1 2
1 2
1 2
x
x x
x x
x x
x x
Р е ш е н и е . Действуем по вышеописанному алгоритму:
97
1. Найдѐм ОДР задачи. ОДР задачи треугольник ABC на Рис. 1 (подробности опускаем):
Рис. 1
2. Найдѐм координаты вершин A, B, C ОДР (подробности опускаем): A(0,
3
2
), B(0,
18
5
), C(1, 3).
3. В ПДСК OC1C2 изобразим образ ОДР при отображении C с матрицей
C=
4 1
1 4
. Для этого подставляя координаты точек A, B, C в целевые функции,
находим координаты их образов A, B, C соответственно:
A=(40+
3
2
, 0+4
3
2
)=(
3
2
, 6), B=(40+
18
5
, 0+4
18
5
)=(
18
5
,
92
5
),
C=(41+3, 1+43)=(7, 13).
Треугольник ABC есть искомый образ ОДР (Рис. 2):
98
Рис. 2 Рис. 3
4. Найдѐм точку утопии U. Это точка, координаты которой равны экстремумам целевых функций, как если бы они рассматривались в отдельной одноцелевой задаче с данной системой ограничений. Из Рис. 3 видно, что максимум
первой целевой функции равен 7 (
C1max
=7), а минимум второй целевой функции равен 6 (
C2 min =6). Поэтому U(7, 6) точка утопии.
5. На треугольнике ABC найдѐм ближайшую к точке U утопии точку I
идеальную точку. Ясно, что она лежит на стороне AC и является основанием
перпендикуляра, опущенного из точки U к прямой AC. Поэтому точку I находим по следующей схеме:
99
5.1. Находим уравнение прямой AC.
5.2. Находим уравнение прямой, проходящей через точку U перпендикулярно к AC.
5.3. Координаты I ищем как координаты точки пересечения прямых,
найденных в п.п. 5.1 и 5.2.
Итак:
5.1. Находим уравнение прямой AC как уравнение прямой, проходящей
через точки A и C:
3
1 2 2
3
2
6
7 13 6
C C
3
1 2 2
11
2
6
7
C C
.
После очевидных алгебраических преобразований полученного канонического уравнения прямой приходим к еѐ общему уравнению:
14С111С2+45=0.
5.2. Находим уравнение прямой, проходящей через точку U(7, 6) перпендикулярно к AC:
11
2
(С17)+(С26)=0, что равносильно .
11С1+14С2161=0.
5.3. Координаты I ищем как координаты точки пересечения прямых,
найденных в п.п. 5.1 и 5.2:
1 2
1 2
14 11 45,
11 14 161,
C C
C C
1141
1 317
2749
2 317
3,6,
8,62.
C
C
6. Решив систему
1141
1 2 371
2749
1 2 371
4 ,
4 ,
x x
x x
определяем значения x1 и x2, при которых достигаются компромиссные значения
1141 C1
317
и
2749 C2
317
целевых
функций задачи. Решение системы 1
x 0,33
и
2
x 1,77.
О т в е т . Компромиссные значения
1141 C1
317
и
2749 C2
317
целевых функций
достигаются задачи достигаются при
1
x 0,33
и
2
x 1,77.
1.3. Метод введения дополнительной переменной заключается в следующем:
1. Задача решается для каждой целевой функции отдельно, то есть для
каждого i=1, 2, …, k решается задача
100
ci1x1+ci2x2+…+cinxn extri
,
0 ( 1, 2, ..., ).
... ,
... ,
... ,
1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1
x j n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
j
m m mn n m
n n
n n
(1.1)
Пусть Ci=extri (то есть Ci экстремальное значение целевой функции задачи
(1.1))
2. Составляется новая задача линейного программирования:
xn+1 min,
0 ( 1, 2, ..., ),
... ,
... ,
... ,
... ,
... ,
... ,
1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1
1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2 2 1 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 1
x j n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
c x c x c x C x c
c x c x c x C x c
c x c x c x C x c
j
m m mn n m
n n
n n
k k k n n k n k
n n n
n n n
(1.2)
где «»=«+» и «»=«», если Ci=extri=max, и «»=«» и «»=«», если
Ci=extri=min.
3. Решается задача (1.2) обычным образом (например, симплексметодом или методом искусственного базиса; можно на компьютере в Excel,
кому как нравится).
4. Находятся значения целевых функций исходной задачи при найденном решении.
5. Формулируется ответ, в котором указывается: решение , при котором
достигается компромиссное решение, и значения всех целевых функций при
данном решении.
П р и м е р 2 . Решить задачу Примера 1 введением дополнительной переменной.
Р е ш е н и е . 1. Решаем задачу для каждой целевой функции отдельно,
например, в оболочке Excel в режиме поиск решения:
101
4x1+x2 max, x1+4x2 min,
0.
3 2 3,
2 6,
4 4 16,
3 5 18,
1,2
1 2
1 2
1 2
1 2
x
x x
x x
x x
x x
0.
3 2 3,
2 6,
4 4 16,
3 5 18,
1,2
1 2
1 2
1 2
1 2
x
x x
x x
x x
x x
Решения этих задач и их сценарии следующие:
Решение первой: X1=(1, 3), Fmax=7.
Решение второй: X1=(0, 3/2), Fmin=6.
2. Составляем новую задачу линейного программирования:
102
x3 min,
0.
3 2 3,
2 6,
4 4 16,
3 5 18,
4 6 6,
4 7 7,
1,2,3
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 3
1 2 3
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
1. Решаем полученную задачу в оболочке Excel (в режиме «Поиск решения»). В отдельные ячейки вводим целевые функции. Сценарий и результаты
решения следующие:
В ячейках А1, А2, А3 значения соответственно x1, x2, x3, в ячейках D1 и
E1 значения целевых функций, соответственно первой и второй.
О т в е т : X0=(0,402439; 2,103659); C1=3,713415; C2=8, 817073.
1.4. Упражнение. Решить многоцелевую задачу линейного программирования методами идеальной точки введения дополнительной переменной:
а) 3x1+2x2 extr1 б) 2x1+5x2 extr1
x1+4x2 extr2 4x1+3x2 extr2
0, 0.
2 3 12,
8 3 24,
2 3 24,
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
0, 0.
2 3 0,
8 3 24,
2 3 24,
1 2
1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x
x x
103
Приложение 5. Элементы теории игр
§1. Предмет теории игр. Основные понятия. Некоторые виды игр
1.1. Предмет теории игр. На практике очень часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых участвуют две или более сторон, имеющие различные интересы, и обладающие возможностями применять для достижения
своих целей различные действия. Такие ситуации называются конфликтными
или просто конфликтами.
Типичный конфликт характеризуется тремя основными составляющими:
1) заинтересованными сторонами;
2) возможными действиями этих сторон;
3) интересами сторон.
Конфликтная ситуация из реальной жизни достаточно сложна и не поддаѐтся точному описанию. Тем более, что она осложняется мелочными обстоятельствами, которые на самом деле не оказывают сколь-нибудь влияния ни на
течение конфликта, ни на еѐ исход. Поэтому для анализа конфликтной ситуации необходимо отвлечение от второстепенных факторов, что позволяет построить упрощѐнную формализованную модель конфликта, которая называется
игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается ещѐ и тем, что ведѐтся по вполне определѐнным правилам. Необходимость изучения и анализа
конфликтов, представляемых в виде упрощѐнных математических моделей
(игр) привело к созданию теории игр.
1.2. Основные понятия. Заинтересованные стороны называются игроками. Любое возможное для игрока действие (в рамках заданных правил игры)
называется его стратегией. В условиях конфликта каждый игрок выбирает
свою стратегию, в результате чего складывается набор стратегий, называемых
ситуацией. Заинтересованность игроков в ситуации проявляется в том, что
каждому игроку в каждой ситуации приписывается число, выражающее степень
удовлетворения его интересов в этой ситуации и называемое его выигрышем в
ней.
1.3. Некоторые виды игр. Протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком своей стратегии и получении им в сложившейся ситуации выигрыша из некоторого источника. На этом пути создаѐтся теория игр с выигрышами.
Однако оценка игроком ситуации путѐм предположения о своѐм выигрыше не всегда возможна практически и даже не всегда имеет смысл.В подобных случаях иногда удаѐтся вместо прямых численных оценок ситуаций указы-
104
вать на их сравнительную предпочтительность для отдельных игроков. На этом
пути создаѐтся теория игр с предпочтениями, включающая в себя и теорию
игр с выигрышами.
См. также Состязательные задачи из Приложения 1, §3.
1.4. Дальнейшие понятия. Ситуация равновесия (равновесная ситуация) это ситуация, в нарушении которой не заинтересован ни один из игроков. В этой ситуации каждый из игроков получает наибольший из возможных
своих выигрышей.
§2. Матричные игры
2.1. Понятие матричной игры. Рассмотрим игру, в которой участвуют
два игрока, причѐм каждый из них имеет конечное число стратегий. Обозначим
одного игрока через A, другого через B.
Предположим, игрок A имеет m стратегий: A1, A2, …, Am, а игрок B n
стратегий: B1, B2, …, Bn.
Пусть игрок A выбрал стратегию Ai
, а игрок B стратегию Bj
. Будем считать, что выбор игроками стратегий Ai и Bj однозначно определяет исход игры
выигрыш aij игрока A и выигрыш bij игрока B. Тогда матрица A=(aij)mn называется матрицей выигрышей игрока A, а матрица B=(bij)mn матрицей выигрышей игрока B. Матрицы A и B ещѐ называются платѐжными матрицами.
Ясно, что в общем случае AB, и мы имеем дело с двумя платѐжными матрицами. Поэтому игра называется биматричной. Но если имеет место равенство
A=B (выигрыш одного игрока означает такой же проигрыш другого), то нам
достаточно знать одну матрицу. В этом случае игра называется матричной.
Ещѐ названия: игра mn или mn-игра.
2.2. Равновесная ситуация. Пусть имеется матричная игра с платѐжной
матрицей A=(aij)mn. Задача каждого из игроков найти наилучшую стратегию
игры, при этом предполагается, что противники одинаково разумны и каждый
из них делает всѐ, чтобы получить наибольший доход.
Найдѐм наилучшую стратегию первого игрока: минимальное число aij в
каждой строке обозначим через i (i=1, 2, …, m):
i=min ij j
a .
Зная i
, то есть минимальные выигрыши при различных стратегиях Ai
,
первый игрок выберет ту стратегию, для которой i максимально. Обозначим
это максимальное значение через . Тогда
105
=maxmin ij i j
a .
Величина гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе первый игрок, называется нижней ценой игры (максимином).
Аналогично, для определения наилучшей стратегии второго игрока
найдѐм максимальные значения выигрыша по столбцам и, выбрав из них минимальное значение, получим
=minmax ij j i
a ,
где верхняя цена игры (минимакс).
Если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии,
то он гарантирован, что в любом случае проиграет не больше .
Для матричной игры справедливо неравенство
.
Если =, то такая игра называется игрой с седловой точкой, а пара оптимальных стратегий (Aiопт, Bjопт) седловой точкой матрицы. В этом случае элемент
aij= называется ценой игры, является одновременно минимальным в i-й строке
и j-м столбце. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в
чистых стратегиях.
2.3. Смешанные стратегии. Если игра является игрой без седловой точки (то есть когда нижняя цена игры и верхняя цена игры не совпадают:
<), то при многократном повторении игры игроки свои стратегии могут применить так, чтобы в среднем каждый игрок получил определѐнный средний
фиксированный выигрыш. А именно, каждый игрок применяет свои стратегии
случайным образом с определѐнными вероятностями. Получается сложная
стратегия, называемая смешанной.
Пусть игрок А применяет свои стратегии A1, A2, …, Am соответственно с
вероятностями p1, p2, …, pm, а игрок B применяет свои стратегии B1, B2, …, Bn
соответственно с вероятностями q1, q2, …, qn. Тогда математическое ожидание
M(A, B)=
m
i
n
j
aij piq j
1 1
двумерной случайной величины (A, B) средний выигрыш игрока A. Обозначим его через V(A, P, Q). Попутно заметим, что
p1+p2+…+pm=q1+q2+…+qn=1.
Стратегии P
0
=(
0
1 p ,
0
2 p , …,
0
pm
) и Q
0
=(
0
1 q ,
0
2 q , …,
0
n q
) называются оптимальными (смешанными) стратегиями игроков А и B соответственно, если
выполнено следующее соотношение: V(A, P, Q
0
)V(A, P
0
, Q
0
)V(A, P
0
, Q). Ве-
106
личина =V(A, P
0
, Q
0
) называется ценой игры. Набор (P
0
, Q
0
, ) называется решением игры. Решить игру это значит найти еѐ решение.
Возникают два вопроса:
1) Какие матричные игры имеют решение в смешанных стратегиях?
2) Как находить решение матричной игры, если оно существует?
Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы:
Теорема 1. (Дж. фон Нейман). Для матричной игры с любой матрицей A
величины
max min
P Q
V(A, P, Q) и
min max
Q P
V(A, P, Q) существуют и равны между
собой:
V(A, P
0
, Q
0
)=max min
P Q
V(A, P, Q)=
minmax
Q P
V(A, P, Q).
Более того, существует хотя бы одна ситуация (P
0
, Q
0
) в смешанных
стратегиях, для которой выполняется соотношение
max min
P Q
V(A, P, Q)=minmax
Q P
V(A, P, Q).
Теорема 2. Пусть P
0
=(
0
1 p ,
0
2 p , …,
0
pm
) и Q
0
=(
0
1 q ,
0
2 q , …,
0
n q
) оптимальные стратегии и цена игры.
Оптимальная смешанная стратегия P
0
игрока A смешивается только из
тех чистых стратегий Ai
, i=1, 2, …, m (то есть только те вероятности pi
,
i=1, 2, …, m, могут быть отличны от нуля), для которых
0
1
n
ij j
j
a q
=.
Аналогично, только те вероятности qj могут быть отличны от нуля,
для которых
0
1
m
ij i
i
a p
=.
Имеют место соотношения
=
0
1
1
min
m
ij i k n i
a p
=
1
1
max min
m
ij i P j n i
a p
=
1
1
min max
n
ij j Q i m j
a q
=
0
1
1
max
n
ij j i m j
a q
=.
Последнее скопление равенств и питают методы построения решений
матричных игр.
2.4. Геометрический метод решения матричной игры.
1) Решение 2m-игры. Пусть
n
n
a a a
a a a
21 22 2
11 12 1
...
...
платѐжная матрица
2n-игры. Тогда игру можно решить геометрически. Достигается это следующим образом:
107
I этап (шаги 1 3). Определяются вероятности (p1, p2)=(p, 1p) применения первым игроком соответственно первой и второй своих стратегий:
1. На плоскости pOw проводятся прямые w=(a1ka2k)p+a2k, k=1, 2, …, n.
Получаем некоторое семейство прямых.
2. Проводится нижняя огибающая этих прямых.
3. Определяется верхняя точка (p
0
, w
0
) нижней огибающей. Еѐ абсцисса
p
0
и есть вероятность применения первым игроком своей первой стратегии:
p1=p
0
, а ордината цена игры: =w
0
. Тогда p2=1p
0
.
II этап (шаги 4, 5). Определяются вероятности q1, q2, …, qn применения
своих стратегий вторым игроком:
4. Пусть (p
0
, w
0
) (верхняя точка нижней огибающей) точка пересечения
i-й и j-й прямых, соответственно w=(a1ia2i)p+a2i и w=(a1ja2j)p+a2j
. Тогда qk=0
для всех k={1, 2, … n}\{i, j}, и можно положить qi=q, qj=1q.
5. Вероятности qi=q и qj=1q определяются из системы уравнений (точнее, только вероятность qi
, а по ней определяется qj)
(1 ) .
(1 ) ,
0
2 2
0
1 1
a q a q w
a q a q w
i j
i j
6. Выписываем ответ ((p
0
, 1p
0
), (0, …, 0, qi
, 0, …, 0, qj
, 0, …, 0), w
0
).
2) Решение m2-игры проводится по схеме, аналогичной схеме 2mигры с некоторыми своими особенностями. Они следующие:
1. Пусть
1 2
21 22
11 12
am am
a a
a a
платѐжная матрица m2-игры. Тогда события
«разворачиваются» на плоскости qOw вокруг прямых w=(ak1ak2)q+ak2, k=1, 2,
…, m.
2. Проводится верхняя огибающая этих прямых и определяется нижняя
точка (q
0
, w
0
) этой огибающей. Еѐ абсцисса q
0
вероятность применения вторым игроком своей первой стратегии: q1=q
0
, q2=1q
0
вероятность применения
второй стратегии, =w
0
цена игры.
3. Если прямые w=(ai1ai2)q+a i 2 и w=(aj1aj2)q+aj2 пересекаются в точке
(q
0
, w
0
) то qk=0 для всех k={1, 2, …, m}\{i, j}, и полагаем pi=q, pj=1p.
4. По системе
108
0
1 2
0
1 2
(1 )
(1 ) ,
a p a p w
a p a p w
j j
i i
определяем pi и pj
.
Не забываем сформулировать ответ ((0, …, 0, pi
, 0, …, 0, pj
, 0, …, 0), (q
0
,
1q
0
), w
0
).
П р и м е р 1 . Решить 24-игру с матрицей
2 2 3 2
4 3 2 6
.
Р е ш е н и е . Замечаем, что при сравнении первого и второго столбцов (то
есть при сравнении первого и второго стратегий второго игрока) второй более
выгоден для второго игрока, чем первый. Первому игроку, наоборот, первый
более выгоден, чем второй. Поэтому второй игрок, сравнивая свои первую и
вторую стратегии, будет предпочитать вторую (относительно первой), и
поэтому второй столбец можно исключить из матрицы:
2 3 2
4 2 6
.
I этап. Определяем вероятности применения первым игроком соответственно первой и второй своих стратегий:
1) Проводим прямые
(1) w=(42)p+2 w=2p+2
(2) w=(23)p+3 w=p+3
(3) w=(6(2))p2 w=8p2
2) Нижняя огибающая это угол
ABC
:
O
p
w
2
4
6
2
1
(1)
(2)
(3)
109
3) Верхняя точка этой огибающей это точка B. Это точка пересечения
прямых (2) и (3). Находим еѐ координаты:
p w
p w
8 2
3 ,
p+3=8p2 9p=5 p=
9
5
,
то есть p1=
9
5
, p2=1p=
9
4
, =w=
9
5
+3=
9
22
.
II этап. Определяем вероятности применения своих стратегий вторым
игроком:
3) B
,
9
5
9
22
верхняя точка нижней огибающей точка пересечения
второй и третьей прямых. Поэтому q1=0.
4) Вероятности q2=q и q3=1q определяем из системы уравнений
.
9
22 3 2(1 )
,
9
22 2 6(1 )
q q
q q
Имеем следующие равносильности:
.
9
22 3 2(1 )
,
9
22 2 6(1 )
q q
q q
2q+6(1q)=3q2(1q) 9q=8 q=
9
8
, q3=1q=
9
8
.
О т в е т :
,
9
4
,
9
5
,
9
1
,
9
8
0, 0,
9
22
(В исходной задаче у второго игрока
четыре стратегии. Поэтому в ответе учитываем все!)
C
B
A
O
p
w
2
4
6
2
1
(1)
(2)
(3)
110
П р и м е р 2. Найти решение 42-игры:
6 2
2 3
3 2
4 2
.
Р е ш е н и е . Так же, как и предыдущем примере, первому игроку
выгоднее применение первой стратегии по сравнению со второй. Поэтому
вторую строку исключаем из матрицы:
6 2
2 3
4 2
1) Стром прямые
(1) w=(42)q+2 w=2q+2
(2) w=(23)q+3 w=q+3
(3) w=(6(2))q2 w=8q2
2) Верхняя огибающая этих прямых это ломаная (ABCD):
O
q
w
2
4
6
2
1
(1)
(2)
(3)
D
C B
O
q
w
2
4
6
2
1
(1)
(2)
(3)
A
111
3) Нижняя точка этой огибающей это точка B. Это точка
пересечения прямых (1) и (2). Находим еѐ координаты:
q w
q w
3
2 2 ,
2q+2=q+3 3q=1 q=
3
1
,
то есть q1=
3
1
, q2=1q=
3
2
, =w=
3
8
.
4) B
,
3
1
3
8
нижняя точка верхней огибающей точка пересечения
первой и второй прямых. Поэтому p3=0.
5) Вероятности p1=p и p2=1p определяем из системы уравнений
.
3
8
2 3(1 )
,
3
8
4 2(1 )
p p
p p
Имеем следующие равносильности:
.
3
8
2 3(1 )
,
3
8
4 2(1 )
p p
p p
4p+2(1p)=2q+3(1p) 3q=1 p=
3
1
, p3=1p=
3
2
.
О т в е т :
, 0,
3
2
, 0,
3
1
,
3
2
,
3
1
3
8
(Снова ответ формулируем с учѐтом
того, что в исходной задаче у первого игрока четыре стратегии.)
2.5. Решение матричной игры сведением к задаче линейного
программирования. Пусть имеется матричная игра с платѐжной матрицей
A=(aij)mn (m и n произвольные). Еѐ можно свести к следующей паре симметричных двойственных задач:
x1+x2+…+xm min,
0 ( 1, 2, ..., ).
... 1,
... 1,
... 1,
1 1 2 2
1 2 1 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2 1
x i m
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
i
n n mn m
m m
m m
(5.1)
112
y1+y2+…+yn max,
0 ( 1, 2, ..., ).
... 1,
... 1,
... 1,
1 1 2 2
2 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 1
y j n
a y a y a y
a y a y a y
a y a y a y
j
m m mn n
n n
n n
(5.2)
Переменные xi и yj этих задач связаны с вероятностями pi и qj стратегий соответственно первого и второго игроков соотношениями
x1+x2+…+xm=y1+y2+…+yn=
1
(5.3)
pi=xi, (i=1, 2, …, m) (5.4)
qj=yj, (j=1, 2, …, n) (5.5)
Это означает, что для решения исходной матричной игры достаточно решить
задачи (5.1), (5.2), затем по формулам (5.3) (точнее, по одной из них, так как
здесь на самом деле две формулы) найти , и, наконец, по формулам (5.4) и
(5.5) найти pi (i=1, 2, …, m) и qj (j=1, 2, …, n).
З а м е ч а н и е . Для решения пары двойственных задач (5.1) и (5.2) достаточно поступить следующим образом: сначала решить одну из них, например
(5.2), и по еѐ решению Y
0
=(
0
1
y ,
0
2
y , …,
0
ym
) с применением второй теоремы
двойственности
( ... 1) 0
( ... 1) 0,
( ... 1) 0,
( ... 1) 0,
( ... 1) 0,
( ... 1) 0,
0 0
2 2
0
1 1
0
0
2
0
2 2 2
0
1 2 1
0
2
0
1
0
2 1 2
0
1 1 1
0
1
0 0
2 2
0
1 1
0
0
2
0
2 2 2
0
2 1 1
0
2
0
1
0
1 2 2
0
1 1 1
0
1
n n n mn m
m m
m m
m m m mn n
n n
n n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
x a y a y a y
x a y a y a y
x a y a y a y
найти решение X
0
=(
0
1 x ,
0
2 x , …,
0
xm
) задачи (5.1).
П р и м е р 3. Решить матричную игру сведением еѐ к задаче линейного
программирования с матрицей
3 4 5
4 3 2
6 3 1
.
113
Р е ш е н и е . 1) Составим пару (симметричных) двойственных задач:
x1+x2+x3 min, y1+y2+y3 max,
0 ( 1, 2, 3),
2 5 1,
3 3 4 1,
6 4 3 1,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x i
x x x
x x x
x x x
i
0 ( 1, 2, 3).
3 4 5 1,
4 3 2 1,
6 3 1,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
y j
y y y
y y y
y y y
j
2) Решим обе задачи, например, с использованием режима «Поиск
решений».
Решение первой и его сценарий следующие:
Таким образом, x1=0.066667, x2=0, x3=0.2,
1
=0.266667, откуда =3.75,
p1=x1=0.0666673.75=0.25, p2=x2=0=0, p3=x3=0.23.75=0.75. Таким образом,
P
0
=(0.25, 0, 0.75) оптимальная стратегия первого игрока.
Решение второй и его сценарий следующие:
114
Таким образом, y1=0.066667, y2=0.2, y3=0, q1=y1=0.0666673.75=0.25,
q2=y2=0.23.75=0.75, q3=y3=0=0. Таким образом, Q
0
=(0.25, 0.75, 0)
оптимальная стратегия второго игрока.
О т в е т : ((0.25, 0, 0.75), (0.25, 0.75, 0), 3.75).
3.1. Упражнения.
1. Решить геометрическим методом матричную игру с платѐжной матрицей: а)
3 4 1 5
1 2 4 2
; б)
6 3
4 3
2 5
5 2
.
2. Решить матричную игру сведением к задаче линейного программирования:
8 4 2
5 4 3
3 5 7
115
Приложение 6. Понятие о потоках в сетях и их оптимизации
1. Общая постановка задачи. Будем рассматривать ориентированный
граф как сеть труб, по которым некоторое вещество движется от истока (источника), где оно производится с некоторой постоянной скоростью, к стоку (приѐмнику). Где оно потребляется с той же скоростью. Вместо потоков вещества
можно рассматривать движение тока по проводам, деталей по конвейеру, потоки автомобилей в сети автострад, пересылки товаров по железной дороге (без
хранения их на промежуточных станциях), передачу информацию по линиям
связи или товаров от производителя к потребителю. Как и в задаче о кратчайших путях, которые мы рассматривали в курсе дискретной математики, поставим в соответствие каждой дуге графа неотрицательное действительное число.
Однако если раньше это число означало длину пути, то теперь оно может быть
шириной дороги или пропускной способностью трубы максимальной скоростью потока жидкости или газа в трубе. Мы считаем, что ни в одной вершине
графа вещество не накапливается сколько приходит, столько и уходит (если
вершина не является истоком или стоком). Последнее свойство называется законом сохранения потока. В частности, для электрического тока это свойство
является первым законом Кирхгофа.
Задача о максимальном потоке для данной сети состоит в следующем:
найти максимально возможную скорость производства (потребления) вещества,
при которой его ещѐ можно доставить от истока к стоку при данных пропускных способностях каналов доставки.
После точной математической формулировки этой задачи на языке теории графов мы рассмотрим классический метод еѐ решения метод ФордаФалкерсона.
2. Некоторые понятия. Уточнение постановки задачи. Назовѐм сетью
ориентированный граф G=(V, E), каждой дуге (u, v)E которого поставлено в
соответствие действительное число c(u, v)0, называемое пропускной способностью дуги. В случае (u, v)E мы полагаем c(u, v)=0. В графе G выделены две
вершины: исток s и сток t. Для простоты будем предполагать, что в графе G
нет «бесполезных» вершин (каждая вершина vV лежит на каком-то пути
svt из истока в сток). В таком случае граф G связен и |E||V|1.
Пусть дана сеть G=(V, E) с истоком s и стоком t, пропускная способность
которой задаѐтся функцией c. Потоком в сети G называется функция f:
VVR, обладающая следующими свойствами:
116
1
о
. Ограничение, связанное с пропускной способностью: f(u, v)c(u, v) для
всех u, vV.
2
о
. Кососимметричность: f(u, v)=f(v, u) для всех u, vV.
3
о
. Сохранение потока:
( , )
v V
f u v
=0 для всех u, vV\{s, t}.
Свойство 1о
означает, что поток из одной вершины в другую не превышает пропускной способности дуги. Величина f(u, v) может быть как положительной, так и отрицательной. Она определяет, сколько вещества движется из вершины u в вершину v. Свойство кососимметричности представляет собой соглашение о том, что отрицательные числа соответствуют потоку в обратную
сторону. Из него также следует, что f(u, u)=0 для любой вершины u.
Сумма
( , )
v V
f s v
(1)
называется величиной потока f. Она обозначается через |f|.
Заметим, что если вершины u и v не соединены дугой, то поток между
ними, то есть f(u, v), равен нулю. Действительно, если (u, v)E и (v, u)E, то
c(u, v)=c(v, u)=0. Тогда из первого свойства следует, что f(u, v)0 и f(v, u)0. По
свойству 2о
получим f(u, v)=f(v, u)=0.
Разделим вещество, поступающее в данную вершину v, и вещество, из неѐ
выходящее (то есть положительные и отрицательные значения f(u, v)). Сумму
( , ) 0
( , )
u V
f u v
f u v
(2)
назовѐм входящим (в вершину v) потоком. Исходящий определяется аналогично.
Теперь закон сохранения потока можно сформулировать так: для любой
вершины, кроме истока и стока, входящий поток равен исходящему потоку.
Задача о максимальном потоке после уточнения ставится следующим образом: для данной сети G с истоком s и стоком t найти поток максимальной
величины.
Задачу о максимальном потоке можно рассматривать и для случая нескольких истоков и стоков. Однако это не усложняет дела, так как такой вариант задачи можно в конечном счѐте свести к случаю одного истока и одного
стока.
3. Остаточные сети. Пусть дана сеть и поток в ней. Остаточная сеть
состоит из тех дуг, поток по которым можно увеличить. Строгое определение
таково:
117
Пусть G=(V, E) сеть с истоком s и стоком t. Пусть f поток в этой сети.
Рассмотрим для любой пары вершин u и v остаточную пропускную способность из вершины u в вершину v, задаваемую соотношением
cf(u, v)=c(u, v)f(u, v). (3)
Она определяет, сколько ещѐ потока можно направить из вершины u в вершину
v. Например, если c(u, v)=16, f(u, v)=11, то мы можем переслать ещѐ cf(u, v)=5
единиц по дуге (u, v). Остаточная пропускная способность cf(u, v) может превосходить c(u, v), если в данный момент поток f(u, v) отрицателен. Например,
если c(u, v)=16, а f(u, v)=4 , то cf(u, v)=20. В самом деле, мы можем увеличить
поток на 4, отменив встречный поток, и отправить ещѐ 16 единиц, не превышая
пропускной способности дуги (u, v).
Сеть Gf=(V, Ef), где Ef={(u, v)VV| cf(u, v)>0}, называется остаточной
сетью сети G, порождѐнной потоком f. Еѐ дуги, называемые остаточными дугами, допускают положительный поток. Заметим, что остаточная дуга (u, v) не
обязана быть дугой сети G. Иными словами, может оказаться, что EfE.
Рассмотрим пример потока f в сети G величины 19 и остаточную сеть Gf
(рис 6.1, а г).
v1
v2
v3
v4
s
t
11/16
8/13
12/12
15/20
7/7
1/6
4/9
11/14
10
4/4
a
12
5
v1
v2
v3
v4
s
t
5
8
12
5
7/7
3
5
11
11
11 4
3
15
4
б
118
На рисунке показаны только положительные значения f(u, v)>0; после косой черты стоит пропускная способность c(u, v) (а). Остаточная сеть Gf
. Жирными линиями выделен дополняющий путь p. Его остаточная пропускная способность cf(p) равна c(v2, v3)=4 (б). Результат добавления потока величины 4,
проходящего вдоль пути p (в). Остаточная сеть, порождѐнная потоком рис. в (г).
Дуг (v1, s) и (v2, v3) на рис.6.1, б в исходной сети не было. Такая дуга из
вершины u в вершину v появляется, когда f(u, v)<0, то есть тогда, когда имеется
поток вещества в обратном направлении (по дуге (v, u)) ведь этот поток можно уменьшить. Таким образом, если дуга (u, v) принадлежит остаточной сети,
то хотя бы одна из дуг (u, v) или (v, u) должна присутствовать в исходной сети.
Получаем оценку |Ef
|2|E|. Пропускную способность f остаточной сети Gf мы
полагаем равной cf
.
Лемма 1. (о соотношении потоков в исходной и остаточной сетях). Пусть
G=(V, E) сеть с истоком s и стоком t, а f поток в ней. Пусть Gf остаточная сеть сети G, порождѐнная потоком f. Пусть, кроме того, f поток в
остаточной сети Gf
. Тогда сумма f+f, определяемая как функция из декартова
v1
v2
v3
v4
s
t
11/16
12/13
12/12
19/20
7/7
1/4
9
11/14
10
4/4
в
5
v1
v2
v3
v4
s
t
5
8
12
1
7
3
9
11
11
11
3
19
4
г
Рис.6.1
119
квадрата VV во множество R действительных чисел по правилу (f+f)(u, v)=
f(u, v)+f(u, v) является потоком в сети G величины |f+f|=|f|+|f|.
4. Дополняющие пути. Пусть f поток в сети G=(V, E). Дополняющим
путѐм называется простой путь из истока s в сток t в остаточной сети Gf
. Из
определения остаточной сети вытекает, что по всем дугам (u, v) дополняющего
пути можно переслать ещѐ сколько-то вещества, не превысив их пропускную
способность. На рис.6.1, б один из дополняющих путей выделен жирными линиями. По нему можно отправить ещѐ 4 единицы потока, так как остаточная
пропускная способность дуг этого пути равна cf(v2, v3)=4.
Величина наибольшего потока, который можно переслать по дополняющему пути p, называется остаточной пропускной способностью пути p:
cf(p)=min{cf(u, v)| (u, v)p}.
Сказанное подтверждается следующей леммой:
Лемма 2. (об остаточной пропускной способности пути). Пусть f поток
в сети G=(V, E) и p дополняющий путь в остаточной сети Gf
. Определим
функцию fp: VVR следующим образом:
fp(u, v)=
( ), ( , ) ,
( ), ( , ) ,
0 .
f
f
c p u v p
c p u v p
если
если
в остальных случаях
(4)
Тогда fp поток в сети Gf и |fp|=cf(p)>0.
Теперь видно, что если добавить поток fp к потоку f, то получится поток в
сети G с большим значением. На рис.6.1, в изображѐн результат добавления потока fp (рис.6.1, б) к потоку f (рис.6.1, а).
Из лемм 1 и 2 следует утверждение: пусть f поток в сети G=(V, E) и p
дополняющий путь в остаточной сети Gf
. Рассмотрим поток fp, заданный
равенством (4). Тогда функция f=f+fp является потоком в сети G величины
|f|=|f|+|fp|>|f|.
5. Разрезы в сетях. По аналогии с разрезом неориентированного графа
введѐм понятие разреза сети.
Разрезом сети G=(V, E) называется разбиение множества V его вершин
на две части S и T=V\S, для которых sS и tT (то есть дуга (s, t) пересекает
разрез (S, T)).
Пропускной способностью разреза (S, T) называется сумма c(S, T) пропускных способностей пересекающих разрез дуг. Кроме того, для заданного
потока f величина потока через разрез (S, T) определяется суммой f(S, T) по пересекающим разрез дугам.
120
Минимальным разрезом называется разрез наименьшей пропускной способности среди всех разрезов данной сети.
Следующая лемма утверждает, что величины потоков через все разрезы
одинаковы (и равны величине потока).
Лемма 3. Пусть f поток в сети G с истоком s и стоком t, а (S, T)
разрез сети G. Тогда поток f(S, T) через разрез (S, T) равен |f|.
Следствие. Величина любого потока f в сети G не превосходит пропускной способности любого разреза сети G.
Теорема Форда-Фалкерсона. Пусть f поток в сети G=(V, E). Тогда
следующие утверждения равносильны:
1. Поток f максимален в сети G.
2. Остаточная сеть Gf не содержит дополняющих путей.
3. Для некоторого разреза (S, T) сети G выполняется равенство |f|=c(S,
T).
6. Метод Форда-Фалкерсона добавляет последовательно потоки по дополняющим путям, пока не получится максимальный поток. На каждом шаге
выбирается произвольный дополняющий путь p и увеличиваем поток f, добавляя поток величины cf(p) по пути p. Как следует из теоремы Форда-Фалкерсона,
величина потока максимальна тогда и только тогда, когда остаточная сеть не
содержит дополняющих путей. Алгоритм нахожждения максимального потока
в сети зависит от того, как ищется дополнительный путь p. В принципе алгоритм может вообще не остановиться. Если величина потока будет расти всѐ более мелкими шагами, так и не достигнув максимума. Однако если выбирать дополняющий путь при помощи метода поиска в ширину. То алгоритм будет выполняться за полиномиальное время.
121
Приложение 7. Элементы систем массового обслуживания
§1. Элементы теории случайных процессов
1.1. Понятие Марковского случайного процесса. Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S2, S3, … можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно
(скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным во времени. Это означает, что состояние
СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий
(например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).
Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы — марковский. Случайный процесс называется марковским или
случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Пример марковского процесса: система S — счетчик в такси. Состояние
системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t0 счетчик показывает S0. Вероятность того, что в момент t>t0 счетчик покажет то
или иное километров (точнее, соответствующее число рублей) S1, зависит от
S0, но не зависит от того, в какие моменты времени изменялисьпоказания счетчика до момента t0.
Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например,
процесс игры в шахматы; система S — группа шахмат-фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t0. Вероятность что в момент t>t0 материальный перевес будет на стороне
из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t0, а не того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t0.
122
В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто
пренебречь и применять для их изучения марковские модели.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно
пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний.
Обычно состояния системы изображают прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние.— стрелками (ориентированными
дугами), соединяющими состояния.
П р и м е р 1. Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт
узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.
Возможные состояния системы: S0 — оба узла исправны; S1 — первый
узел ремонтируется, второй исправен, S2 — второй узел ремонтируется, первый исправен; S0 — оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на следующем рисунке.
Стрелка, направленная, например, из S0 в S1 означает переход системы в момент отказа первого узла, из S1 в S0 в момент окончания ремонта этого узла.
На графе отсутствуют стрелки из S0 в S3 и из S1 в S2. Это объясняется тем,
что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и,
например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход
из S0 в S3) или одновременного окончания ремонтов двух узлов (переход из S3 в
S0) можно пренебречь.
Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, познакомимся с одним из важных понятий теории вероятностей — понятием потока
событий.
1.2. Потоки событий. Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случай-
123
ные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток
отказов ЭВМ, поток покупателей и т.п.).
Поток характеризуется интенсивностью — частотой появления событий
или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за
другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: (t)=. Например, поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но этот поток можно
считать стационарным в течение отдельных промежутков времени, скажем, в часы пик.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых
двух непересекающихся участков времени 1 и 2 — число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.
Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка,
уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).
Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на
малый (элементарный) участок времени t двух и более событий пренебрежимо
мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не
группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток
вагонов не ординарен.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.
Название «простейший» объясняется тем, что СМО с простейшими потоками
имеет наиболее простое математическое описание. Заметим, что регулярный поток не является «простейшим», так как он обладает последействием: моменты
появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.
Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных
процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при
124
наложении (суперпозиции) достаточно большого числа п независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям i
(i=1, 2, ..., п) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью ,
равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.
=
n
i
i
1
[Можно показать, что для простейшего потока число событий (точек), попадающих на произвольный временной участок , распределено по закону Пуассона
Pm()=
e
m
m
!
( )
, (1)
для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии: а=
2
=.
В частности, вероятность того, что за время не произойдет ни одного события (т=0), равна
P0()=
e , (2)
Найдем распределение интервала времени Т между произвольными двумя
соседними событиями простейшего потока.
В соответствии с (2) вероятность того, что на участке времени длиной t не
появится ни одного из последующих событий, равна
P(Т>t)=
e , (3)
а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения
случайной величины Т, есть
F(t)=P(Т<t)=1
e , (4)
Плотность вероятности случайной величины есть производная ее функции
распределения, то есть
(t)=F(t)=
e , (5)
Распределение, задаваемое плотностью вероятности (5) или функцией распределения (4), называется показательным (или экспоненциальным). Таким
образом, интервал времени между двумя соседними произвольными событиями
имеет показательное распределение, для которого математическое ожидание
равно среднему квадратическому отклонению случайной величины
а=
2
=
1
(6)
и обратно по величине интенсивности потока .
125
Важнейшее свойство показательного распределения (присущее только показательному распределению) состоит в следующем: если промежуток времени,
распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то
это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (Т):
он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т.
Другими словами, для интервала времени Т между двумя последовательными соседними событиями потока, имеющего показательное распределение,
любые сведения о том, сколько времени протекал этот интервал, не влияют на
закон распределения оставшейся части. Это свойство показательного закона
представляет собой, в сущности, другую формулировку для «отсутствия последействия» — основного свойства простейшего потока.
Дня простейшего потока с интенсивностью вероятность попадания на
элементарный (малый) отрезок времени t хотя бы одного события потока равна
согласно (4)
Pt=P(Т<t)=1
t
e
t, (7)
1.3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояние. Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере случайного процесса из, в котором
мы изобразили граф. Будем полагать, что все переходы системы из состояния Si
в Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями ij (i, j=0, 1, 2, 3); так, переход системы из состояния S0 в S1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S1 в S0 — под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла
и т.п.
Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями
будем называть размеченным (см. рис.). Рассматриваемая система S имеет четыре возможных состояния: S0, S1, S2, S3.
Вероятностью i-го состояния называется вероятность pi(t) того, что в
момент t система будет находиться в состоянии Si
. Очевидно, что для любого
момента t сумма вероятностей всех состояний равна единице:
3
0
( )
i
i p t
=1. (8)
Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток t, :найдѐм вероятность р0(t+t) того, что система в момент t+t будет находиться в состоянии
S0. Это достигается разными способами.
126
1. Система в момент t с вероятностью р0(t) находилась в состоянии S0, а за
время t не вышла из него.
Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис.) можно суммарным
простейшим потоком с интенсивностью (01+02), то есть в соответствии с (7), с
вероятностью, приближенно равной (01+02)t. А вероятность того, что система
не выйдет из состояния S0, равна [1(01+02)t]. Вероятность того, что система
будет находиться в состоянии S0 по первому способу (т.е. того, что находилась в
состоянии S0 и не выйдет из него за время t), равна по теореме умножения вероятностей: р0(t)[1(01+02)t].
2. Система в момент t с вероятностями р1(t) (или р2(t)) находилась в состоянии S1 или S2 и за время t перешла в состояние S0.
Потоком интенсивностью 10 (или 20 — см. рис.) система перейдет в состояние S0 с вероятностью, приближенно равной 10t (или 10t). Вероятность
того, что система будет находиться в состоянии S0 по этому способу, равна
р1(t)10t (или р2(t)20t).
Применяя теорему сложения вероятностей, получим
р0(t+t)=р1(t)10t+р2(t)20t+р0(t)[1(01+02)t],
откуда
t
p t t p t
( ) ( ) 0 0 =р1(t)10+р2(t)20(01+02)р0(t),
Переходя к пределу при t0 (приближенные равенства, связанные с
применением формулы (7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную
'
0 p
(t) (обозначим ее для простоты
'
0 p
):
'
0 p =10р1+20р2(01+02)р0,
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение,
содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.
Рассуждая аналогично для других состояний системы S можно получить
систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
( ) ,
( ) ,
( ) ,
( ) ,
3 1 3 1 2 3 2 3 1 3 2 3
2 0 2 0 3 2 3 2 0 2 3 2
1 0 1 0 3 1 3 1 0 1 3 1
0 1 0 1 2 0 2 0 1 0 2 0
p p p p
p p p p
p p p p
p p p p
(9)
127
Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова: В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой
части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут
стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков
событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему
из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).
В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа
уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8).
Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в
том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент t=0. Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент
оба узла исправны и система находилась в состоянии S0 т.е. при начальных условиях р0(0)=1, р1(0)=р2(0)=р3(0)=0.
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы
рi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t
, которые называются
предельными (или финальными) вероятностями состояний.
В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний
системы конечно и из каждого из них можно (за конечное шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.
Предельная вероятность состояния Si имеет четкий смысл: она называет
среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например,
если предельная вероятность состояния S0, т.е. р0=0,5, то это означает, что в
среднем половину времени система находится в состоянии р0.
Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в нениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с
графом состояния, изображенном выше, такая система уравнений имеет
( ) ,
( ) ,
( ) ,
( ) ,
3 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2
2 0 2 3 2 0 2 0 3 2 3
1 0 1 3 1 0 1 0 3 1 3
0 1 0 2 0 1 0 1 2 0 2
p p p
p p p
p p p
p p p
(10)
П р и м е р 2 . Найти предельные вероятности для системы S из примера 1,
граф состояний которой приведен на рис. выше, при 01=1, 02=2, 10=2, 13=2,
20=3, 23=1, 31=3, 32=2.
128
Р е ш е н и е . Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (10) или
1.
4 2 2 ,
4 3 ,
3 2 3 ,
0 1 2 3
2 0 3
1 0 3
0 1 2
p p p p
p p p
p p p
p p p
(11)
(Здесь мы вместо одного «лишнего» уравнения системы (10) записали
нормировочное условие (8)).
Решив систему (11), получим р0=0,40, р1=0,20, р2=0,27, р3=0,13, т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S0 (оба узла исправны), 20% — в состоянии S1 (первый узел
ремонтируется, второй работает), 27% — в состоянии S2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени — в состоянии S3 (оба узла ремонтируются).
1.4. Процесс гибели и размножения. В теории массового обслуживания
широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так
называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с
рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения
численности биологических популяций. Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на следующем рисунке.
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S0, S1, S2, …,
Sk. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с
соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы только либо в состояние Sk1, либо в состояние Sk+1.
Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам
графа, простейшие с соответствующими интенсивностями k, k+1 или k+1,k.
По графу, представленному выше, составим и решим алгебраические
уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает
из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности
числа состояний).
В соответствии с правилом составления таких уравнений получим: для состояния S0
S
0
S1 S
2
S
k
S
n
01
10
12
21
23
32
k, k1
k1, k
k, k+1
k+1, k
n1, n
n, n1
129
01р0=10р1, (12)
для состояния S1 — (12+10)р1=01р0+21р2, которое с учетом (12) приводится к виду
12р1=21р2. (13)
Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других
состояний, можно получить следующую систему уравнений:
,
...............................
,
...............................
,
,
1, 1 , 1
1, 1 , 1
1 2 1 2 1 2
0 1 0 1 0 1
n n n n n n
k k k k k k
p p
p p
p p
p p
(14)
к которой добавляется нормировочное условие
p0+p1+p2+…+pn=1. (15)
Решая систему (15.14), (15.15) можно получить
р0=
10
01 1
+
21 10
12 01
+…+
1
, 1 21 10
1, 12 01
...
...
n n
n n
, (16)
р1=
10
01
р0, р1=
21 10
12 01
р0, …, рn=
, 1 21 10
1, 12 01
...
...
n n
n n
р0 (17)
§2. Элементы систем массового обслуживания
2.1. Формулировка задачи и характеристики СМО. Часто приходится
сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов;
колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии
ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих
систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).
Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые
характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем
больше число обслуживающих единиц. Но экономически невыгодно иметь
лишние обслуживающие единицы.
130
В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации
наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.
Основными элементами СМО являются источники заявок, их входящий
поток, каналы обслуживания и выходящий поток.
В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:
1) системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания
заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;
2) системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.
Существуют и системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной
длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в
очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.
По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.
В зависимости от расположения источника требований системы могут быть
разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник
находится в самой системе).
Рассмотрим п-канальные разомкнутые СМО.
2.2. СМО с отказами. Заявка, поступившая в систему с отказами и
нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем качества обслуживания выступает вероятность получения
отказа. Предполагается, что все каналы доступны в равной степени всем заявкам,
входящий поток является простейшим, длительность (время) обслуживания одной заявки (tобс) распределена по показательному закону.
Формулы для расчѐта установившегося режима:
1. Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k=0):
P0=1/
n
k
k
k
0
/ !
2. Вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми (k=n):
Ротк=Рп=P0
/n!
n
3. Вероятность обслуживания:
Робс=1Ротк.
4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
131
n3 =Робс.
5. Доля каналов, занятых обслуживанием:
3 k =n3
/n.
6. Абсолютная пропускная способность СМО:
A=Робс.
2.3. СМО с неограниченным ожиданием.
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с неограниченным ожиданием и нашедшая
все каналы занятыми, становится в очередь, ожидая освобождения одного из каналов.
Основной характеристикой качества обслуживания является время ожидания (время пребывания заявки в очереди).
Для таких систем характерно отсутствие отказа в обслуживании, т.е. Ротк=0
и Робc=1.
Для систем с ожиданием существует дисциплина очереди:
1) обслуживание в порядке очереди по принципу «первым пришел — первым обслужен»;
2) случайное неорганизованное обслуживание по принципу «последний
пришел — первым обслужен»;
3) обслуживание с приоритетами по принципу «генералы и полковники
вне очереди».
Формулы для установившегося режима
1. Вероятность простоя каналов, когда нет заявок (k=0):
P0=1/
n
k
k n
k n n
0
1
/ ! / !( )
Предполагается, что /п <1.
2. Вероятность занятости обслуживанием k заявок:
Рk=P0
/ k!
k
, 1kn.
3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов:
Рn=P0
/n!
n
.
4. Вероятность того, что заявка окажется в очереди:
Pоч=
!( )
1
n n
n
P0.
5. Среднее число заявок в очереди:
132
Lоч= 2
1
( 1)!( )
n n
n
P0.
6. Среднее время ожидания заявки в очереди:
оч t = Lоч
/.
7. Среднее время пребывания заявки в СМО:
смо t = оч t
+
обс t
8. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
n3 =.
9. Среднее число свободных каналов:
nсв =nn3
10. Коэффициент занятости каналов обслуживания:
3 k =n3
/n.
11. Среднее число заявок в СМО:
z = Lоч
+
n3
.
2.4. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему необслуженной.
Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.
Ограничения на длину очереди могут быть из-за:
1) ограничения сверху времени пребывания заявки в очереди;
2) ограничения сверху длины очереди;
3) ограничения общего времени пребывания заявки в системе.
Формулы для установившегося режима
1. Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок (k=0):
P0=1/
n
k
m
k n
n
k n n
0
1
/ ! / !( ) 1
.
2. Вероятность отказа в обслуживании:
Pотк= m
n m
n!n
P0.
3. Вероятность обслуживания:
Робс=1Ротк.
4. Абсолютная пропускная способность:
133
A=Робс.
5. Среднее число занятых каналов:
nз =
A
.
6. Среднее число заявок в очереди: г
Lоч=
n n
n
!
1
2
(1 / )
1 ( / ) ( 1 / )
n
n m m n
m
P0.
7. Среднее время ожидания обслуживания:
оч t = Lоч
/.
8. Среднее число заявок в системе:
z = Lоч
+
n3
.
9. Среднее время пребывания в системе:
смо t =
z
.
2.5. Примеры: определение эффективности использования трудовых и
производственных ресурсов в системах массового обслуживания
Рассмотрим задачу с использованием СМО с отказами.
П р и м е р 1. В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает
в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в
ОТК в течение 1чса, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того,
что деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и
сколько их необходимо, чтобы
* Робс
0,95.
Р е ш е н и е . По условию задачи =24 дет./ч =0,4 дет./мин,
обс t
=5 мин, тогда =0,2, =/ =2.
1. Вероятность простоя каналов обслуживания:
P0=
2 /0! 2 /1! 2 / 2! 2 /3!
1
0 1 2 3
=
1 2 2 1,3
1
=0,1587,
2. Вероятность отказа в обслуживании:
Pотк=2
3
0,1587/3!=0,21.
3. Вероятность обслуживания:
Робс=10,21=0,79.
4. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
nз =20,79=1,58.
134
5. Доля каналов, занятых обслуживанием:
k3 =1,58/3=0,526.
6. Абсолютная пропускная способность:
А=0,40,79=0,316.
При п =3 Робс=0,79<
* Робс
=0,95. Произведя аналогичные расчеты для п=4,
получим
P0=0,14, Ротк=0,093, Робс=0,907.
Так как Робс=0,907
* Робс
=0,95, то произведя расчѐты для п=5, получим
Р0=0,137, Ротк=0,035, Робс=0,965
* Робс =0,95
О т в е т . Вероятность того, что при п=3 деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%. Чтобы
обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти
контролеров.
Рассмотрим задачу с использованием СМО с неограниченным ожиданием.
П р и м е р 2. Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров (п=3) для обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью
=30 чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром
одного вкладчика
обс t
=3 мин. Определить характеристики сберкассы как объекта
СМО.
Р е ш е н и е . Интенсивность потока обслуживания =1/
обс t
=1/3=0,333, интенсивность нагрузки =1,5.
1. Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня:
P0=
1,5 /0! 1,5 /1! 1,5 / 2! 1,5 /3! 1,5 /3!(3 1,5)
1
0 1 2 3 4
=0,210,
2. Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:
Рn=(1,53
/3!)0,21=0,118.
3. Вероятность очереди:
Pоч=
3!(3 1,5)
1,5
4
0,21=0,118.
4. Среднее число заявок в очереди:
Lоч= 2
4
(3 1)!(3 1,5)
1,5
0,21=0,236.
5. Среднее время ожидания заявки в очереди:
оч t =
0,5
0,236
=0,472 (мин).
135
6. Среднее время пребывания заявки в СМО:
смо t =0,472+3=3,472 (мин).
7. Среднее число свободных каналов:
nсв =31,5=1,5.
8. Коэффициент занятости каналов обслуживания:
k3 =1,5/3=0,5.
9. Среднее число посетителей в сберкассе:
z =0,236+1,5=1,736 чел.
О т в е т . Вероятность простоя контролѐров-кассиров равна 21% рабочего
времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее
число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями
обслуживания 0,472 мин.
Рассмотрим задачу с применением СМО с ожиданием и с ограниченной
длиной очереди.
П р и м е р 3. Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью =6 машин в
день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже
позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами
(т=2). В магазине работают три фасовщика (п=3), каждый из которых в среднем
может обрабатывать товар с одной машины в течение
обс t
=4 ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч. Определить, какова
должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была
* Робс
0,97.
Р е ш е н и е . Определим интенсивность загрузки фасовщиков:
=\ =6/3=2, , =1/
обс t
=112/4=3 авт./дн.
1. Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):
P0= =0,128
2. Вероятность отказа в обслуживании:
Pотк=Pn+m=0,128
2
3 2
3!3
2
=0,075.
3. Вероятность обслуживания:
Робс=10,075=0,925.
Так как Робс=0,925<
* Робс =0,97, то произведем аналогичные вычисления для
т=3, получим
136
P0=0,122, Pотк=0,048, Робс=0,952.
Так как Робс=0,952 <
* Робс
=0,97, примем т=4. Для этого случая
P0=0,12, Pотк=0,028, Робс=0,972,
0,972>0,97, емкость подсобных помещении необходимо увеличить до т=4.
Для достижения заданной вероятности обслуживания можно увеличивать
число фасовщиков, проводя последовательно вычисления СМО для п=4, 5 и т.д.
Задачу можно решить, увеличивая емкость подсобных помещений, число фасовщиков, уменьшая время обработки товаров.
Найдем остальные параметры СМО для рассчитанного случая при P0=0,12,
Pотк=0,028, Робс=0,972.
4. Абсолютная пропускная способность:
А=0,9726=5,832 авт./дн.
5. Среднее число занятых обслуживанием каналов (фасовщиков):
nз =5,832/3=1,944.
6. Среднее число заявок в очереди:
Lоч=
3! 3
2
4
2
(1 2/3)
1 (2/3) (4 1 4 2/3)
m
0,12=0,548.
7. Среднее время ожидания обслуживания:
оч t =
6
0,548
=0,09 (дн).
8. Среднее число машин в магазине:
z =0,548+1,944=2,492 (авт).
9. Среднее время пребывания машины в магазине:
смо t =
6
2,492
=0,415 (дн).
О т в е т . Емкость подсобных помещений магазина должна вмещать товар,
привезенный 4 автомашинами (т=4), при этом вероятность полной обработки
товара будет Робс=0,972.
137
Приложение 8. Образец оформления лабораторной работы
Кафедра Естественнонаучных дисциплин
Лабораторная работа №8
Решение транспортной задачи с применением среды Excel
Выполнил студент группы ИВТ-01-2
Иванов С.П.
_______________
Проверил
Профессор кафедры ЕН
Мухаметьянов И.Т.
138
1) Цель работы – Научиться применять компьютерную технику при решении транспортной задачи в режиме «Поиск решения».
2) Оборудование, приспособления, инструменты
1. Компьютеры.
2. Программная оболочка Excel.
3) Задание для выполнения: Решить следующую транспортную задачу в
режиме «Поиск решения»:
bj
ai
25 25 25 25
20 4 2 3 5
40 3 4 4 3
40 2 3 4 5
Р е ш е н и е . 1) Введѐм в ячейки В2:Е4 (от В2 до Е4) стоимости перевозок,
ячейки G2:J4 резервируем для переменных
x (i 1, 3, 3; j 1, 2, 3, 4)
ij
. Таким
образом, ячейка F1 будет целевой:
2) В ячейку F1 вводим целевую функцию:
«=» Кнопка «fx» СУММПРОИЗВ(В2:Е4, G2:J4).
После нажатия на ячейку «ОК» в ячейке F1 высветится 0.
3) В каждую из ячеек F2, F3, F4 вводим левые части ограничений по a1,
a2, a3:
139
«=» Кнопка «fx» СУММ(G2:J2),
«=» Кнопка «fx» СУММ(G3:J3),
«=» Кнопка «fx» СУММ(G4:J4).
В ячейках F2, F3, F4 высветится 0:
4) В каждую из ячеек G1, H1, I1, J1 вводим левые части ограничений по
b1, b2, b3, b4:
«=» Кнопка «fx» СУММ(G2:G4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(H2:H4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(I2:I4),
«=» Кнопка «fx» СУММ(J2:J4).
В ячейках G1, H1, I1, J1 высветится 0:
5) Вызываем окно «Поиск решения» и устанавливаем необходимые параметры: «Установить целевую функцию», на «Минимум», «Изменяя ячейки
G2:J4», вводим ограничения. При этом правые части ограничений это запасы
поставщиков и потребности потребителей, то есть F2=20, F3=40, F4=40, G1=25,
H1=25, I1=25, J1=25:
140
6) Нажимаем на кнопку «Найти решение».
О т в е т : Матрица перевозок следующая:
25 7,5 7,5 0
0 0 15 25
0 17,5 2,5 0
. Минимальная стоимость перевозок составит 280 ден. единиц.
4) Выводы по лабораторной работе: Таким образом, мы научились
применять компьютерную технику при решении транспортной задачи в режиме
«Поиск решения».
141
Приложение 9. Задания для индивидуальных (контрольных работ)
Задание 1
Решить многокритериальную задачу геометрическим и аналитическим
методами:
, 0.
,
,
,
,
1 2
41 1 42 2 4
31 1 32 2 3
21 1 22 2 2
11 1 12 2 1
x x
a x a x b
a x a x b
a x a x b
a x a x b
L1=c1x1+ c2x2 max,
L2=d1x1+ d2x2 min,
№
в-та
знач.
aij
1, 11,
21
2, 12,
22
3, 13,
23
4, 14,
24
5, 15,
25
6, 16,
26
7, 17,
27
8, 18,
28
9, 19,
29
10,
20,
30
с1 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2
с2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1
d1 3 1 2 1 3 2 1 2 2 3
d2 2 2 2 3 1 3 2 3 2 2
a11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a21 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
a22 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
b2 32 32 32 24 32 32 24 24 24 24
a31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b3 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4
a41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b4 3 4 3 4 5 5 6 6 5 5
142
Задание 2
Найти оптимальные стратегии и цены игр, заданных платежными матрицами:
а)
21 22 23 24
11 12 13 14
a a a a
a a a a
; б)
41 42
31 32
21 22
11 12
a a
a a
a a
a a
.
Значения коэффициентов платежных матриц
№
в-та
знач.
aij
1, 14,
26
2, 18,
23
3, 15,
22
4, 11,
28
5, 13,
30
6, 19,
21
7, 17,
27
8, 12,
24
9, 16,
20
10,
29,
25
a11 3 4 2 5 4 4 3 4 3 2
a12 4 3 5 4 3 7 2 1 4 3
a13 5 2 3 3 6 7 5 3 4 5
a14 2 3 4 7 4 8 1 3 4 7
a21 7 5 3 4 5 9 4 2 2 4
a22 6 2 2 2 6 3 1 3 3 2
a23 4 6 5 5 4 4 3 5 4 3
a24 8 1 3 4 7 6 2 2 2 6
a31 4 3 4 3 2 5 5 1 5 3
a32 4 3 5 4 3 9 3 2 3 5
a41 3 1 3 3 2 6 2 3 4 2
a42 9 3 2 3 5 9 4 5 2 4
143
Задание 3
Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж товаров
на предстоящей ярмарке с учѐтом конъюнктуры рынка и спроса покупателей.
Получающиеся от возможных сочетаний показателей дохода представлены в
таблице. Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке.
Значения коэффициентов условия задачи
№
в-та
знач.
aij
1, 18,
16
2, 17,
25
3, 19,
30
4, 15,
20
5, 14,
22
6, 21,
27
7, 12,
28
8, 11,
26
9, 13,
29
10,
24,
23
a11 3 2 3 4 3 5 2 2 3 2
a12 5 4 4 3 2 3 3 1 2 4
a13 1 2 2 5 4 4 3 3 4 3
a21 1 1 1 6 5 2 4 4 5 3
a22 4 3 2 2 3 5 2 3 3 1
a23 3 5 4 3 2 2 1 1 2 4
a31 4 4 5 2 2 1 3 1 2 2
a32 2 2 3 5 5 1 2 4 5 3
a33 5 3 1 2 5 3 4 2 5 3
144
Задание 4
Контроль готовой продукции фирмы осуществляют A контролѐров. Если
изделие поступает на контроль, когда все контролѐры заняты проверкой готовой продукции, то оно остаѐтся непроверенным. Среднее число изделий, выпускаемой фирмой, составляет B изд./ч. Среднее время на проверку одного изделия С мин.
Определить вероятность того, что изделие пройдѐт проверку, насколько
загружены конролѐры, и сколько их необходимо поставить, чтобы
Pобс
D.
Значения коэффициентов условия задачи
№
варианта
Значения
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 3 4 5 6 3 5 4 2 3 5
B 20 22 25 30 18 28 24 14 16 26
C 7 6 5 8 6 4 3 5 6 7
D 0,97 0,98 0,96 0,97 0,98 0,96 0,98 0,97 0,96 0,98
№
варианта
Значения
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A 3 5 5 6 3 6 5 4 3 4
B 20 27 30 30 18 25 21 19 16 22
C 7 8 6 8 6 5 6 6 6 6
D 0,97 0,97 0,97 0,97 0,98 0,97 0,97 0,98 0,96 0,98
№
варианта
Значения
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
A 4 5 6 5 4 6 4 3 4 4
B 22 21 21 27 16 23 24 13 12 21
C 7 7 6 7 6 5 3 6 6 7
D 0,97 0,98 0,97 0,97 0,97 0,97 0,98 0,98 0,97 0,97
145
Задание 5
Приходная касса городского района с временем работы A часов в день
проводит приѐм от населения коммунальных услуг и различных платежей в
среднем от B человек в день.
В приходной кассе работают С операторов-кассиров. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента составляет D мин.
Определить характеристики работы приходной кассы как объекта СМО.
Значения коэффициентов условия задачи
№
варианта
Значения
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 11 10 10 9 8 9 8 11 7 7
B 200 220 250 300 250 280 240 250 240 260
C 2 2 3 3 4 4 3 3 2 4
D 4 3 4 3 4 3 2 2 5 5
№
варианта
Значения
11 12 13 4 5 16 17 18 9 20
A 11 11 12 9 8 10 9 10 7 7
B 200 210 230 300 250 270 250 260 240 240
C 2 3 4 3 4 3 4 4 2 5
D 4 3 5 3 4 4 2 3 5 6
№
варианта
Значения
21 22 23 24 25 26 7 28 29 30
A 10 12 9 11 10 8 8 10 9 7
B 210 200 200 290 220 290 240 230 200 260
C 3 3 2 2 5 3 3 2 3 4
D 6 4 4 4 3 4 2 4 4 5
146
Задание 6
На АЗС установлено A колонок для выдачи бензина. Около станции
находится площадка на B автомашин для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем С маш./ч. Среднее время заправки одной машины D мин.
Определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.
Значения коэффициентов условия задачи
№
варианта
Значения
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 3 2 3 3 2 4 3 2 3 3
B 2 3 1 3 3 2 4 2 2 2
C 15 10 20 30 25 20 35 15 20 30
D 2 3 4 3 2,5 3,5 3 2 2,5 3
№
варианта
Значения
11 12 13 4 5 16 17 18 9 20
A 3 3 3 3 2 3 4 3 3 3
B 2 3 2 3 3 2 4 2 2 3
C 15 11 22 30 25 21 32 18 20 25
D 2 4 5 3 2,5 3,6 4 3 2,5 4
№
варианта
Значения
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
A 3 3 2 3 4 4 3 2 4 3
B 3 4 2 4 3 3 4 4 3 2
C 19 15 20 33 30 00 35 55 25 30
D 5 4 3 4 3,5 4,5 3 2,5 4,5 3
147
Задание 7
Для производства двух изделий А и В предприятие использует три типа
технологического оборудования. Каждое изделие должно пройти обработку на
данном типе оборудования. Время обработки каждого из изделий, затраты, связанные с производством одного изделия, даны в таблице.
Оборудование 1-го и 3-го типов предприятие может использовать не менее b1 и b3 ч соответственно, оборудование 2-го типа не более b2 ч.
Определить, сколько изделий изготовить предприятию, чтобы средняя
себестоимость одного изделия была минимальной.
Тип оборудования
Затраты времени на обработку
одного изделия, ч
А В
1
2
3
a11
a21
a31
a12
a22
a32
Затраты на производство одного
зделия, тыс. р
c1 c1
Значения коэффициентов условия задачи
№ в-та
Знач
-я
1, 20 2, 19 3, 18 4, 17 5, 16 6, 15 7, 14 8, 13 9, 12
10,
11
c1 1 3 1 4 1 2 5 3 2 5
c2 2 1 4 2 3 4 3 4 5 2
a11 12 12 7 8 8 8 4 11 16 12
a12 4 1 4 3 6 10 8 1 4 6
b1 48 12 28 24 48 80 32 11 32 70
a21 10 10 5 1 6 12 9 4 7 8
a22 5 4 10 9 6 5 1 6 5 9
b2 50 40 45 5 54 72 45 24 35 72
a31 1 5 2 2 8 3 10 1 2 1
a32 1 8 11 8 1 14 2 10 7 10
b3 6 30 22 16 8 42 20 10 14 12
148
Комментариев нет:
Отправить комментарий